2017年高考一轮复习之抛物线

基础诊断考点突破课堂总结第7讲抛物线基础诊断考点突破课堂总结最新考纲1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.基础诊断考点突破课堂总结知识梳理1．抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的．(2)其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．相等准线基础诊断考点突破课堂总结2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝py(p0)x2＝－2py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离基础诊断考点突破课堂总结性质顶点O(0，0)对称轴y＝0x＝0焦点Fp2，0F－p2，0F0，p2F0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下基础诊断考点突破课堂总结诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是a4，0，准线方程是x＝－a4.()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.()(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a＞0)的通径长为2a.()×××√基础诊断考点突破课堂总结2.(2015·陕西卷)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线焦点坐标为()A.(－1，0)B.(1，0)C.(0，－1)D.(0，1)解析由于抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－p2，由题意得－p2＝－1，p＝2，焦点坐标为1，0，故选B.答案B基础诊断考点突破课堂总结3.(2014·新课标全国Ⅰ卷)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝54x0，则x0＝()A.4B.2C.1D.8解析由y2＝x，得2p＝1，即p＝12，因此焦点F14，0，准线方程为l：x＝－14.设A点到准线的距离为d，由抛物线的定义可知d＝|AF|，从而x0＋14＝54x0，解得x0＝1，故选C.答案C基础诊断考点突破课堂总结4.已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________.解析设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意；当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k＜0或0＜k≤1，因此k的取值范围是[－1，1].答案[－1，1]基础诊断考点突破课堂总结5.动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________.解析设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.答案y2＝4x基础诊断考点突破课堂总结考点一抛物线的定义及应用【例1】(1)(2016·郑州质量预测)F是抛物线y2＝2x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝6，则线段AB的中点到y轴的距离为________.(2)已知点P是抛物线y2＝4x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是(4，a)，则当|a|＞4时，|PA|＋|PM|的最小值是________.基础诊断考点突破课堂总结解析(1)如图，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为D，E，由|AF|＋|BF|＝6及抛物线的定义知|AD|＋|BE|＝6，所以线段AB的中点到准线的距离为12(|AD|＋|BE|)＝3.又抛物线的准线为x＝－12，所以线段AB的中点到y轴的距离为52.基础诊断考点突破课堂总结(2)将x＝4代入抛物线方程y2＝4x，得y＝±4，|a|＞4，所以A在抛物线的外部，如图.由题意知F(1，0)，抛物线上点P到准线l：x＝－1的距离为|PN|，由定义知，|PA|＋|PM|＝|PA|＋|PN|－1＝|PA|＋|PF|－1.当A，P，F三点共线时，|PA|＋|PF|取最小值，此时|PA|＋|PM|也最小，最小值为|AF|－1＝9＋a2－1.答案(1)52(2)9＋a2－1基础诊断考点突破课堂总结规律方法与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.基础诊断考点突破课堂总结【训练1】(2014·新课标全国Ⅰ卷)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点.若FP→＝4FQ→，则|QF|等于()A.72B.52C.3D.2解析∵FP→＝4FQ→，∴|FP→|＝4|FQ→|，∴|PQ||PF|＝34.如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′，设l与x轴的交点为A，则|AF|＝4，∴|PQ||PF|＝|QQ′||AF|＝34，∴|QQ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ′|＝|QF|＝3，故选C.C基础诊断考点突破课堂总结考点二抛物线的标准方程和几何性质【例2】(1)已知双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()A.x2＝833yB.x2＝1633yC.x2＝8yD.x2＝16y(2)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点.若|AF|＝3，则△AOB的面积为________.基础诊断考点突破课堂总结解析(1)∵x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，∴ca＝2，即c2a2＝a2＋b2a2＝4，∴ba＝3.x2＝2py(p＞0)的焦点坐标为0，p2，x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±bax，即y＝±3x.由题意得p21＋（3）2＝2，解得p＝8.故C2的方程为x2＝16y.基础诊断考点突破课堂总结(2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1＞0，y2＜0)，如图所示，|AF|＝x1＋1＝3，∴x1＝2，y1＝22.设AB的方程为x－1＝ty，由y2＝4x，x－1＝ty消去x得y2－4ty－4＝0.∴y1y2＝－4.∴y2＝－2，∴S△AOB＝12×1×|y1－y2|＝322.答案(1)D(2)322基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.基础诊断考点突破课堂总结【训练2】(1)如图，过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为()A.y2＝9xB.y2＝6xC.y2＝3xD.y2＝3x(2)抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为2，则该抛物线的方程为________.5基础诊断考点突破课堂总结解析(1)如图，分别过A、B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由抛物线的定义知：|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°，∴∠AFx＝60°，连接A1F，则△AA1F为等边三角形，过F作FF1⊥AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于K，则|KF|＝|A1F1|＝12|AA1|＝12|AF|，即p＝32，∴抛物线方程为y2＝3x，故选C.基础诊断考点突破课堂总结（2）由题意，得抛物线方程为x2＝2ay(a≠0).设公共弦MN交y轴于A，N在y轴右侧，则|MA|＝|AN|，而|AN|＝5.∵|ON|＝3，∴|OA|＝32－（5）2＝2，∴N(5，±2).∵N点在抛物线上，∴5＝2a·(±2)，即2a＝±52，故抛物线的方程为x2＝52y或x2＝－52y.答案(1)C(2)x2＝52y或x2＝－52y基础诊断考点突破课堂总结考点三直线与抛物线的位置关系【例3】(2014·大纲全国卷)已知抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝54|PQ|.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程.基础诊断考点突破课堂总结解(1)设Q(x0，4)，代入y2＝2px得x0＝8p.所以|PQ|＝8p，|QF|＝p2＋x0＝p2＋8p.由题设得p2＋8p＝54×8p，解得p＝－2(舍去)或p＝2.所以C的方程为y2＝4x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0).代入y2＝4x得y2－4my－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.故AB的中点为D(2m2＋1，2m)，|AB|＝m2＋1|y1－y2|＝4(m2＋1).基础诊断考点突破课堂总结又l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－1my＋2m2＋3.将上式代入y2＝4x，并整理得y2＋4my－4(2m2＋3)＝0.设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3＋y4＝－4m，y3y4＝－4(2m2＋3).故MN的中点为E2m2＋2m2＋3，－2m，|MN|＝1＋1m2|y3－y4|＝4（m2＋1）2m2＋1m2.由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝12|MN|，基础诊断考点突破课堂总结从而14|AB|2＋|DE|2＝14|MN|2，即4(m2＋1)2＋2m＋2m2＋2m2＋22＝4（m2＋1）2（2m2＋1）m4.化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1.所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.基础诊断考点突破课堂总结【训练3】已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1，0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程；(2)是否存在正数m，对于过点M(m，0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有FA→·FB→＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.解(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足：（x－1）2＋y2－x＝1(x＞0).化简得y2＝4x(x＞0).基础诊断考点突破课堂总结(2)设过点M(m，0)(m＞0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2).设l的方程为x＝ty＋m，由x＝ty＋m，y2＝4x得y2－4ty－4m＝0，Δ＝16(t2＋m)＞0，于是y1＋y2＝4t，y1y2＝－4m.①又FA→＝(x1－1，y1)，FB→＝(x2－1，y2