公开课一轮复习：极坐标与参数方程

第十四篇极坐标与参数方程一轮复习选修4-41了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）表示的极坐标方程.4了解参数方程，了解参数的意义.5能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.高考中只考一道题选做题23题（10分）1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则x＝ρcosθy＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2tanθ＝yx(x≠0).基础知识ρ2.圆的参数方程圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为x＝x0＋rcosθ，y＝y0＋rsinθ(θ为参数，0≤θ≤2π)．3.圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1的参数方程为x＝acosθy＝bsinθ(θ为参数)．(2)双曲线x2a2－y2b2＝1的参数方程为x＝asecθy＝btanθ(θ为参数)．(3)抛物线y2＝2px(p0)的参数方程为x＝2pt2y＝2pt(t为参数)．基础知识9基础知识4．直线的参数方程过定点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)．M0(x0,y0)M(x,y)xOy注意：直线参数方程中参数t的绝对值等于直线上动点M到定点M0的距离|t|=|M0M|(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆x＝5cosφ，y＝3sinφ(φ为参数)的右焦点，且与直线x＝4－2t，y＝3－t(t为参数)平行的直线的普通方程．解由题设知，椭圆的长半轴长a＝5，短半轴长b＝3，从而c＝a2－b2＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x－2y＋2＝0.故所求直线的斜率为12，因此其方程为y＝12(x－4)，即x－2y－4＝0.例一（2011.湖南）极坐标方程ρ＝(sinθ＋cosθ)表示的曲线是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线练习一A(2010·广东)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ2π)中，曲线ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1的交点的极坐标为________．解析曲线ρ＝2sinθ化为直角坐标系方程为x2＋y2－2y＝0.由ρcosθ＝－1可化为x＝－1.将x＝－1代入x2＋y2－2y＝0得x＝－1，y＝1，因此交点的直角坐标为(－1,1)，化为极坐标为2，3π4.2，3π4练习二(2011·陕西)在直角坐标系xOy中，以原点为极点，x的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：x＝3＋cosθ，y＝4＋sinθ(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则AB的最小值为________．3练习三解析∵C1：(x－3)2＋(y－4)2＝1，C2：x2＋y2＝1，∴两圆心之间的距离为d＝32＋42＝5.∵A∈曲线C1，B∈曲线C2，∴ABmin＝5－2＝3.(2009·宁夏理)已知曲线C1：x＝－4＋cost，y＝3＋sint(t为参数)，曲线C2：x＝8cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)．(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C1上的点P对应的参数为t＝π2，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：x＝3＋2t，y＝－2＋t(t为参数)距离的最小值．例二已知直线的极坐标方程为ρsinθ＋π4＝22，圆M的参数方程x＝2cosθ，y＝－2＋2sinθ(其中θ为参数)，极点在直角坐标原点，极轴与x轴正半轴重合．(1)将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求圆M上的点到直线的距离的最小值．（2011.辽宁）练习四(2)将圆的参数方程化为普通方程：x2＋(y＋2)2＝4，圆心为M(0，－2)，半径r＝2.∴点M到直线的距离为d＝|0－2－1|2＝32＝322，∴圆上的点到直线距离的最小值为32－42.解(1)极点为直角坐标原点O，∵ρsinθ＋π4＝22，∴ρ22sinθ＋22cosθ＝22，∴ρsinθ＋ρcosθ＝1，可化为直角坐标方程：x＋y－1＝0.(2011·课标全国)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝2cosα，y＝2＋2sinα.(α为参数)M是C1上的动点，P点满足OP→＝2OM→，P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程；(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求AB.高考题赏析(2010·课标全国)已知直线C1：x＝1＋tcosα，y＝tsinα(t为参数)，圆C2：x＝cosθ，y＝sinθ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C1与C2的交点坐标；(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．高考题赏析作业练习手册P314第一节练习