实变函数与泛函分析基础课件4-3

第三节可测函数的构造第四章可测函数可测函数简单函数是可测函数。可测函数当且仅当可表示成一列简单函数列的极限。问：可测函数是否可表示成一列连续函数的极限？可测集E上的连续函数为可测函数。鲁津定理实变函数的三条原理（J.E.Littlewood）（1）任一可测集差不多就是开集（至多可数个开区间的并）。，闭集EF,0设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，则使得m(E-F)ε且f(x)在F上连续。（去掉一小测度集，在留下的集合上成为连续函数）即：可测函数“基本上”是连续函数.（2）任一点点收敛的可测函数列差不多就是一致收敛列。（3）任一可测函数差不多就是连续函数。引理：。），即：），使得：的内点，为开集：另证：由于注处连续。在故，必有，））则令则，又令，必有）使得：，对此上为连续的，在，而使得：由于证明：取，，，，knkkkcknkkkcknkkkknkkkkkkkkkkknkExUExUExExxxfxfxfxfxfExUExUxkkExxfxfExUxEfkxNkEx000001201202101000000100212002000101000010,()(,(0)(,1)(.|)()(||)()(|,(,(}.,{min.0},:),(d{min.|)()(|,(,0,,0,上的连续函数。：，则令为连续函数，若两两不交的闭集族设RExfExxfxfREfEEEknkkkkkiini11)(:)()(:.}{,。），即：），使得：的内点，为开集事实上，由于，，，，kkkkckkkkckkkkkkkkExUExUExEx000012012021010,()(,(0)(,上的连续函数。：，则为连续函数，令若均为闭集（两两不交的集族，且：类似结果：设注，RExfExxfxfREfjEEEEkkkkkkkjkkiii111)(:)()(:).,2,1}{,2证明：由于mE[|f|=+∞]=0，故不妨令f(x)为有限函数(1)当f(x)为简单函数时，)()(1xcxfiEnii令可测且两两不交）其中iiniEEE,(1),,2,1()(,0niFEmFEEniiiii，使中的闭子集，作及每个ninniiiiiniiniiniFEmFEmFEm11111)())(()(iniFF1当x∈Ei时，f(x)=ci，所以f(x)在Fi上连续，而Fi为两两不交闭集，故f(x)在上连续，显然F为闭集，且有，闭集EF,0设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，则使得m(E-F)ε且f(x)在F上连续。鲁津定理（Lusin）(2)当f(x)为有界可测函数时，存在简单函数列{φn(x)}在E上一致收敛于f(x)，1211)()(nnnnnnFEmFEmEFFF，且，则令由{φn(x)}在F连续及一致收敛于f(x)，易知f(x)在闭集F上连续。上连续在且使，，存在闭集及每个nnnnnFxFEmEFxn)()()(,02利用(1)的结果知则g(x)为有界可测函数，应用(2)即得：)|)(|1)()((|)(|1)()(xgxgxfxfxfxg(3)当f(x)为一般可测函数时，作变换，闭集EF,0g(x)为E上几乎处处有限可测函数,则使得m(E-F)ε且g(x)在F上连续。故，f(x)在F上为连续函数。注1：鲁津定理另外一种形式：RE若f(x)为上几乎处处有限的可测函数，使得在F上g(x)=f(x)且m(E-F)ε，且sup{g(x)|x∈R}=sup{f(x)|x∈F}；inf{g(x)|x∈R}=inf{f(x)|x∈F}；（对n维空间也成立）【分】由鲁津定理：，闭集EF,0则及R上的连续函数g(x)，闭集EF,0则且f(x)在F上连续。下面只需将f(x)延拓为R上的连续函数g(x)即可。RE若f(x)为上几乎处处有限可测，aibi由于FC为R上的开集，根据R上开集构造，FC可唯一地表示成有限个或可数个互不相交的开区间的并：。),(iiicbaF,.),,(),(,),,(),(,,),,(),)()()(,),()(iiiiiiiiiiiiiiiiiiabaxbfbbaxafbabaxaxabafbfafFxxfxg当当有限当（当biai则g(x)满足要求，且在R上连续.（参见课本p91）注2：鲁津定理的逆定理成立。，闭集EF,0设f(x)为E上几乎处处有限的实函数，若使得m(E-F)ε且f(x)在F上连续，则f(x)在E上为可测函数。.)()(.)(.0)(,1)()()(.)(,)(,1)(,,111上可测函数为上可测函数为又上可测函数为则令上连续（可测函数），在使得：闭集则证明：FFExfFExfFEmnFEmFEmFEmFxfFFFxfnFEmFFnnnnnnnnn例1对ER1上的a.e.有限的可测函数f(x)，一定存在R上的连续函数列使于E。..),()(eaxfxfi)}({xfieaxfxgni.),()(。于依测度收敛于即Exfxgn)()(1[||]0,()0(0)ngfnnmEmEFn从而)()(xgxfini令，即得我们所要的结果。nnnnnnnFEmxfxgFxgREF11)()()(),(,且上使在上的连续函数，及闭集证明：由鲁津定理另外的形式知再由Riesz定理，存在的子列使a.e.于E，)}({xgni)}({xgn..),()(eaxfxfn)}({xfn习题选讲为可测集。上可测函数，故为上可测函数，故为为可测集，而由于为可测集。显然证明：],ln)()*ln(['''],ln)()*ln([])([)(ln*)()(ln})(,|{})(ln,|{,..0,0,,)(axfxgaaxfxgaxfEExfxgExfexfExxaxfExxRaEaEaEERaxg上可测函数。为上可测函数，则均为若ExfExgxfxfxg)()()(),(,0)(.1均为可测函数。则）上一个连续函数族，（为记)}({inf)()},({sup)(1,0.2xfxxfxEff为开集（可测）。所以，内点。为即，，，使得：，为连续函数，故，由使得：存在，事实上，为开集（可测）。，则下面说明为可测函数。证明：只证])([])([0])([0000000000])([0])([])([,)().(,)().(,)()()(,)(,)(,)(,)(axaxaxaxaxaxEExExxxxxaxxxxaxfxxxfaxfxfaxExEERax.,)(1,)\(,,,0,.,)(0)(,m(A)0.3000BxkxfkBAmkABEeaxfAxf使得：及自然数存在证明：于上可测函数，且为设.,.)(|)()(|,,0)(lim)()(,}{),,3,2,1}()(1,|{.0)()(},)(,|{},0)(,|{00011212121即得结论取使得：为递增可测集列。则又令证明：显然令kkkkkkkkkkkABAAmAmAmkkkAmAmAmAZZAAkkxfkAxxAZmZmxfAxxZxfAxxZ。于使得：上连续函数问是否必有上几乎处处连续函数，为）若上几乎处处连续函数？必定是问于上连续函数，为）设],[.),()()(],[],[)(2],[)(],,[.),()(],[)(.14baeaxgxfxfbabaxgbaxgbaeaxgxfbaxf矛盾）。），（），处的任意去心邻域（，），处的任意右邻域（，），处的任意左邻域（则于使得：上连续函数则若有如。于使得：上连续函数）未必有上处处不连续。在但，如：上几乎处处连续函数。未必是）解：(1)01(0)01()}()(|{)}()(|{11111)}()(|{111)}()(|{111,.),()()(],[,)(],[.),()()(],[2]1,0[)(,.]1,0[,0,]1,0[,1)(],1,0[0)(],[)(1c),1[ffxgxfxxgxfxxxgxfxxxgxfxxReaxgxfxfbaxgbaeaxgxfxfbaxgQxQxxgxxfbaxgC.0}|})({|sup:({lim0..,0)(lim)}({,)(.5jn），有于上可测函数，则为设xfExmEeaxfExfEmkjkkk.0)\()()(lim\).()lim()(lim,(}|{.0)(lim,0)\()(},1|})({|sup:{.0}1|})({|sup::({lim.0}|})({|sup::({lim0]0[)(j)(j]0[)(j)(j)(j)(j)()()(j]0[)(jjkkkfnjnjfnjnjnjnjnjnjnjfkjknjkjkkjkEEmSmSmEESSmSmSmEmmSNjSSmNnEEmnxfExSnxfExmNnxfExm所以，证。），（自己用极限定义反而故）为递减集列，且事实上，由于，有而下证：已知令），有），有证明：显然，.0)\(})1|})(:|{(0})1|})(:|{(.)(})1|})(:|{(})1|})(:|{(}1|})(:|{}1|})(:|{.(,,00(lim.0})1|})(:|{()\(,}1|})(:|{\.0(lim},1|})({|sup:{)(]0[111)(1)(1)(00)(j11]0[11]0[)(j)(0000kkkfkjkjnkjkjnjkjkkjkjnjkjkkjkjnjnjkjkjnfkjkjnfnjkjknjEEmnxfExmnxfExmSmnxfExmnxfExmSnxfExnxfExSmjjjSmNnnxfExmEEmnxfExEESmNnnxfExS，故知，再由）时，有当，），有由即需要证明：知则由式：），有则设