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当前位置:首页 > 建筑/环境 > 工程监理 > 南大复变函数与积分变换课件(PPT版)6.4 几个初等函数构成的共形映射映射
1第六章共形映射§6.4几个初等函数构成的映射§6.4几个初等函数构成的映射一、幂函数二、指数函数三、综合举例2第六章共形映射§6.4几个初等函数构成的映射,nzw一、幂函数(整数)2n,eninrw则有,eirz令1.映射特点nzwnwz.arg,||nwrwn即RnRπn200π2n幂函数扩大顶点在原点的角形域(或扇形域)。特点nzw类似地,根式函数作为幂函数的逆映射,其映射nzw特点是缩小顶点在原点的角形域(或扇形域)。00n3第六章共形映射§6.4几个初等函数构成的映射2.保形性单值性解析性,nzw一、幂函数(整数)2n(1)在平面上处处可导,且;dd1nznzwz.0ddzw(2)当时,0z在平面上不是双方单值的,z对于,4zw幂函数在平面上除原点外是第一类保角映射。结论nzwz在角形域上,如果,则幂函数是nzw共形映射。000nπ2比如:e1zπ2i,e2iπz取.4241zz则4第六章共形映射§6.4几个初等函数构成的映射解令则,41eiπzw.41wwiπzw41e41ww.0Im,8||:}{zzzG如图,所求的象区域G为:2π4i2)(1wπ88)(w2π4π4i2)(z5第六章共形映射§6.4几个初等函数构成的映射512zzizizw5454)()(41zzizizw22解π45)(zπ5)(1z)(2z)(w11P157例6.146第六章共形映射§6.4几个初等函数构成的映射二、指数函数zweπy4(z)yxwxezwevu(w)回顾有,)sin(coseeeeyixxzyiywπy2由z的实部得到w的模;由z的虚部得到w的辐角。即,||exw,2Argkπyw),2,1,0(kxzyy,yixz令7第六章共形映射§6.4几个初等函数构成的映射1.映射特点zweh)2(πh指数函数将水平带形域变为角形域。特点zwe二、指数函数zwe)2(πh1e1zwiπ11πiπ特别有hi)(z)(w)(1z)(1wπhz1zπhww1单值性?(?)8第六章共形映射§6.4几个初等函数构成的映射2.保形性单值性解析性在平面上处处可导,且.0ddezzwz在平面上不是双方单值的,z指数函数在平面上是第一类保角映射。结论zwez在水平带形域上,如果则指数函数zwe是共形映射。hy0,2πh二、指数函数zwe取,111yixz,)2(112πyixz比如:.21eezz则9第六章共形映射§6.4几个初等函数构成的映射.0Re,1||:}{zzzG如图,所求的象区域G为:解令则,1ziw.1eww1eww,1ziwπ2iπ2i)(1wii)(wπ2π2)(z10第六章共形映射§6.4几个初等函数构成的映射2ezwiπzz21122zz解π2iiπ)(zπ2i)(1ziπ)(2z)(w)(22eizwP158例6.1511第六章共形映射§6.4几个初等函数构成的映射三、综合举例(1)预处理工具几种简单的分式映射、幂函数、指数函数等。目标使区域的边界至多由两段圆弧(或直线段)构成。(2)将区域映射为角形域(或者带形域)另一个(交)点映射为0。z2[]主要步骤(一般)方法将区域边界的一个交点映射为z1;工具,11zzkw.12zzzzkw或者12第六章共形映射§6.4几个初等函数构成的映射(4)将上半平面映射为单位圆域工具(对于角形域).,nnzwzw(对于带形域).ezw工具(无附加条件).izizw(由附加条件确定).000ezzzzwi00,z(3)将角形域(或者带形域)映射为上半平面三、综合举例主要步骤(一般)13第六章共形映射§6.4几个初等函数构成的映射111zzz212zzizizw22izz112w2izz11注从上半单位圆域到上半平面的映射为.211zzw(错)!!2zw?解110)(z)(2z)(w1011)(1zP161例6.1814第六章共形映射§6.4几个初等函数构成的映射zz1izizw22解211112zzzizz112wizz112110)(z110)(1z)(2z11)(w15第六章共形映射§6.4几个初等函数构成的映射23zzizizw551z2z2z1z1211334zzz解22)(z11)(1z11)(2z11)(w11)(3z)(4zizz222wizz22216第六章共形映射§6.4几个初等函数构成的映射将,0,ii故.1iziziz得,ik有,1izizkzk再要求将1,1解共形映射将D映射成单位圆域。例设区域D由两个圆弧围成(如图所示),iziziz1612zzπ6izizw22iizizi6w6iiziziiirπ61)(z)(1z)(2z11)(w10,1r其中求一P160例6.1717第六章共形映射§6.4几个初等函数构成的映射将,00,2故.21zzz得,1k有,21zzkzk再要求将i1,i解12ziz232zπz3e4zzizizw441z2zz12i)(2z11)(wiπ)(3z)(4z)(1z12221)(z0i0i1w2zzi)(2iπe2zzi)(2iπeP159例6.1618第六章共形映射§6.4几个初等函数构成的映射解224)(z312ziz233zπz3e4zzizizw44)(1zi3)(2z11)(wiπ)(3z)(4z0321z2z2z6wi)(iei)(ie3π2z2z2z2z3π19第六章共形映射§6.4几个初等函数构成的映射1e2zzziz123ziz2ziziiiwee1123311zzw解π2π2)(zπ2iπ2i)(1zii)(2z)(w11)(3zP162例6.1920第六章共形映射§6.4几个初等函数构成的映射1z1z12zzπ22we1iiπz2e1iiπz2222ee11ziziiiw(利用前例的结果)例映射将D映射成上半平面。设区域求一共形,21|21|,21|21|,0Im:}{zzzzD*)(1zπ2π2)(2z)(w011解)(z11P162例6.2021第六章共形映射§6.4几个初等函数构成的映射2zw011011z1z11112zzz解)(1z)(2z)(w例*设区域D如图所示,求一共形映射将D映射成单位圆域。D11)(z11zzw22第六章共形映射§6.4几个初等函数构成的映射azz1212zz223hzz34zzizizw44例映射成单位圆域。求一共形映射,将有割痕的上半平面hzazIm0,Re*解iha)(zih)(1z2h)(2z)(w)(3z)(4zihazihazw2222)()(23第六章共形映射§6.4几个初等函数构成的映射休息一下……
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