2013年高考数学(理科)一轮复习课件第39讲：等比数列

考纲要求考纲研读1.理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式;并能运用有关知识解决相应问题．3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等比数列与指数函数的关系.1.理解等比数列的概念，会用定义证明一个数列是等比数列．2．能利用等比中项、通项公式与前n项和公式列方程求值．3．善于识别数列中等比关系或转化为等比关系；能利用通项公式或前n项和公式解决相关问题.1．等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数q(q≠0)，这个数列叫做等比数列，常数q称为等比数列的公比．2．通项公式与前n项和公式a1为首项，q为公比，(1)通项公式：an＝________；(2)前n项和公式：①当q＝1时，Sn＝_____；②当q≠1时，Sn＝a11－qn1－q＝_________.a1qn－1na1a1－anq1－q3．等比中项如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝_____.4．等比数列的常用性质等比数列．(1)数列{an}是等比数列，则数列{pan}，pan(q≠0是常数)也是(2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq.特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am·an＝.a·b2pa(3)若等比数列{an}的前n项和Sn，且公比q≠±1，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k是等比数列．(4)若等比数列{an}的首项a10，公比q1或首项a10，公比0q1时，数列{an}单调递增；若首项a10，公比0q1或首项a10，公比q1时，数列{an}单调递减；若公比q＝1，数列{an}为常数列；若公比q0，数列{an}为摆动数列．1．M＝是a，M，b成等比数列的()A．充分不必要条件C．充分必要条件B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件ab2．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝()A．4·32nB．4·23nC．4·132nD．4·123nDCA．2B．415C.217D.24．(2011年广东广州调研)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝6，S4＝30，则S6＝______.5．等比数列{an}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q的值为___________.3．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则S4a2＝()C1261或－12考点1等比数列的基本量运算例1：(2010年北京)已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0.(1)求{an}的通项公式；(2)若等比数列{bn}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求{bn}的前n项和公式．解析：(1)设等差数列{an}的公差d，因为a3＝－6，a6＝0，所以a1＋2d＝－6，a1＋5d＝0.解得a1＝－10，d＝2，所以an＝－10＋(n－1)·2＝2n－12.(2)设等比数列{bn}的公比为q，因为b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8，所以－8q＝－24，即q＝3.所以{bn}的前n项和公式为Sn＝b11－qn1－q＝4(1－3n)．在解决等比数列问题时，已知a1，an，q，n，Sn中任意三个，可求其余两个，称为“知三求二”．而求得a1和q是解决等比数列{an}所有运算的基本思想和方法．【互动探究】1．(2011年广东)已知{an}是递增的等比数列，若a2＝2，a4－a3＝4，则此数列的公比q＝___.2B解析：a4－a3＝4⇒a2q2－a2q＝4⇒2q2－2q－4＝0⇒2(q－2)(q＋1)＝0⇒q＝2或q＝－1.∵{an}是递增的等比数列，∴q＝2.A．3B．4C．5D．62．(2010年辽宁)设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q＝()考点2求等比数列前n项和例2：(2011年全国)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn.解析：设{an}的公比为q，由题设得a1q＝6，6a1＋a1q2＝30，解得a1＝3，q＝2，或a1＝2，q＝3.当a1＝3，q＝2时，an＝3×2n－1，Sn＝3×(2n－1)．当a1＝2，q＝3时，an＝2×3n－1，Sn＝3n－1.【互动探究】3．(2011年北京)在等比数列{an}中，若a1＝12，a4＝4，则公比q＝__；a1＋a2＋…＋an＝____________.解析：由{an}是等比数列得a4＝a1q3，又a1＝12，a4＝4，所以4＝12q3⇒q＝2.a1＋a2＋…＋an＝a11－qn1－q＝121－2n1－2＝2n－1－12.2n－1－122和，若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为—，则S5＝()4．(2010年广东)已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项54CA．35B．33C．31D．29解析：设{an}的公比为q，则由等比数列的性质知，a2·a3＝a1·a4＝2a1，即a4＝2.由a4与2a7的等差中项为54知，a4＋2a7＝2×54，∴a7＝122×54－a4＝14.∴q3＝a7a4＝18，即q＝12.∴a4＝a1q3＝a1×18＝2，∴a1＝16，S5＝161－1251－12＝31.考点3等比数列的性质解决给项求项问题，先考虑利用等比数列的性质．例3：已知Sn为等比数列{an}前n项和，Sn＝54，S2n＝60，则S3n＝________.解题思路：结合题意考虑利用等比数列前n项和的性质求解．解析：∵{an}是等比数列，∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n为等比数列，∴54(S3n－60)＝36⇒S3n＝.1823【互动探究】6(2)已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad等于()BA．3B．2C．1D．－25．(1)已知等比数列{an}中，an0，(2a4＋a2＋a6)a4＝36，则a3＋a5＝____；易错、易混、易漏16．在等比数列的计算中没有充分考虑项的符号规律例题：(2011年安徽安庆模拟)在等比数列{an}中，a2，a10是方程x2－8x＋4＝0的两根，则a6为()A．－2B．±2C．2D．4C正解：a26＝a2·a10＝4，∴a6＝±2.又a2＋a10＝80，a2·a100所以a2，a10同为正数，显然a6与a2，a10同号，故a6＝2.【失误与防范】本题很容易出现这样的错解＝a2·a10＝4，∴a6＝±2，选B.这是因为解题时没有注意等比数列“所有奇数项同号、所有偶数项也同号”这一规律；还有a2，a10同为正数也比较隐蔽.26a1．等比数列的判定方法(1)定义法：an＋1an＝q(n∈N*，q≠0是常数)⇔{an}是等比数列．(2)中项法：a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)且an≠0⇔{an}是等比数列．2．解决与等比数列有关问题时常见的思想方法(1)函数思想：在等比数列中an＝a1qqn，它的各项是该函数图象上的一群孤立的点．(4)类比思想：等差数列中的“和”、“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比．关注它们之间的异同有助于类比思想的推广，更有利于我们从整体上把握，使我们的学习达到事半功倍的效果．(2)方程思想：准确分析a1，q，an，Sn，n之间的关系，通过列方程(组)可做到“知三求二”．(3)整体思想：在应用等比数列{an}的性质“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq”或用“Sn＝a11－qn1－q＝a11－q－a11－q·qn”时，要会用整体思想进行代换(将a11－q视为一个整体)．无论用什么方法判断或证明严格数列是等比数列，都必须注意检验一个数列为等比数列的必要条件，即各项都不为零；在利用等比数列的前n项和公式时，如果其公比q不确定，要分q＝1和q≠1两种情况进行讨论．否则，会产生错解．