2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第10章 第6节 几何概型

第十章计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）第三节几何概型(文)第六节几何概型(理)第十章计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）[主干知识梳理]一、几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的(或)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为．长度面积体积几何概型第十章计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）二、几何概型的概率公式在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：P(A)＝构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）．第十章计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）[基础自测自评]1．(教材习题改编)设A(0，0)，B(4，0)，在线段AB上任投一点P，则|PA|＜1的概率为()A.12B.13C.14D.15C[满足|PA|＜1的区间长度为1，故所求其概率为14.]第十章计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）2．(2012·衡阳模拟)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()第十章计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）A[中奖的概率依次为P(A)＝38，P(B)＝28，P(C)＝26，P(D)＝13.]第十章计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）3．分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为()第十章计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）A.4－π2B.π－22C.4－π4D.π－24第十章计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）B[设正方形边长为2，阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去圆内接正方形的面积，即为π－2，则阴影区域的面积为2π－4，所以所求概率为P＝2π－44＝π－22.]第十章计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）4．有一杯2升的水，其中含一个细菌，用一个小杯从水中取0.1升水，则此小杯中含有这个细菌的概率是________．解析试验的全部结果构成的区域体积为2升，所求事件的区域体积为0.1升，故P＝0.05.答案0.05第十章计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）5．如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________．解析如题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，则OA落在∠yOT内的概率为60360＝16.答案16第十章计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）[关键要点点拨]1．几何概型的特点：几何概型与古典概型的区别是几何概型试验中的可能结果不是有限个，它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，故随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关，只与该区域的大小有关．2．几何概型中，线段的端点、图形的边界是否包含在事件之内不影响所求结果．第十章计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）[典题导入]已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.(1)圆C的圆心到直线l的距离为________；(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为________．与长度、角度有关的几何概型第十章计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）[听课记录](1)根据点到直线的距离公式得d＝255＝5；(2)设直线4x＋3y＝c到圆心的距离为3，则|c|5＝3，取c＝15，则直线4x＋3y＝15把圆所截得的劣弧的长度和整个圆的周长的比值即是所求的概率，由于圆半径是23，则可得直线4x＋3y＝15截得的圆弧所对的圆心角为60°，故所求的概率是16.答案(1)5(2)16第十章计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）[互动探究]本例条件变为：“已知圆C：x2＋y2＝12，设M为此圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点N，连接MN.”求弦MN的长超过26的概率．解析如图，在图上过圆心O作OM⊥直径CD.则MD＝MC＝26.当N点不在半圆弧CMD上时，MN＞26.所以P(A)＝π×232π×23＝12.第十章计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）[规律方法]求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．确定点的边界位置是解题的关键．第十章计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）[跟踪训练]1．(1)(2014·福建四校联考)已知A是圆上固定的一点，在圆上其他位置上任取一点A′，则AA′的长度小于半径的概率为________．(2)在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，BC＝2.在BC边上任取一点M，则∠AMB≥90°的概率为________．第十章计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）解析(1)如图，满足AA′的长度小于半径的点A′位于劣弧上，其中△ABO和△ACO为等边三角形，可知∠BOC＝2π3，故所求事件的概率P＝2π32π＝13.第十章计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）(2)如图，在Rt△ABC中，作AD⊥BC，D为垂足，由题意可得BD＝12，且点M在BD上时，满足∠AMB≥90°，故所求概率P＝BDBC＝122＝14.答案(1)13(2)14第十章计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）[典题导入](1)(2012·湖北高考)如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()与面积有关的几何概型第十章计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）A．1－2πB.12－1πC.2πD.1π第十章计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）[听课记录]解法一：设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，如图，连接OC，DC.不妨令OA＝OB＝2，则OD＝DA＝DC＝1.在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S1＝π4＋12×1×1－π4－12×1×1＝1，第十章计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）所以整体图形中空白部分面积S2＝2.又因为S扇形OAB＝14×π×22＝π，所以阴影部分面积为S3＝π－2.所以P＝π－2π＝1－2π.第十章计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）解法二：连接AB，设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，令OA＝2.由题意知C∈AB且S弓形AC＝S弓形BC＝S弓形OC，所以S空白＝S△OAB＝12×2×2＝2.又因为S扇形OAB＝14×π×22＝π，所以S阴影＝π－2.所以P＝S阴影S扇形OAB＝π－2π＝1－2π.答案A第十章计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）(2)(2013·四川高考)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()A.14B.12C.34D.78第十章计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）[听课记录]设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，则由题意可得，0≤x≤4，0≤y≤4；而所求事件“两串彩灯同时通电后，第一次闪亮相差不超过2秒”＝{(x，y)||x－y|≤2}，由图示得，该事件概率P＝S阴影S正方形＝16－416＝34.答案C第十章计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）[规律方法]求解与面积有关的几何概型首先要确定试验的全部结果和构成事件的全部结果形成的平面图形，然后再利用面积的比值来计算事件发生的概率．这类问题常与线性规划、定积分知识联系在一起．第十章计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）[跟踪训练]2．(理)(2014·石家庄质检)如图，已知函数y＝sinx，x∈[－π，π]与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分)，若随机向圆O：x2＋y2＝π2内投入一米粒，则该米粒落在区域M内的概率是()A.4π2B.4π3C.2π2D.2π3第十章计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）B[由题意得阴影部分面积S1＝2∫π0sinxdx＝2[(－cosx)|π0]＝2×2＝4，圆x2＋y2＝π2面积为S＝π3，则所求事件的概率P＝4π3.]第十章计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）(文)已知不等式组x－y≥0，x＋y≥0，x≤a（a＞0）表示平面区域M，若点P(x，y)在所给的平面区域M内，则点P落在M的内切圆内的概率为()A.2－14πB．(3－22)πC．(22－2)πD.2－12πB[由题知平面区域M为一个三角形，且其面积为S＝a2.设M的内切圆的半径为r，第十章计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）则12(2a＋22a)r＝a2，解得r＝(2－1)a.所以内切圆的面积S内切圆＝πr2＝π[(2－1)·a]2＝(3－22)πa2.故所求概率P＝S内切圆S＝(3－22)π.]第十章计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）[典题导入](1)(2014·烟台模拟)在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD—A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为()A.π12B．1－π12C.π6D．1－π6与体积有关的几何概型第十章计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）[听课记录]点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心，以1为半径的半球的外部．记点P到点O的距离大于1为事件A，则P(A)＝23－12×4π3×1323＝1－π12.答案B第十章计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）(2)一只蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行．若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体玻璃容器的6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一个位置的可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率为()A.18B.116C.127D.38第十章计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）[听课记录]由题意，可知当蜜蜂在棱长为10的正方体区域内飞行时才是安全的，所以由几何概型的概率计算公式，知蜜蜂飞行是安全的概率为103303＝127.答案C第十章计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）[规律方法]与体积有关的几何概型是与面积有关的几何概型类似的，只是将题中的几何概型转化为立体模式，至此，我们可以总结如下：对于一个具体问题能否应用几何概型概率公式，关键在于能否将问题几何化；也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数，建立适当的坐标系，在此基础上，将试验的每一个结果一一对应于该坐标系中的一个点，使得全体结果构成一个可度量区域．第十章计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）[跟踪训练]3．(1)(2014·黑龙江五校联考)在体积为V的三棱锥S—ABC的棱AB上任取一点P，则三棱锥S—APC的体积大于V3的概率是________．第十章计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）解析如图，三棱锥S—ABC的高与三棱锥S—APC的高相同．作PM⊥AC于M，BN⊥AC于N，则PM、BN分别为△APC与△ABC的高，所以VS—APCVS—ABC＝S△APCS△ABC＝PMBN，又PMBN＝APAB，所以APAB＞13时，满足条件．设ADAB＝13，则P在BD上，所求的概率P＝BDBA＝23.答案23第十章计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）(2)(2014·广州模拟)有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．第十章计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）解析先求点P到点O的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V圆柱＝π×12×2＝2π，以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝12×43π×13