张量分析及其应用

张量分析及其应用第一章张量代数第二章张量分析第三章张量应用1.1指标记法1.1.1求和约定、哑指标第一章张量代数n1kkkn1jjjn1iii2211xaxaxaxaxaxaSnn显然，指标i,j,k与求和无关，可用任意字母代替。为简化表达式，引入Einstein求和约定：每逢某个指标在一项中重复一次，就表示对该指标求和，指标取遍正数1，2，…，n。这样重复的指标称为哑标。于是kkorjjoriixaxaxaSiiixba是违约的，求和时要保留求和号n1iiiixban表示空间的维数，以后无特别说明，我们总取n=3。例题332211iixaxaxaxa332211jjbbbb332211mmeeeecccc双重求和31i31jjiijxxaS简写成jiijxxaS展开式（9项）313321321131322322221221311321121111xxaxxaxxaxxaxxaxxaxxaxxaxxaS三重求和（27项）kkxxxaxxxaSjiijk31i31j31kjiijkjijixax1.1.2自由指标例如指标i在方程的各项中只出现一次，称之为自由指标。一个自由指标每次可取整数1,3,…,n，与哑标一样，无特别说明总取n=3。于是，上式表示3个方程的缩写：3132121111xaxaxax3232221212xaxaxax3332321313xaxaxaxjijieeA3132121111eeeeAAAi为自由指标，j为哑标表示3232221212eeeeAAA3332321313eeeeAAAjijieeA3132121111eeeeAAAi为自由指标，j为哑标表示3232221212eeeeAAA3332321313eeeeAAAjkikijBAC1313121211111k1k11BABABABACi，j为自由指标，k为哑标表示9个方程：2313221221112k1k12BABABABAC3313321231113k1k13BABABABAC1323122211211k2k21BABABABAC3333323231313k3k33BABABABAC……例外：111ECR222ECR333ECRiiiiiECECR出现双重指标但不求和时，在指标下方加划线以示区别，或用文字说明（如i不求和）。规定：这里i相当于一个自由指标，而i只是在数值上等于i，并不与i求和。又如，方程333222111232221用指标法表示，可写成iiiiiiiiiiii不参与求和，只在数值上等于i1.2Kronecker符号在卡氏直角坐标系下，Kronecker符号定义为：ji,0ji,1ji100010001333231232221131211其中i，j为自由指标，取遍1，2，3；因此，可确定一单位矩阵：ji若jijiee321,,eee是相互垂直的单位矢量，则3332211iieeeeeeee，但3332211ii而，故iiiiee注意：3iiii是一个数值，即ji的作用：1）换指标；2）选择求和。例1：kiAAkkkkiikAAA思路：把要被替换的指标i变成哑标，哑标能用任意字母，因此可用变换后的字母k表示例2：jijkTTjijiiijkkiTTT例3：jnimBAnm个数，项的和。jmimjninjnimnmBABABA813,4求特别地，jijkkimimjjkki,1.3置换符号,0,1,1kjiei,j,k,为1，2，3的偶排列i,j,k,为1，2，3的奇排列i,j,k,不是1，2，3的排列例如：1312231123eee1132213321eee0232121111eee可见：ijkjkikijjikikjkjieeeeeekjie也称为三维空间的排列符号。321,,eee若是右手卡氏直角坐标系的单位基矢量kkjijieeee则常见的恒等式nkmklknjmjljnimilinmlkjieeljmimjlikmlkjieelikjlkji2ee!36kjikjiee(i)(ii)(iii)(iv)证明：333231232221131211nmlkjinkmklknjmjljnimiliAAAAAAAAAeeAAAAAAAAAjijiA令即得（i），将（i）作相应的指标替换，展开化简，将得其余三式。指标任意排列，经过行列调整总可用右边表示，两个置换符号分别反映行、列调换及指标重复时的正、负及零二维置换符号33jieee其中,02211ee12112ee从三维退化得到e)2,1,(有下列恒等式ee,ee!22ee关键公式：nkmklknjmjljnimilinmlkjiee10000mjljmili33m3l33jmjlj3imili3ml3jieeee二维关键公式：eeee222eeee44222241.4指标记法的运算mmiimmiicVbbUa1.4.1代入设(1)(2)把（2）代入（1）mmiicVbmnorelsennmmcVbnnmmiicVUa3个方程，右边为9项之和1.4指标记法的运算mmmmbVqaUp1.4.2乘积设则nnmmbVaUqp不符合求和约定mmmmbVaUqp1.4指标记法的运算0ijjinnT1.4.3因式分解考虑第一步用in表示jnjjiinnji,有换指标的作用所以0jjijjinnT即0)(jjijinT1.4指标记法的运算jijikkji2EET1.4.4缩并使两个指标相等并对它们求和的运算称为缩并。如各向同性材料应力应变关系iikkiiiikkii232EEEETiiii)23(ET缩并哑标与求和无关，可用任意字母代替为平均应力应变之间的关系1.4指标记法的运算1.4.5例题——熟悉指标记法和普通记法的转换求和约定同样适用于微分方程。不可压缩牛顿流体的连续性方程：其普通记法0iixU0332211xUxUxU0zyxzUyUxU或1.4指标记法的运算1.4.5例题——熟悉指标记法和普通记法的转换不可压缩牛顿流体的Navier-Stokes方程：写出其普通记法jjiiijijixx)(UxpbxUUtU1.4指标记法的运算1.4.5例题——熟悉指标记法和普通记法的转换弹性力学平衡方程方程：写出其指标记法0xzxyxxxbzTyTxT0yzyyyxybzTyTxT0zzzyzxzbzTyTxT1.5张量的定义1.5.1坐标系的变换关系（卡氏右手直角坐标系）旧坐标系：新旧基矢量夹角的方向余弦：321xxxO单位基矢量：},,{321eee新坐标系：单位基矢量：321xxxO},,{321eeejijijijiji),cos(),cos(||||eeeeeeee1.5.1坐标系的变换关系旧新1e2e2e1e2e3e111221312213233233jijiji),cos(eeee图解（二维）：,jj'122'111'11eeee2,1jcosj'1j'1在解析式中记：1.5.1坐标系的变换关系321331313322212312111321eeeeeeiiiiee从坐标变换的角度研究标量、矢量和张量（对i求和，i’为自由指标）1.5.2标量（纯量Scalar）),,(),,(321321xxxxxx在坐标变换时其值保持不变，即满足如数学中的纯数，物理中的质量、密度、温度等。时间是否标量？1.5.3矢量（Vector）},,{},,,{321321aaaaaa设a为任意矢量，其在新、旧坐标系下的分量分别为即iiii,aeaeaaiiiiieeeaaaiiiiaaiiiiiiiieeeeeaaaaiiiiaa（对i’求和）（对i求和）满足以下变换关系的三个量定义一个矢量}{ia1.5.3矢量（Vector）iiiiaaiiiiaakkiiiiaa哑标换成kkkiiikkiaa比较上式两边，得kiiiki即该变换是正交的1.5.4张量（Tensor）对于直角坐标系jijjiijiTT][jiT321xxxO，有九个量按照关系变换成321xxxO中的九个量][jiT则此九个量定义一个二阶张量。将矢量定义加以推广：（增加指标和相应的变换系数）iiiiaajijjiijiTT1.6张量的分量设ei为卡氏直角坐标系xi轴的单位基矢量，a为任一矢量，其分量为ai，于是iieaaaeeaiiia对于一个二阶张量T，它可以将a变换成另一个矢量b，即jijieTeT称为二阶张量T的分量令jijieTeT可理解为矢量T·ej在ei上的分量，即ijijeeTT因此，有下面三种等价的表达式：aTbjjijijiaTTab321333231232221131211321aaaTTTTTTTTTbbb333231232221131211TTTTTTTTT其中称为在基矢量组{e1,e2,e3}下二阶张量T的矩阵。注意：矢量a、b及张量T本身与坐标系无关，但其分量ai,bi,Tij通过基矢量组{e1,e2,e3}与坐标系相关。1.7.1张量的加法和减法设T、S均为二阶张量，将它们的和、差用下式表示：ST仍为二阶张量。若a为一矢量，则aSaTaST)(其分量为：jijijijijiji)()(STeSeeTeeSTeST其矩阵形式为：][][][STST1.7.2张量和标量的乘积设T为二阶张量，为一标量，它们的乘积记为，则TTT仍为二阶张量。因为根据坐标变换，有jijjiijiTTjijjiijijjiijijjiijiTTTT可见，为二阶张量。T1.7.3并矢积、并矢记法、基张量矢量a和矢量b的并矢积ab定义为按下列规则变换任意矢量的变换：c)(bac(ab)二阶张量一阶零阶关于是二阶张量的证明：即证明满足张量的定义：——是一个线性变换。abab设有任意矢量，及标量，则由并矢积定义dc,,)]([)(dcbadc(ab))]([)(dcbadc(ab))()()]