9.5空间向量及其运算第三课时 空间向量基本定理

首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场第三课时空间向量基本定理首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场想一想：1．空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc.2．如果三个向量a、b、c不共面，那么{a，b，c}叫做空间的一个基底，a、b、c都叫做基向量．3．推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组x，y，z，使OP―→＝xOA―→＋yOB―→＋zOC―→.当P、A、B、C四点共面时有：x＋y＋z＝1.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场做一做：1．i，j，k是构成空间的一组基向量，则(C)(A)它们共线(B)它们共面(C)它们不共面(D)它们互相垂直解析：由基向量的定义可知，选C.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场教师备用：设命题p：a，b，c是三个非零向量，命题q：{a，b，c}为空间的一个基底，则命题p是命题q的(B)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析：由基底定义知应选B.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场2．若{OA―→，OB―→，OC―→}是空间的一个基底，OP―→＝OA―→＋2OB―→＋3OC―→，OQ―→＝2OA―→－OB―→，则PQ―→可表示为(C)(A)OA―→＋2OB―→－2OC―→(B)OA―→－OB―→＋OC―→(C)OA―→－3OB―→－3OC―→(D)OA―→＋12OB―→－12OC―→解析：PQ―→＝OQ―→－OP―→＝2OA―→－OB―→－OA―→－2OB―→－3OC―→＝OA―→－3OB―→－3OC―→，应选C.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场3．O、A、B、C为空间四点，且向量OA―→、OB―→、OC―→不能构成空间的一个基底，则(D)(A)OA―→、OB―→、OC―→共线(B)OA―→、OB―→共线(C)OB―→、OC―→共线(D)O、A、B、C四点共面解析：由基底定义知应选D.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场4．如图，在长方体ABCDA′B′C′D′中向量A′C―→可用向量AB―→，DD′―→，B′C′―→表示为__________________．解析：∵A′C―→＝A′D′―→＋D′D―→＋DC―→，又∵A′D′―→＝B′C′―→，DC―→＝AB―→，D′D―→＝－DD′―→∴A′C―→＝B′C′―→－DD′―→＋AB―→.答案：A′C―→＝B′C′―→－DD′―→＋AB―→首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场知识要点一：空间向量基本定理的理解1．空间向量基本定理与平面向量基本定理类似，区别仅在于基底中多了一个向量，从而分解结果也多了一“项”，解决问题的思路，步骤也基本相同．2．空间向量基本定理表明，用空间三个不共面的已知向量a，b，c可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的．对于基底{a，b，c}除了应知道a，b，c不共面，还应明确：(1)空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定以后，空间的所有向量均可由基底唯一表示．(2)由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场知识要点二：基底的概念及应用1．只有当三个向量不共面时才可作为空间的一个基底．2．一个基底是指一个向量组，一个基向量指基底中某一个向量，二者是相关联的不同概念．3．任何不共面的三个向量a、b、c都可以构成空间的一个基底，空间任一向量都可由基底线性表示，在利用向量解决问题时，要恰当地选取基底，把目标向量用基向量表示，进而转化为基向量的运算，这一思想要注意体会．首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场基底的判断【例1】已知向量组{a，b，c}是空间的一个基底，求证：向量a＋b，a－b，c能构成空间的一个基底．思路点拨：根据空间向量基本定理，要证明向量a＋b，a－b，c能构成空间的一个基底，只要证明它们不共面即可．证明：假设a＋b，a－b，c共面，由于a＋b与a－b不共线，则c可用a＋b与a－b来表示．所以存在x，y使c＝x(a＋b)＋y(a－b)．∴c＝(x＋y)a＋(x－y)b.从而由共面向量定理知，c与a、b共面．这与a、b、c不共面矛盾．∴a＋b，a－b，c不共面．从而a＋b，a－b，c可以构成空间的一个基底．证明三个向量能构成空间的一个基底，就是证明三个向量不共面．证明三个向量不共面常用反证法并结合共面向量定理来证．首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场变式训练11：已知O、A、B、C为空间不共面四点，且向量a＝OA―→＋OB―→＋OC―→，向量b＝OA―→＋OB―→－OC―→，则与a、b不能构成空间基底的向量是()(A)OA―→(B)OB―→(C)OC―→(D)OA―→或OB―→解析：由a＝OA―→＋OB―→＋OC―→，b＝OA―→＋OB―→－OC―→得2OC―→＝a－b.∴OC―→＝12a－12b，∴OC―→与a、b共面，∴OC―→与a、b不能构成空间的基底．应选C.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场利用基底表示向量【例2】如图所示，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1，且AA1―→＝a，AB―→＝b，AD―→＝c，用a、b、c表示如下向量：(1)A1C―→；(2)BG―→(G是B1D1上分B1D1―→的比值为12的点)．解：(1)A1C―→＝AC―→－AA1―→＝AB―→＋AD―→－AA1―→＝b＋c－a.(2)BG―→＝BB1―→＋B1G―→.又B1G―→＝13B1D1―→＝13BD―→＝13(AD―→－AB―→)＝13(c－b)．∴BG―→＝a－13b＋13c.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则、加法、减法的三角形法则．首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场综合应用【例3】证明平行六面体的体对角线交于一点且互相平分．证明：如图所示，设平行六面体ABCDA1B1C1D1的体对角线AC1，BD1，CA1，DB1的中点依次为P1，P2，P3，P4.又设AA1―→＝a，AB―→＝b，AD―→＝c，以{a，b，c}为基底则AP1―→＝12AC1―→＝12(AA1―→＋A1B1―→＋B1C1―→)＝12(AA1―→＋AB―→＋AD―→)＝12a＋12b＋12c首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场同理AP2―→＝AP3―→＝AP4―→＝12a＋12b＋12c，∴AP1―→＝AP2―→＝AP3―→＝AP4―→，∴P1，P2，P3，P4重合∴体对角线AC1，BD1，CA1，DB1相交于一点且互相平分．此类问题注意空间向量基本定理的应用，注意选择一组恰当的基底，然后用统一法利用点重合问题即得证．首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场基础达标1．a、b、c是三个不共面向量，p是空间任一向量，①p＝xa②p＝xa＋yb③p＝xa＋yb＋zc，其中表示正确的是(D)(A)①②③(B)②③(C)①③(D)③解析：由空间向量基本定理得应选D.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场2．若向量MA―→、MB―→、MC―→互不重合且无三点共线，且满足下列关系(O是空间任一点)，则能使向量MA―→、MB―→、MC―→成为空间一组基底的条件是(C)(A)OM―→＝13OA―→＋13OB―→＋13OC―→(B)MA―→≠MB―→＋MC―→(C)OM―→＝OA―→＋OB―→＋OC―→(D)MA―→＝2MB―→－MC―→解析：判断三个向量是否构成一个向量的基底，即判断这三个基向量是否共面，要使MA―→、MB―→、MC―→不共面，则M、A、B、C点不共面．选项A中，A、B、C、M四点可能共面；选项B中，只能够表明MA―→不是MB―→、MC―→向量构成平行四边形的对角线，A、B、C、M四点可能共面；选项D表明MA―→是向量2MB―→和MC―→构成平行四边形的对角线，则A、B、C、M四点共面．首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场3．下列命题中，正确的是(D)(A)若a与b共线，则a与b所在直线平行(B)若a∥平面β，a所在直线为a，则a∥β(C)若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a－b，b－c，c－a}构成空间的另一个基底(D)若OP―→＝12OA―→＋12OB―→，则P、A、B三点共线解析：向量共线则其所在直线平行或重合，A错．向量平行于平面，则向量在平面内或所在直线与平面平行，B错．取λ1＝λ2＝λ3＝1，则λ1(a－b)＋λ2(b－c)＋λ3(c－a)＝0，即a－b，b－c，c－a是共面向量，不能构成空间的基底，C错，应选D.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场4．如图，在空间平移△ABC到△A1B1C1，连结对应顶点，AA1―→＝a，AB―→＝b，AC―→＝c，且M是BC1的中点，N在AC1上，AN―→＝2NC1―→，用基向量a，b，c表示MN―→，则MN―→＝________.解析：MN―→＝MC1―→＋C1N―→＝12BC1―→－13AC1―→＝12(AC1―→－AB―→)－13AC1―→＝16AC1―→－12AB―→＝16(AC―→＋AA1―→)－12AB―→＝16a－12b＋16c答案：16a－12b＋16c首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场能力提升5．给出下列命题：①空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底；②已知向量a∥b，则a、b与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A、B、M、N是空间四点，若BA―→、BM―→、BN―→不能构成空间的一个基底，那么A、B、N、M共面；④已知向量组{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是(D)(A)1(B)2(C)3(D)4解析：由基底的定义知①②③④都正确，应选D.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场6．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}；②{x，y，z}；③{b，c，z}；④{b，c，y＋b＋c}，其中可以作为空间的基底的向量组有(B)(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个解析：能否作为空间的基底，即要判断给出的向量组中的三个向量是否共面，由于a，b，c是不共面向量，所以可以构造图形，利用平行六面体中某一点出发的三条棱所对应的向量与相应面上的对角线对应的向量的关系直观判断．首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场如图，设a＝AB―→，b＝AA1―→，c＝AD―→，则x＝AB1―→，y＝AD1―→，z＝AC―→，a＋b＋c＝AC1―→，由A、B1、C、D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理可知b、c、z也不共面．选B.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场7．空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC、△OBC的重心，设OA―→＝a，OB―→＝b，OC―→＝c，试用向量a，b，c表示向量OG―→和GH―→.解：∵OG―→＝OA―→＋AG―→，而AG―→＝23AD―→，AD―→＝OD―→－OA―→，又D为BC中点，∴OD―→＝12(OB―→＋OC―→)，首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场∴OG―→＝OA―→＋23AD―→＝OA―→＋23(OD―→－OA―→)＝13(OA―→＋OB