直线 圆与圆锥曲线

第13讲线性规划、直线与圆第14讲圆锥曲线的定义、标准方程与性质第15讲直线与圆锥曲线专题4直线、圆与圆锥曲线专题4直线、圆与圆锥曲线知识网络构建专题4知识网络构建解析几何及其综合应用专题4知识网络构建专题4知识网络构建考情分析专题4│考情分析专题4│考情分析圆锥曲线专题4│考情分析专题4│考情分析本专题是高中数学的重要内容之一，也是高考的重点考查内容．这一专题中知识点多、碎、杂，主要考查的知识点是直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线；考查的主要思想方法是数形结合思想，转化与化归的思想，函数与方程的思想；对运算能力、恒等变形能力、综合运用数学知识解决问题的能力要求较高．从近两年的高考题来看，对这部分内容，一般考查1至2个小题，1道大题，小题多为中、低档题；重点考查直线、圆、圆锥曲线的基础知识(尤其是圆锥曲线的定义)；大题则综合性较强，重在考查综合能力；考查的热点是直线与圆的位置关系、直线与圆锥曲线位置关系，圆锥曲线的定义、标准方程及几何性质的综合应用．并注重与三角函数、平面向量等知识的交汇，以考查直线与圆锥曲线的位置关系为主，还将加强对平面几何知识与解析几何方法的简单应用的考查；特别是以圆作为命题背景设计圆锥曲线的伴随轨迹、研究圆锥曲线的性质等，这些方面值得考生在第二轮复习时强化．专题4│考情分析预测与前几年相比，近两年的考题难度有所降低，从整套试卷各类题的排序来看，解析几何题有前移趋势，以解析几何题作为压轴题的现象已有了改变．预测2011年会延续这两年的考情，对以上几个方面的热点问题的考查仍会保持．第13讲│线性规划、直线与圆第13讲线性规划、直线与圆主干知识整合第13讲│主干知识整合1．直线与方程(1)直线的倾斜角和斜率的大小反映了直线的倾斜程度．倾斜角α的取值范围[0，π)，已知斜率k，则倾斜角α＝arctankk≥0，π＋arctankk0.(2)直线方程有五种形式，仅一般式可以表示所有直线；但通常用点斜式或斜截式表示，斜率k存在与否，要分别考虑．(3)直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0中A1A2＝B1B2≠C1C2、A1A2≠B1B2、A1A2＝B1B2＝C1C2(分母不为0)是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件；l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.(4)解析几何中角的问题常用到角公式或向量知识求解．遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解．处理对称(中心对称和轴对称)问题的方法：代入法．第13讲│主干知识整合2.简单的线性规划求解在线性约束条件下目标函数的最大值或最小值，一般要画出线性约束条件所对应的平面区域．在求解线性规划问题时要注意：①将目标函数改成斜截式方程；②寻找最优解时注意作图规范．第13讲│主干知识整合3．圆方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)，①只有当D2＋E2－4F0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0才表示圆心为－D2，－E2，半径为12D2＋E2－4F的圆；②二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，且B＝0且D2＋E2－4AF0.第13讲│主干知识整合(2)直线l：Ax＋By＋C＝0和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)有相交、相离、相切三种位置关系．可用代数法或几何法来判断：①代数法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ0⇔相交；Δ0⇔相离；Δ＝0⇔相切；②几何法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则dr⇔相交；dr⇔相离；d＝r⇔相切．判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简洁．解决直线与圆的关系问题时，要注意发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)!要点热点探究第13讲│要点热点探究►探究点一直线的倾斜角、斜率及两直线的位置关系例1若圆x2＋y2－8x－20＝0上至少有三个不同点到直线l：ax＋by＝0的距离为4，则直线l的倾斜角的取值范围是________．第13讲│要点热点探究0，π6∪5π6，π【解析】圆的方程可化为：(x－4)2＋y2＝36，其圆心为(4,0)，半径为r＝6.由条件可知圆心到直线的距离d应满足d≤2，而直线l过原点，直线l方程可化为y＝－abx，即为y＝kx，故|4k|1＋k2≤2，∴－33≤k≤33，设倾斜角为α，∴－33≤tanα≤33，∵α∈[0，π)，∴倾斜角为α范围是0，π6∪5π6，π.第13讲│要点热点探究【点评】本题有两个关键点，一个是把条件中直线与圆位置关系情况转化为圆心到直线距离情况；另一个是由斜率范围求倾斜角范围，要结合正切函数的图象和性质，还要注意倾斜角范围，它是一个极易出错的地方．第13讲│要点热点探究(1)直线l1：ax＋(1－a)y＝3与l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＝2互相垂直，则实数a的值是()A．－3B．1C．0或－32D．1或－3(2)“a＝3”是“直线ax－2y－1＝0与直线6x－4y＋c＝0平行”的()条件()A．充要B．充分而不必要C．必要而不充分D．既不充分也不必要第13讲│要点热点探究(1)D(2)C【解析】(1)由两直线互相垂直的充要条件可知a·(a－1)＋(1－a)·(2a＋3)＝0可得a＝1或a＝－3；(2)a＝3时两条直线的斜率相等，但c的值不确定，两直线可能重合．当两直线平行时，斜率必须相等，可得到a＝3.【点评】判断两条直线平行和垂直位置关系时，如果给出的直线方程中存在字母系数，要注意对斜率存在与否加以判定；两直线a1x＋b1y＋c1＝0和a2x＋b2y＋c2＝0垂直的充要条件是a1a2＋b1b2＝0，用此结论处理较方便．两直线a1x＋b1y＋c1＝0和a2x＋b2y＋c2＝0平行的必要条件是a1b2－b1a2＝0，此条件成立时，两直线可能平行，也可能重合；因此，用此必要条件求出参数值时要检验．要点热点探究第13讲│要点热点探究►探究点二直线与圆的位置关系例2已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．第13讲│要点热点探究【解答】(1)当截距为0时，设切线方程为y＝kx(k≠0)，又∵若圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝2，圆心(－1,2)，半径为2，∴|－k－2|k2＋1＝2，即k＝2±6.当截距不为0时，设切线方程为x＋y＝a，则|－1＋2－a|2＝2，|1－a|＝2，∴a＝3或a＝－1，∴切线的方程为x＋y＋1＝0，x＋y－3＝0，y＝(2＋6)x.第13讲│要点热点探究【点评】本题主要考查等比数列的性质、指数幂的(2)∵|PM|＝|PQ|，∴x21＋y21＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2，∴2x1－4y1＋3＝0，∴动点P的轨迹是直线2x－4y＋3＝0，∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值，而|PO|的最小值为点O到直线2x－4y＋3＝0的距离d＝3510，∴x21＋y21＝920，2x1－4y1＋3＝0，解得x1＝－310，y1＝35，∴所求点P－310，35.【点评】本题主要考查直线的方程及圆的几何性质的应用．同学们最容易漏掉当截距为0时的切线方程；同时处理直线与圆的有关问题时，随时要有数形结合的思想意识．第13讲│要点热点探究【点评】本题主要考查等比数列的性质、指数幂的[2010·江苏卷]在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．(－13,13)【解析】考查圆与直线的位置关系．圆半径为2，圆心(0,0)到直线12x－5y＋c＝0的距离小1，|c|131，c的取值范围是(－13,13)．第13讲│要点热点探究【点评】本题主要考查等比数列的性质、指数幂的如图所示，在四边形ABCO中，OA→＝2CB→，其中O为坐标原点，A(4,0)，C(0,2)．若M是线段OA上的一个动点(不含端点)，设点M的坐标为(a,0)，记△ABM的外接圆为⊙P.(1)求⊙P的方程；(2)过点C作⊙P的切线CT(T为切点)，求CT的取值范围．第13讲│要点热点探究【点评】本题主要考查等比数列的性质、指数幂的【解答】(1)解法一(用圆的标准方程)：由已知B(2,2)，所以AB中点坐标为(3,1)，kAB＝－1，所以，AB中垂线方程为y－1＝x－3⇒y＝x－2.而AM的中垂线方程为x＝a＋42，由此得⊙P的圆心坐标为Pa＋42，a2，半径r＝a2－22＋a22.所以△ABM的外接圆⊙P的方程为x－a＋422＋y－a22＝a2－22＋a22，即x2＋y2－(a＋4)x－ay＋4a＝0.第13讲│要点热点探究【点评】本题主要考查等比数列的性质、指数幂的解法二(用圆的一般方程)：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因为点A，B，M在所求圆上，故有4D＋F＋16＝0，2D＋2E＋F＋8＝0，a2＋aD＋F＝0.⇒D＝－a－4，E＝－a，F＝4a.故所求圆的方程是x2＋y2－(a＋4)x－ay＋4a＝0.第13讲│要点热点探究【点评】本题主要考查等比数列的性质、指数幂的(2)切线长CT＝CP2－r2＝a＋42－02＋a2－22－a2－22＋a22＝2a＋4.因为M在线段OA上(不含端点)，所以0＜a＜4.故CT的取值范围是(2,23)．【点评】本题主要考查圆的方程及圆的几何性质的应用．向量作为新增内容，其工具作用越来越凸现，作为知识的交汇处，以向量形式包装下的解析几何题倍受命题者的青睐．要点热点探究第13讲│要点热点探究►探究点三线性规划问题例3已知函数f(x)＝13ax3－bx2＋(2－b)x＋1，在x＝x1处取得极大值，在x＝x2处取得极小值，且0x11x22.(1)证明a0；(2)若z＝a＋2b，求z的取值范围．第13讲│要点热点探究【解答】求函数f(x)的导数f′(x)＝ax2－2bx＋2－b.(1)由函数f(x)在x＝x1处取得极大值，在x＝x2处取得极小值，知x1，x2是f′(x)＝0的两个根．所以f′(x)＝a(x－x1)(x－x2)．当xx1时，f(x)为增函数，f′(x)0，由x－x10，x－x20得a0.第13讲│要点热点探究(2)在题设下，0x11x22等价于f′00，f′10f′20，，即2－b0，a－2b＋2－b0，4a－4b＋2－b0.化简得2－b0，a－3b＋20，4a－5b＋20.此不等式组表示的区域为平面aOb上三条直线：2－b＝0，a－3b＋2＝0,4a－5b＋2＝0所围成的△ABC的内部，其三个顶点分别为：A47，67，B(2,2)，C(4,2)．z在这三点的值依次为167，6,8.所以z的取值范围为167，8.第13讲│要点热点探究【点评】本题是一道三次函数、二次函数、二次根分布及线性规划的综合试题．求解在线性约束条件下目标函数的最值问题，一般要画出线性约束条件所对应的平面区域．若平面区域是一个封闭图形，则目标函数一般是在两条直线的交点处取得最值．因此，对线性规划一些简单的选择题或填空题，可以先求出各直线的交点，然后逐个进行验证即可．第13讲│要点热点探究[2010·福建卷]设不等式组x≥1，x－2y＋3≥0，y≥x所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x－4y－9＝