【最新】高考数学一轮复习 第8讲 函数与方程课件 理 苏教版

【2014年高考会这样考】1．考查具体函数的零点的取值范围和零点个数．2．利用函数零点求解参数的取值范围．3．利用二分法求方程的近似解．4．考查函数零点、方程的根和两函数图象交点之间的等价转化思想和数形结合思想.第8讲函数与方程抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考限时规范训练函数的零点二次函数零点的分布二分法求方程的近似解考向一考向二考向三如何解决有关函数零点的问题单击标题可完成对应小部分的学习，每小部分独立成块，可全讲，也可选讲助学微博考点自测A级【例1】【训练1】【例2】【训练2】【例3】【训练3】函数零点性质的应用有关二次函数的零点问题函数零点与零点个数的判断选择题填空题解答题123、、、B级选择题填空题解答题123、、、考点梳理1．函数的零点(1)函数的零点的定义：对于函数y＝f(x)，我们把使的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)几个等价：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与轴有交点⇔函数y＝f(x)有．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．f(x)＝0f(a)·f(b)＜0x零点(a，b)考点梳理2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)零点的分布根的分布(mnp为常数)图象满足条件根的分布(mnp为常数)图象满足条件x1x2mΔ0－b2amfm0mx1x2nΔ0m－b2anfm0fn0mx1x2Δ0－b2amfm0mx1nx2pfm0fn0fp0x1mx2f(m)0只有一根在(m，n)之间Δ＝0m－b2an或fm·fn0考点梳理3.二分法求方程的近似解(1)二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间，使区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)0，给定精确度ε：②求区间(a，b)的中点c；③计算f(c)；(i)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；(ii)若f(a)·f(c)0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；(iii)若f(c)·f(b)0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．④判断是否达到精确度ε.即：若|a－b|ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②③④.f(a)·f(b)＜0一分为二零点助学微博用二分法求零点近似值的口诀为：定区间，找中点，中值计算两边看，同号去，异号算，零点落在异号间．周而复始怎么办？精确度上来判断．(1)函数y＝f(x)的零点即方程f(x)＝0的实根，是数不是点．(2)若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不间断的，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)0，满足这些条件一定有零点，不满足这些条件也不能说就没有零点．如图，f(a)·f(b)0，f(x)在区间(a，b)上照样存在零点，而且有两个．所以说零点存在性定理的条件是充分条件，但并不必要．函数零点个数的判断方法．(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．三种方法两个防范一个口诀1．(人教A版教材习题改编)如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是()．A．①②B．①③C．①④D．③④2．(2012·湖北)函数f(x)＝xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为()．A．4B．5C．6D．73．(2011·新课标全国)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为()．A.－14，0B.0，14C.14，12D.12，344．(2013·咸阳二模)若x0是函数f(x)＝3x－1x－2，x∈(2，＋∞)的一个零点，x1∈(2，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则()．A．f(x1)0，f(x2)0B．f(x1)0，f(x2)0C．f(x1)0，f(x2)0D．f(x1)0，f(x2)05．已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是________．单击题号显示结果答案显示单击图标显示详解考点自测BCCB(-2,0)12345[审题视点]函数零点的个数⇔f(x)＝0解的个数⇔函数图象与x轴交点的个数．[方法锦囊]对函数零点个数的判断可从以下几个方面考虑：(1)结合函数图象；(2)根据零点存在定理求某些点的函数值；(3)利用函数的单调性判断函数的零点是否唯一．考向一函数零点与零点个数的判断【例1】►(2012·天津)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是()．A．0B．1C．2D．3解析法一∵函数y＝2x与y＝x3－2在R上都是增函数，故f(x)＝2x＋x3－2在R上是增函数，又f(0)＝－1，f(1)＝1，即f(0)·f(1)0，故f(x)在(0,1)内有唯一零点．法二令f(x)＝0，即2x＋x3－2＝0，则2x－2＝－x3.在同一坐标系中分别画出y＝2x－2和y＝－x3的图象,由图可知两个图象在区间(0,1)内只有一个交点，∴函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内有一个零点，故选B.答案B[审题视点]函数零点的个数⇔f(x)＝0解的个数⇔函数图象与x轴交点的个数．[方法锦囊]对函数零点个数的判断可从以下几个方面考虑：(1)结合函数图象；(2)根据零点存在定理求某些点的函数值；(3)利用函数的单调性判断函数的零点是否唯一．考向一函数零点与零点个数的判断【训练1】求函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点个数．解法一∵函数y＝lnx与y＝2x－6均是增函数,故函数f(x)＝lnx＋2x－6在(0，＋∞)上是增函数，又f(2)＝ln2－20，f(3)＝ln30，即f(2)·f(3)0，所以f(x)＝lnx＋2x－6在(2,3)有唯一零点．法二在同一坐标系中画出函数y＝lnx与y＝6－2x的图象，如图所示，由图可知两图象只有一个交点，故函数y＝lnx＋2x－6只有一个零点．[审题视点]设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制．考向二有关二次函数的零点问题【例2】►(1)m为何值时，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4．①有且仅有一个零点？②有两个零点且均比－1大？(2)若函数f(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，求实数a的取值范围．解(1)①若函数f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且仅有一个零点，则Δ＝4m2－4(3m＋4)＝0，即m2－3m－4＝0，解得m＝4或m＝－1.②若f(x)有两个零点且均比－1大，设两零点分别为x1，x2，则x1＋x2＝－2m，x1·x2＝3m＋4，故只需Δ＝4m2－43m＋40，x1＋1＋x2＋10，x1＋1x2＋10，即m4或m－1，m1，m－5，故m的取值范围是{m|－5m－1}．[审题视点]设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制．【方法锦囊】本题重点考查方程的根的分布问题，熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义是正确解此题的关键．用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的易错点．考向二有关二次函数的零点问题(2)若f(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，即|4x－x2|＋a＝0有四个根，即|4x－x2|＝－a有四个根，令g(x)＝|4x－x2|，h(x)＝－a.作出g(x)，h(x)的图象，如图所示．由图象可知要使|4x－x2|＝－a有四个根，则g(x)与h(x)的图象应有4个交点．故需满足0－a4，即－4a0.∴a的取值范围是(－4,0)．【训练2】已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围．解(1)由条件，抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，如图(1)所示，得f0＝2m＋10，f－1＝20，f1＝4m＋20，f2＝6m＋50⇒m－12，m∈R，m－12，m－56.即－56m－12.[审题视点]设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制．【方法锦囊】本题重点考查方程的根的分布问题，熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义是正确解此题的关键．用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的易错点．考向二有关二次函数的零点问题(2)抛物线与x轴交点均落在区间(0,1)内，如图(2)所示，列不等式组f0＝2m＋10，f1＝4m＋20，Δ＝4m2－42m＋1≥0，0－m1⇒m－12，m－12，m≥1＋2或m≤1－2，－1m0.即－12m≤1－2.[审题视点]设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制．【方法锦囊】本题重点考查方程的根的分布问题，熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义是正确解此题的关键．用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的易错点．考向二有关二次函数的零点问题(1)y＝g(x)－m有零点即y＝g(x)与y＝m的图象有交点.(2)g(x)－f(x)＝0有两个相异实根⇔y＝f(x)与y＝g(x)的图象有两个不同交点.[审题视点]求函数零点的值，判断函数零点的范围及零点的个数以及已知函数零点求参数范围等问题，都可利用方程来求解，但当方程不易甚至不可能解出时，可构造两个函数、利用数形结合的方法进行求解．考向三函数零点性质的应用【方法锦囊】【例3】►已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋e2x(x0)．(1)若y＝g(x)－m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．解(1)法一∵g(x)＝x＋e2x≥2e2＝2e，等号成立的条件是x＝e，故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因而只需m≥2e，则y＝g(x)－m就有零点．【例3】►已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋e2x(x0)．(1)若y＝g(x)－m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．法二作出g(x)＝x＋e2x(x0)的大致图象如图：可知若使y＝g(x)－m有零点，则只需m≥2e.∴m的取值范围是[2e，＋∞)．y=mg(x)(1)y＝g(x)－m有零点即y＝g(x)与y＝m的图象有交点.(2)g(x)－f(x)＝0有两个相异实根⇔y＝f(x)与y＝g(x)的图象有两个不同交点.[审题视点]求函数零点的值，判断函数零点的范围及零点的个数以及已知函数零点求参数范围等问题，都可利用方程来求解，但当方程不易甚至不可能解出时，可构造两个函数、利用数形结合的方法进行求解．【方法锦囊】考向三函数零点性质的应用(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)＝x＋e2x(x0)的大致图象．∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1