费马引理与罗尔中值定理

第三章微分中值定理及其应用3.1费尔马引理与函数最值3.2罗尔中值定理及应用一、费马引理ab0xxyo(费马引理)如果对),(0xUx有)()(0xfxf)),()((0xfxf或.0)(0xf则设f(x)在点的某邻域内有定义,)(0xU0x且在处可导,0x注：导数为零的点称为函数的驻点.证设对于),(0xUx有).()(0xfxf00)()(xxxfxf00limxx)(0xf由极限的保号性,0)(0xf000)()(xxxfxf)(0xf0limxx.0)(0xf则推论(最值的必要条件),),()()(0内的最值在是baxfxf设),,(0bax如果存在,)(0xf如果在[a,b]上连续,则在[a,b]上一)(xf)(xf定有最大值和最小值.由最值的必要条件,最大、最小值点只可能是的驻点、不可导点或区间的端点.求函数最大值与最小值的一般步骤:1.求驻点和不可导点;2.求出区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,其中最大者就是最大值,最小者就是最小值;3.在实际问题的应用中,问题本身可以保证目标函数的最大值或最小值一定存在,我们通常用这种思想求取应用问题的最值.例1求函数在[-1,4]上的最大值解得令,0)(xf计算与最小值.)1(666)(2xxxxxf(-1,4)内驻点.1,021xx,0)0(,5)1(ff80)4(,1)1(ff2332)(xxxf比较得,最大值最小值.5)1(f，80)4(fOzyx解hrhrV2222,222Rhr由得,)(222hhRV)0(Rh)3(222hRVhh2hrR例2求内接于球的圆柱体的最大体积,设球的半径R.设圆柱体的高为2h,底半径为r,体积为V,圆柱体的最大体积一定存在,故唯一驻点3Rh就是最大值点,最大体积为33222RRRV3334R令,0hV得3Rh(舍去负值)唯一驻点,)3(222hRVh定理3.2(罗尔定理)(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;(3))()(bfaf,),(内至少存在一点则在开区间ba使得.0)(f3.2罗尔中值定理及其应用ab12xyo)(xfyC证,],[)(上连续在因baxf若函数f(x)满足:必有最大值M和最小值m.,)1(mM若,)(],,[Mxfbax则),,(ba.0)(f有),,(),(bafM设.0)(f,),(,)2(内取得在则最大、最小值有一个若bamM),()(],,[fxfbax则由费尔马引理推论:可微函数的任意两个零点之间至少有的一个零点．)(xf)(xf若定理条件不全具备,1,010,)(xxxxf]1,1[,||)(xxxf结论不一定成立.1xyO]1,0[,)(xxxf1yxO1yxO1注例1证明是方程的唯一实根.证,1)(xexfx令,),()(内连续、可导在则xf.0)0(f显然,00x设另有.0)(0xf使),,0(0之间在存在x)0(,0)(f),0(,01)(xexfx而矛盾.0xxex1由罗尔定理,原命题得证.使得对可导函数f(x),之间,在方程f(x)=0的两实根0)(xf推论至少存在方程的一个实根.例),4)(3)(2)(1()(xxxxxxf设证,]4,0[)(连续在显然xf.0)4()3()2()1()0(fffff且;0)(),1,0(11xfx使;0)(),2,1(22xfx使;0)(),3,2(33xfx使.0)(),4,3(44xfx使,0)(有几个实根xf,)4,0(内可导在.40)(个实根有所以方程xf.并说明根所在的范围说明方程例2设常数满足:01210ncccn试证方程010nnxcxcc分析：注意到121012nnxncxcxcnnxcxcc10)(xf在(0,1)内存在一个实根.nccc,,,10证设,12)(1210nnxncxcxcxf,]1,0[)(上连续在xf,0)1()0(ff且由罗尔定理,)1,0(内至少存在一个实根在,0)(f使得即,010nnccc.为所求实根即x在(0,1)内可导,在[0,1]上二阶可导,且则在内至少存在一点),()(xxfxF),1,0(1例3若证使得.0)(F使得.0)(1F),()()(xfxxfxF0)()0(1FF上使用罗尔定理,],0[)(1在对xF),1,0(),0(1使得.0)(F上在对]1,0[)()(xxfxF使用罗尔定理,两种常用的构造辅助函数的方法：1.常数k法构造函数基本思路是令待证等式中的常数为k，通过恒等变形将含有的式子写成的形式，)()(bFaF然后用罗尔定理则就是需要的辅助函数,)(xF进行证明.例4设证明内可导在上连续在,),(,],[)(babaxf分析证，设kxxxfxF)()(令上使用在对],[)(baxF罗尔定理,)()()()(ffabaafbbf,)()(kabaafbbf整理得,)()(kaaafkbbbf),,(ba使得.0)(F故).()()()(ffabaafbbf，0)()(kff即使得内至少存在一点在,),(ba2.通过对待证等式的恒等变形寻找辅助函数然后再观察所得函数是哪个函数的导数，这个函数就是我们需要的辅助函数.因为等式中出现的中值一定是对某个函数使用中值定理得到的,因此,可以首先把还原为x，如果待证等式出现的形式，)()()()(xvxfxuxf则可以考虑形如的辅助函数.)()()(xgxfxF问题转化为证设辅助函数),()(2xfxxF)(xF在[0,1]上用罗尔定理,,)1,0(使得即有例5设证分析:0)(2xfxx][0)()(2)(2ffF,0)(2)(ff,0)1(,)1,0(,]1,0[)(fxf且内可导在上连续在使得内至少存在一点证明在,)1,0(作业习题3.2(116页)2.3.4.5.7.(1)8.(1)习题3.1(111页)1.(2)