同济大学高数09-16B(下)期末考试题

1同济大学2009-2010学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一.填空题(4'832')1.曲面2222321xyz在点(1,2,2)处的法线方程为122146xyz.2.函数2ln(2)zxy在点(1,2)处沿方向(1,2)l的方向导数为2525.3.设(,,)fxyz为连续函数,则三次积分2222211200(,,)xxyxydxdyfxyzdz的柱面坐标积分形式为2212200(cos,sin,)ddfzdz.4.设函数()fx具有一阶连续函数,且(0)1f,若曲线积分222()(())Lxyydxyfxydy在整个平面上与路径无关,则2()21fxxx.5.曲面积分(4)32xzdS,其中222:4,0xyzz6.设函数222ln()uxyz,则(1,1,1)2div(gradu)3.7.若幂级数0nnnax在点2x处收敛,在点2x处发散,则幂级数1(1)nnnaxn的收敛区间为(1,3)8.设()fx是以2为周期的周期函数,它在(,]上的表达式为2,0()210xxfxxx则()fx的傅里叶级数在点5x处收敛到122二.解答题(68')9.(8')证明函数326,(,)(0,0)(,)0(,)(0,0)xyxyfxyxyxy在点(0,0)处不连续.[30,001lim(,)0,lim(,)2xyxyfxyfxy]10.(10')计算二重积分sinDydxdyy,其中D是由直线yx与yx所围成的闭区域.[210sin1sin1yyyIdydxy]11.(10')计算三重积分(42)xyzdV,其中是由平面1xyz与三坐标平面所围成的闭区域.[120555(1)224IzdVzzdz]12.(10')计算曲线积分22Lxdyydxxy,其中L为椭圆22142xy(按顺时针方向绕行).[222222222221122()xyxyQPyxxdyydxIdxdyxyxyxy]13.(10')计算曲面积分222()()xyzdydzxyzdxdy,其中为曲面:22(04)zxyz,取上侧.[22224(4)4(4)(3)64,728zxyzxyIxzdVI下侧下侧]14.(10')将函数21()32fxxx展开成(1)x的幂级数,并指出展开式成立的范围.[1101111()(1)()(1)(13)1224nnnnnfxxxxx]15.(8')求幂级数201(2)!!nnnxn的收敛域及和函数,并由此求级数201!nnn的和.[22101111(,),()()()(24),(2)3(1)!2!24xnnnnnxxSxxxeSenn]3同济大学2010-2011学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一.填空题(4'832')1.直线11211xyz与平面220xyz的夹角为6.2.向量函数222(,,)Fxyyzzx在点(1,2,1)处的散度为2.3.质点在变力(,,)Fyzxzz的作用下,沿螺旋线:2cos,2sin,xtytzt,从点(2,0,0)M运动到点(2,0,)N,则变力F所作的功为252.4.闭区域22{25}Dxyx,则积分2275()2Dxyd.5.若级数0(1)nnnax在点32x处条件收敛,则该级数的收敛半径52.6.函数2sinx的麦克劳林展开式为12121(1)2(2)!nnnnxn.7.若1()sinnnSxbnx是函数()((0,))fxxx的正弦展开式,则()22S8.设是由22zxy与平面1Z所围的有界闭区域,1是位于0,0xy的部分,则下列等式中正确的是C1:4AxdVxdV;1:4BydVydV;1:4CzdVzdV;1:4DxydVxydV.4二.解答题(68')9.(8')求曲线222222102xyzxyz在点(1,2,1)处的切线与法平面方程.[121,812208112xyzxyz]10.(10')计算曲面积分2(2)xydS,其中是球面2224xyz被曲面.22zxy截下的较小部分的曲面.[222222222200222(4)(4)(160882)344xyIxydxdyddxy]11.(10')将函数220()ln(1)xtfxxxedt展开成x的幂级数,并指出展开式成立的范围.[21111()(1)(),[1,1]!(21)nnnfxxxxnnn]12.(10')计算曲面积分2xzdydzydzdxyzdxdy,其中为曲面2221(0,0)xyzxz取前侧.[2222222219()()241xyDyyIxyzdxdyxdxdyzxy]13.(10')计算三重积分(42)xyzdV,其中是由曲面2221xyz与平面1,2zz所围成的有限闭区域.[222211214xyzIzdzdxdy]14.(10')()fx是周期为4的偶函数,在[0,2]上()2fxx.求该函数的傅里叶展开式,并由此求级数的和211nn.[222118211()cos,(,)(21)26nkfxxxkn]15.(10')设()fx为区间[,]ab上的连续函数,且()0fx,证明21()()()bbaafxdxdxbafx[2()1()()()()()2()()bbbbbbaaaaaafxfxfydxdydxdydxdybafyfyfx]5同济大学2011-2012学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一.填空选择题(3'824')1.极限22(,)(1,1)sin()lim2xyxyxy.2.若函数(,)fxy具有连续的偏导数,且(1,2)2,(1,2)1xyff,则极限21(,1)(1,2)lim31tfttft.3.由32210zxxyzee所确定的函数(,)zzxy在(1,1,1)点的偏导数(1,1,1)11zxe4.xoy平面上曲线L的方程为(,)0Fxy,若将该曲线关于直线0yx对称得到曲线'L,则'L的方程为(,)0Fyx.5.函数(,)fxy在某点沿任意方向的方向导数存在是函数在该点可微分的什么条件?[B]:A充分条件;:B必要条件;:C充分必要条件;:D无关条件.6.若常数项级数1nnu收敛,则下列各项判断中正确的判断是:[D]21:nnAu一定收敛;1:nnuBn一定收敛;1:nnCnu一定发散;:D对于常数p,如果1nnu收敛就可判断1npnun收敛,必有1p.7.是球体2222xyzR,1是球体位于第一卦限内的部分(0,0.0)xyz,则积分23()xyzdv等于[B]123:8()Axyzdv;12:8Bydv;12:8()Cxydv;12:24Dydv.8.是空间光滑的有向曲面片,是与正向联系的有向边界曲线,则由斯托克斯公式22(2)()()xzydxxyzdyzxdz等于[D]:2Azdydzxdzdxdxdy;22:(2)()()Bxzydydzxyzdzdxzxdxdy;:(21)CzxdS;:2(1)Dzdydzydxdy.6二.解答题(6'212)1.求曲线23322030xyzxyz在(1,1,1)点的切线方程.[111571xyz]2.计算Dxydxdy,其中D是由22yxx与3yx所围成的有界闭区域.[196I]三(8')求函数22(,)(2)lnfxyxyyy的极值,并说明是极大还是极小值.[min11(0,)fee]四(8')已知()fx是[0,]上的连续函数,若将()fx分别展开成周期为2的傅里叶余弦和正弦级数,它们分别为余弦级数01cos2nnaanx;正弦级数1sinnnbnx.试写出系数na与nb的计算公式,并求函数()0(),10fxxFxx周期为2的傅里叶级数.[略]五(10')求曲面233xyz上的点(,,)(0)xyzxyz,使得该点处的切平面与三个坐标平面所围四面体的体积最大.[体积34Vxyzmax111(1,,)498V]六(10')如果曲线积分22(1)(2())Lxyydxxyxdy与路径无关,其中()x是可导函数,并且满足(0)1,求函数()x,并计算积分22'(1)(2())Lxyydxxyxdy,其中'L是沿曲线2xyxe从(0,0)到(1,)e的弧段.[31()13xx2'213Lee]七(10')是由曲面221zxy与223()1zxy所围立体的边界曲面,它的法向指向曲面的外侧,计算曲面积分32221()(2)()3xyzdydzxyyzdzdxxyzdxdy.[221122200312(22)5Ixxyzydvdddz]八(10')求幂级数3111()(1)3nnnxn的收敛域及其和函数.[333(1)[0,2);()ln[1(1)]3(1)xSxxx九(8')判别常数项级数111121nna的收敛性(0)a,并对自己的判断给出证明.[111lnln1lnln2111ln11ln1:2annannnanaaanaena收敛]7同济大学2012-2013学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一.填空选择题(3'8)1.经过三点(1,1,3),(2,1,4),(3,0,1)ABC的平面方程为543180xyz;点(2,0,1)到该平面的距离为22.2.yoz平面上的直线2zy绕着z轴旋转一周所得的曲面方程为222zxy;在二次曲面中,该曲面的类型是圆锥面.3.是上半球体22210xyzz,是的边界曲面外侧,1是上半球面2221,0xyzz的上侧,则利用高斯公式计算可得24()(2)(1)3xydydzyzdzdxxzdxdy;积分127()(2)(1)3xydydzyzdzdxxzdxdy.4.(1,2,2),(4,5,2)AB是空间两点,L是以,AB为两端点的直线段,ABL是以A为起点B为终点的有向直线段,则152;14ABLLdsdz.5.D是由曲线22yx与3yx所围的有界闭区域,则积分(,)Dfxydxdy等于[A]()A213322(,)xxdxfxydy;()B212332(,)xxdxfxydy;()C92223(,)yydyfxydx;()D93222(,)yydyfxydx.6.积分222211(