【全程复习方略】2016届高考数学(文科人教A版)大一轮复习课件：4.3 平面向量的数量积

第三节平面向量的数量积定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a和b,作=a，=b,则______就是a与b的夹角设θ是a与b的夹角,则θ的取值范围是________________θ=0°或θ=180°⇔______,________⇔a⊥b【知识梳理】1.必会知识教材回扣填一填(1)向量的夹角:OAOB∠AOB0°≤θ≤180°a∥bθ=90°(2)平面向量的数量积:定义设两个非零向量a,b的夹角为θ,则数量____________叫做a与b的数量积,记作a·b投影_________叫做向量a在b方向上的投影,_________叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影_________的乘积|a||b|cosθ|a|cosθ|b|cosθ|b|cosθ(3)数量积的性质:设a,b都是非零向量,e是单位向量,θ为a与b(或e)的夹角.则①e·a=a·e=_________.②cosθ=________.③a·b≤_______.abab|a|cosθ|a||b|(4)数量积的运算律:①交换律:a·b=b·a.②数乘结合律:(λa)·b=_________=_________.③分配律:a·(b+c)=__________.λ(a·b)a·(λb)a·b+a·c(5)平面向量数量积的坐标表示:设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),向量a与b的夹角为θ,则数量积a·b=________模|a|＝_________夹角cosθ＝_________________向量垂直的充要条件a⊥b⇔a·b=0⇔__________2211xy＋121222221122xxyyxyxy＋＋＋x1x2+y1y2x1x2+y1y2=02.必备结论教材提炼记一记(1)a与b为两非零向量,则a⊥b⇔_______.(2)当a与b同向时,a·b=|a|·|b|.当a与b反向时,a·b=-|a|·|b|,特别地,a·a=____或者|a|=_______,0·a=__.aaa·b=0|a|20(3)平面向量数量积运算的常用公式①(a+b)·(a-b)=a2-b2.②(a+b)2=a2+2a·b+b2.③(a-b)2=___________.a2-2a·b+b23.必用技法核心总结看一看(1)常用方法:基底法;坐标法.(2)常用思想:方程思想,数形结合思想,转化与化归思想.(3)记忆口诀:乘积结果为数量,坐标运算是良方.横纵坐标分别乘,相加求和积充当.【小题快练】1.思考辨析静心思考判一判(1)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量,且有正有负.()(2)若a·b=0,则必有a⊥b.()(3)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.()(4)若a·b0,则向量a,b的夹角为钝角.()【解析】(1)正确.由向量投影的定义可知,当两向量夹角为锐角时结果为正,为钝角时结果为负.(2)错误.当a与b至少有一个为0时得不到a⊥b.(3)正确.由数量积与向量线性运算的意义可知,正确.(4)错误.当a·b=-|a||b|时,a与b的夹角为π.答案:(1)√(2)×(3)√(4)×2.教材改编链接教材练一练(1)(必修4P104例1改编)已知|a|=2,|b|=4,a·b=4,则a与b的夹角θ=.【解析】因为a·b=|a||b|·cosθ,所以cosθ=又因为0°≤θ≤180°,故θ=30°.答案:30°3433242，abab(2)(必修4P105例4改编)已知a=(1,2),b=(3,4),若a+kb与a-kb互相垂直,则实数k=.【解析】由已知a=(1,2),b=(3,4),若互相垂直,则(a+kb)·(a-kb)=0,即a2-k2b2=0,即5-25k2=0,即k2=,所以k=±.答案:±1555553.真题小试感悟考题试一试(1)(2014·新课标全国卷Ⅱ)设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b=()A.1B.2C.3D.5【解题提示】将|a+b|,|a-b|两边平方,联立方程求解a·b.【解析】选A.因为|a+b|=,|a-b|=,所以a2+b2+2a·b=10,a2+b2-2a·b=6,联立方程解得a·b=1,故选A.106106(2)(2014·四川高考)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=.【解题提示】先求出c的坐标,再代入向量夹角公式,解方程即可求出m的值.【解析】由于a=(1,2),b=(4,2),所以c=ma+b=(m+4,2m+2),又由于c与a的夹角等于c与b的夹角,即cosa,c=cosb,c,也就是即得解得m=2.答案:2||||||||，acbcacbcm422m24m422m2520，(3)(2015·青岛模拟)已知|a|=2,向量a与b的夹角是,则a在b上的投影是.【解析】a在b上的投影是|a|cos=答案:-343422()2.22考点1平面向量数量积的运算【典例1】(1)(2015·湛江模拟)已知等边三角形ABC的边长为1,设=a,=b,=c,则a·b+b·c+c·a=.(2)(2015·大庆模拟)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点.则的值为,的最大值为.BCCAABDEDCDECB【解题提示】(1)利用数量积的定义求解.要注意夹角的大小.(2)结合已知条件建系,利用坐标求解.【规范解答】(1)如图,得a与b,b与c,c与a的夹角都是120°,又|a|=|b|=|c|=1,所以原式=1×1×cos120°+1×1×cos120°+1×1×cos120°答案:-13()3.2232(2)如图所示,以AB,AD所在的直线分别为x,y轴建立直角坐标系,设E(t,0),0≤t≤1,则D(0,1),B(1,0),C(1,1),=(t,-1),=(0,-1),所以=1.又因为=(1,0),所以=t≤1.答案:11DECBDEDCDECBDC【一题多解】解答本题,你知道还有几种解法?方法一:选取{}作为基底,设0≤t≤1,则==0+1=1.=t≤1.答案:11AB,ADAEtAB，DECBtABADAD2tABADADDEDCtABADAB方法二:利用几何意义可知===1.设则==|t|≤1.答案:11DECBDEDADEDAcosEDADEcosEDADAAEtAB，DEDCDEABDE1cosAEDAEtAB【易错警示】解答本例题(1)易出现如下错误在解题过程中,只看到△ABC是等边三角形,就误认为a与b,b与c,a与c的夹角均为60°从而错解.【互动探究】本例(2)中,当E是AB的中点时,试求上的投影.【解析】方法一:如图,过点E作EF⊥DC,垂足为F,由投影的定义知,上的投影是.方法二:如图,向量的夹角是∠EDC,所以上的投影是||cos∠EDC=DEDC在DEDC在12DEDC在DEDC在DE11121.42114【规律方法】向量数量积的两种计算方法(1)当已知向量的模和夹角θ时,可利用定义法求解,即a·b=|a||b|cosθ.(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.【变式训练】(2014·重庆高考)已知向量a与b的夹角为60°，且a=(-2,-6),|b|=,则a·b=.【解析】因为a=(-2,-6),所以|a|=,a·b=|a||b|cos60°==10.答案：10102101210102【加固训练】1.(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b,若b·c=0,则t=.【解析】由c=ta+(1-t)b得,b·c=ta·b+(1-t)b2=0,整理得t|a||b|cos60°+(1-t)|b|2=0,化简得t+1-t=0,所以t=2.答案:2122.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则=.【解析】以A为原点,以AB,AD为x,y轴建系,则A(0,0),B(2,0),D(0,2),E(1,2)故=(1,2),=(-2,2).故=1×(-2)+2×2=2.答案:2AEBDAEBDAEBD考点2平面向量的垂直与夹角问题【典例2】(1)(2014·山东高考)已知向量a=(1,),b=(3,m).若向量a,b的夹角为,则实数m=()(本题源于教材必修4P107例6)A.2B.C.0D.-(2)已知向量与的夹角为120°,且||=3,||=2.若AP=λ+,且试求实数λ的值.6ABACABACABACAPBC，3333【解题提示】(1)由向量数量积的定义和坐标运算列出关于m的方程求解.(2)利用作基底,利用已知垂直关系得到的方程求解.ABAC，【规范解答】(1)选B.a·b=3+m,a·b=|a||b|cosa,b=所以所以m=.32329m2，233m39m,3(2)因为所以=0,即=故(λ-1)×3×2×(-)+4-9λ=0,解得λ=.BCACAB,APABAC.APBC,又APBC(ABAC)ACAB22(1)ABACACAB0,12712【规律方法】平面向量数量积的两个应用(1)求夹角大小:若a,b为非零向量,则由平面向量的数量积公式得cosθ=(夹角公式),所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题.(2)确定夹角的范围:数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角,数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.abab【变式训练】(2015·合肥模拟)若|a|=2,|b|=4且(a+b)⊥a,则a与b的夹角是()【解析】选A.根据题意,由于|a|=2,|b|=4且(a+b)⊥a,则有(a+b)·a=0⇔a2+b·a=0⇔4+b·a=0,所以b·a=-4,那么可知a与b的夹角的余弦值为则a与b的夹角是.242A.B.C.D.333341,82baba23【加固训练】1.(2013·安徽高考)若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a与b夹角的余弦值为.【解析】由|a|=|a+2b|,设a与b的夹角为θ,等式两边平方得a2+4a·b+4b2=a2⇒a·b=-b2,所以cosθ=答案:-221.33abbabb132.设向量a=(x-1,1),b=(-x+1,3),若a⊥(a-b),则x=.【解析】由题知a-b=(x-1+x-1,1-3)=(2x-2,-2),又因为a⊥(a-b),所以a·(a-b)=0,所以(x-1)(2x-2)+1×(-2)=0,即x2-2x=0,所以x=0或x=2.答案:0或2考点3平面向量数量积的应用知·考情利用平面向量数量积求模及范围、求参数的范围或值,是高考考查数量积的一个重要考向,常与三角、平面几何、解析几何等知识相联系.以选择题、填空题为主,是中低档题.明·角度命题角度1:根据向量数量积求模或模的范围【典例3】(2014·湖南高考)在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足||=1,则|++|的取值范围是()A.［4,6］B.C.D.3CDOAOBOD191,191［］23,27［］71,71［］【解题提示】把拆分为+，再利用|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|求解.【规范解答】选D.CDODOC|OAOBOD|OAOBOCCD|OAOBOC||CD|71.OAOBOC|CD|71|OAOBOCCD|OAOBOD.命题角度2:利用平面向量数量积求参数的值【典例4】(2014·天津高考)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BC=3BE,DC=