2017-2018学年上海复旦附中高一(上)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年上海复旦附中高一（上）期末数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A.𝑦=√𝑥+1B.𝑦=(𝑥−1)2C.𝑦=𝑥−2D.𝑦=log0.5(𝑥+1)2.已知函数y=x2-2x+3在闭区间[0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（）A.[1,+∞)B.[0,2C.[1,2D.(−∞,23.如果函数y=f（x）图象上任意一点的坐标（x，y）都满足方程lg（x+y）=lgx+lgy，那么正确的选项是（）A.𝑦=𝑓(𝑥)是区间(0,+∞)上的减函数，且𝑥+𝑦≤4B.𝑦=𝑓(𝑥)是区间(1,+∞)上的增函数，且𝑥+𝑦≥4C.𝑦=𝑓(𝑥)是区间(1,+∞)上的减函数，且𝑥+𝑦≥4D.𝑦=𝑓(𝑥)是区间(1,+∞)上的减函数，且𝑥+𝑦≤44.若函数f（x）的反函数为f-1（x），则函数f（x-1）与f-1（x-1）的图象可能是（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）5.函数f（x）=√𝑥+2𝑥−1的定义域是______．6.函数y=x2+2（-1≤x≤0）的反函数是f-1（x）=______．7.设𝑓(𝑥)=𝑥2√𝑥−1，𝑔(𝑥)=√𝑥−1𝑥，则f（x）•g（x）=______．8.若正数a、b满足loga（4b）=-1，则a+b的最小值为______．9.幂函数f（x）=（t3-t+1）x3t+1是奇函数，则f（2）=______．10.函数𝑦=𝑙𝑔18+2𝑥−𝑥2的单调递减区间是______．11.函数y=1−2𝑥2𝑥+3的值域是______．12.设关于x的方程x2-6x+5=a的不同实数解的个数为n，当实数a变化时，n的可能取值组合的集合为______．13.对于函数f（x）=x2+ax+4，若存在x0∈R，使得f（x0）=x0，则称x0是f（x）的一个不动点，已知f（x）在x∈[1，3恒有两个不同的不动点，则实数a的取值范围______．14.若函数f（x）=x-1+mx-2+6x-3在x=2时取得最小值，则实数m的取值范围是______．15.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2-ax+a，其中a∈R．①f（-1）=______；②若f（x）的值域是R，则a的取值范围是______．16.已知函数𝑔(𝑥)=(𝑡−1)𝑥−4𝑥，x∈[1，2的最大值为f（t），则f（t）的解析式为f（t）=______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知关于x的不等式log2（-2x2+3x+t）＜0，其中t∈R．（1）当t=0时，求该不等式的解；（2）若该不等式有解，求实数t的取值范围．18.已知函数𝑓(𝑥)=(𝑥+1𝑥)2（x＞0）．（1）求函数f（x）的反函数f-1（x）；（2）若x≥2时，不等式(𝑥−1)𝑓−1(𝑥)＞𝑎(𝑎−√𝑥)恒成立，求实数a的范围．19.某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为𝑓(𝑥)=𝑥𝑥2+1−𝑎+2𝑎+34，x∈[0，24），其中a是与气象有关的参数，且𝑎∈[0，12．若用每天f（x）的最大值为当天的综合污染指数，并记作M（a）．（1）令t=𝑥𝑥2+1，x∈[0，24），求t的取值范围；（2）求M（a）的表达式，并规定当M（a）≤2时为综合污染指数不超标，求当a在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．20.指数函数y=g（x）满足g（2）=4，且定义域为R的函数𝑓(𝑥)=−𝑔(𝑥)+𝑛2𝑔(𝑥)+𝑚是奇函数．（1）求实数m、n的值；（2）若存在实数t，使得不等式f（t2-2t）+f（2t2-）＞0成立，求实数的取值范围．21.设集合M为下述条件的函数f（x）的集合：①定义域为R；②对任意实数x1、x2（x1≠x2），都有𝑓(13𝑥1+23𝑥2)＜13𝑓(𝑥1)+23𝑓(𝑥2)．（1）判断函数f（x）=x2是否为M中元素，并说明理由；（2）若函数f（x）是奇函数，证明：f（x）∉M；（3）设f（x）和g（x）都是M中的元素，求证：F（x）={𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)≥𝑔(𝑥)𝑔(𝑥)𝑓(𝑥)＜𝑔(𝑥)也是M中的元素，并举例说明，G（x）={𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)≤(𝑥)𝑔(𝑥)𝑓(𝑥)＞𝑔(𝑥)不一定是M中的元素．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A.在（0，+∞）上是增函数，满足条件，B．y=（x-1）2在（-∞，1上为减函数，在[1，+∞）上为增函数，不满足条件．C．y=x-2在（0，+∞）上为减函数，不满足条件．D．y=log0.5（x+1）在（0，+∞）上为减函数，不满足条件．故选：A根据函数单调性的性质分别进行判断即可．本题主要考查函数单调性的判断，根据常见函数的单调性是解决本题的关键．比较基础．2.【答案】C【解析】解：作出函数f（x）的图象，如图所示，当x=1时，y最小，最小值是2，当x=2时，y=3，函数f（x）=x2-2x+3在闭区间[0，m上上有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围是[1，2．故选：C．本题利用数形结合法解决，作出函数f（x）的图象，如图所示，当x=1时，y最小，最小值是2，当x=2时，y=3，欲使函数f（x）=x2-2x+3在闭区间[0，m上的上有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围要大于等于1而小于等于2即可．本题考查二次函数的值域问题，其中要特别注意它的对称性及图象的应用，属于中档题．3.【答案】C【解析】解：由lg（x+y）=lgx+lgy，得，由x+y=xy得：，解得：x+y≥4．再由x+y=xy得：（x≠1）．设x1＞x2＞1，则=．因为x1＞x2＞1，所以x2-x10，x2-1＞0．则，即f（x1）＜f（x2）．所以y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，综上，y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≥4．故选：C．由给出的方程得到函数y=f（x）图象上任意一点的横纵坐标x，y的关系式，利用基本不等式求出x+y的范围，利用函数单调性的定义证明函数在（1，+∞）上的增减性，二者结合可得正确答案．本题考查了函数单调性的判断与证明，考查了利用基本不等式求最值，训练了利用单调性定义证明函数单调性的方法，是基础题．4.【答案】A【解析】解：函数f（x-1）是由f（x）向右平移一个单位得到，f-1（x-1）由f-1（x）向右平移一个单位得到，而f（x）和f-1（x）关于y=x对称，从而f（x-1）与f-1（x-1）的对称轴也是由原对称轴向右平移一个单位得到即y=x-1，排除B，D；A，C选项中各有一个函数图象过点（2，0），则平移前的点坐标为（1，0），则反函数必过点（0，1），平移后的反函数必过点（1，1），由此得：A选项有可能，C选项排除；故选：A．f（x）和f-1（x）关于y=x对称是反函数的重要性质；而将f（x）的图象向右平移a个单位后，得到的图象的解析式为f（x-a）而原函数和反函数的图象同时平移时，他们的对称轴也相应平移．用整体平移的思想看问题，是解决本题的关键．5.【答案】{≥-2且x≠1}【解析】解：由题意，要使函数有意义，则，解得，x≠1且x≥-2；故函数的定义域为：{≥-2且x≠1}，故答案为：{≥-2且x≠1}．由题意即分母不为零、偶次根号下大于等于零，列出不等式组求解，最后要用集合或区间的形式表示．本题考查了求函数的定义域，最后要用集合或区间的形式表示，这是容易出错的地方．6.【答案】𝑓−1(𝑥)=−√𝑥−2，x∈[2，3【解析】解：∵y=x2+2（-1≤x≤0）∴x=-，2≤y≤3，故反函数为，x∈[2，3．故答案为：，x∈[2，3．由原函数的解析式解出自变量x的解析式，再把x和y交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域）．本题考查反函数的求法，考查计算能力，是基础题，反函数的定义域容易疏忽出错，注意反函数的定义域是原函数的值域．7.【答案】x，x∈（1，+∞）【解析】解：∵，，∴f（x）的定义域是（1，+∞），g（x）的定义域是[1，+∞），∴f（x）•g（x）=x，x∈（1，+∞），故答案为：x，x∈（1，+∞）．根据f（x），g（x）的解析式求出f（x）•g（x）的解析式即可．本题考查了求函数的解析式问题，考查函数的定义域，是一道基础题．8.【答案】1【解析】解：根据题意，若正数a、b满足loga（4b）=-1，则有a=，即ab=，则a+b≥2=1，即a+b的最小值为1；故答案为：1．根据题意，由对数的运算性质可得a=，即ab=，进而由基本不等式的性质可得a+b≥2=1，即可得答案．本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及对数的运算性质，关键是分析a、b的关系．9.【答案】2【解析】解：函数f（x）=（t3-t+1）x3t+1是幂函数，∴t3-t+1=1，解得t=0或t=±1；当t=0时，f（x）=x是奇函数，满足题意；当t=1时，f（x）=x4是偶函数，不满足题意；当t=-1时，f（x）=x-2是偶函数，不满足题意；综上，f（x）=x；∴f（2）=2．故答案为：2．根据幂函数的定义求出t的值，再验证f（x）是否为奇函数，从而求出f（2）的值．本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．10.【答案】（-2，1【解析】解：要求函数的单调递减区间，需求函数y=，（8+2x-x2＞0）的增区间，由8+2x-x2＞0可得-2＜x＜4，对应的二次函数，开口向下，增区间为：（1，4），减区间为：（-2，1．由复合函数的单调性可知：函数的单调递减区间是：（-2，1．故答案为：（-2，1．由对数函数为增函数，要求复合函数的减区间，需求真数的减区间，分式的分母的增区间，利用函数的定义域以及二次函数的单调性转化求解即可．本题考查复合函数的单调性，分式函数、二次函数和对数函数的单调性，是中档题．11.【答案】（-1，13）【解析】解：函数y===-1．∵2x+3＞3，∴0＜．∴函数y=的值域是（-1，）故答案为（-1，）分离常数后，根据指数函数的值域即可求函数y的范围．本题考查分离常数法转化为指数函数的值域的运用，属于基础题．12.【答案】{0，2，3，4}【解析】解：关于x的方程x2-6x+5=a，分别画出y=x2-6x+5与y=a的图象，如图：①若该方程没有实数根，则a＜0；n=0；②若a=0，则该方程恰有两个实数解，n=2；③若a=4时，该方程有三个不同的实数根，n=3；④当0＜a＜4，该方程有四个不同的实数根，n=4；⑤当a＞4，该方程有两个不同的实数根，n=2；n的可能取值组合的集合为{0，2，3，4}故答案为：{0，2，3，4}．将方程x2-6x+5=a的实数解的个数问题转化为函数图象的交点问题，作图分析即得答案．本题考查了根的存在性及根的个数判断．华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．”数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．13.【答案】[−103，−3)【解析】解：根据题意，f（x）=x2+ax+4在[1，3恒有两个不同的不动点，得x=x2+ax+4在[1，3有两个实数根，即x2+（a-1）x+4=0在[1，3有两个不同实数根，令g（x）=x2+（a-1）x+4．在[1，3有两个不同交点，∴，即，解得：a∈[-，-3）；故答案为：[-，-3）．不动点实际上就是方程f（x0）=x0的实数根．二次函数f（x）=x2+ax+4有不动点，是指方程x=x2+ax+4有实根．即方程x=x2+ax+4有两个不同实根，然后根据根列出不等式解答即可．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、函数与方程的综合运用，解答该题时，借用了一元二次方程的根的判别式与根这一知识点．14.【答案】[5，+∞）【