2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第5章 第5节 数列的综合应用

第五章数列第五节数列的综合应用第五章数列[主干知识梳理]一、数列在实际生活中有着广泛的应用，其解题的基本步骤，可用图表示如下：第五章数列二、数列应用题常见模型1．等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．2．等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．3．递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an＋1的递推关系，还是前n项和Sn与Sn＋1之间的递推关系．第五章数列[基础自测自评]1．某学校高一、高二、高三共计2460名学生，三个年级的学生人数刚好成等差数列，则该校高二年级的人数是()A．800B．820C．840D．860B[由题意可设高一、高二、高三三个年级的人数分别为a－d，a，a＋d.则a－d＋a＋a＋d＝2460，解得a＝24603＝820.故高二年级共有820人．]第五章数列2．(教材习题改编)有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒(假设病毒不繁殖)，问细菌将病毒全部杀死至少需要()A．6秒钟B．7秒钟C．8秒钟D．9秒钟第五章数列B[设至少需n秒钟，则1＋21＋22＋…＋2n－1≥100，即1－2n1－2≥100，解得n≥7.]第五章数列3．数列{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a6＝b7，则有()A．a3＋a9≤b4＋b10B．a3＋a9≥b4＋b10C．a3＋a9≠b4＋b10D．a3＋a9与b4＋b10的大小不确定B[a3＋a9≥2a3a9＝2a26＝2a6＝2b7＝b4＋b10，当且仅当a3＝a9时，不等式取等号．]第五章数列4．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为2π3，公差为π36，则这个多边形的边数为________．解析由于凸n边形的内角和为(n－2)π，故2π3n＋n（n－1）2×π36＝(n－2)π.化简得n2－25n＋144＝0.解得n＝9或n＝16(舍去)．答案9第五章数列5．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，xn＝________，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．解析∵y＝xn＋1，∴y′＝(n＋1)xn，它在点(1，1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，与x轴交点的横坐标为xn＝1－1n＋1＝nn＋1，由an＝lgxn得an＝lgn－lg(n＋1)，第五章数列于是a1＋a2＋…＋a99＝lg1－lg2＋lg2－lg3＋…＋lg99－lg100＝lg1－lg100＝0－2＝－2.答案nn＋1－2第五章数列[关键要点点拨]1．对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解，有些数列题目条件已指明是等差(或等比)数列，有的数列并没有指明，但可以通过分析构造，转化为等差数列或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知识解决问题．第五章数列2．数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步提高，这一部分内容也将受到越来越多的关注．第五章数列[典题导入]在等比数列{an}(n∈N*)中，a11，公比q0，设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0.(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an.等差数列与等比数列的综合问题第五章数列[听课记录](1)证明：∵bn＝log2an，∴bn＋1－bn＝log2an＋1an＝log2q为常数，∴数列{bn}为等差数列且公差d＝log2q.(2)∵b1＋b3＋b5＝6，∴b3＝2，∵a11，∴b1＝log2a10.∵b1b3b5＝0，∴b5＝0.第五章数列∴b1＋2d＝2，b1＋4d＝0，解得b1＝4，d＝－1，∴Sn＝4n＋n（n－1）2×(－1)＝9n－n22.∵log2q＝－1，log2a1＝4，∴q＝12，a1＝16，∴an＝25－n(n∈N*)．第五章数列[互动探究]试比较(2)求出的Sn与an的大小．解析∵an＝25－n0，当n≥9时，Sn＝n（9－n）2≤0，∴n≥9时，anSn.∵a1＝16，a2＝8，a3＝4，a4＝2，a5＝1，a6＝12，a7＝14，a8＝18，S1＝4，S2＝7，S3＝9，S4＝10，S5＝10，S6＝9，S7＝7，S8＝4，∴当n＝3，4，5，6，7，8时，anSn；当n＝1，2或n≥9时，anSn.第五章数列[规律方法]解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．第五章数列[跟踪训练]1．(2014·湖北省七市联考)数列{an}是公比为12的等比数列，且1－a2是a1与1＋a3的等比中项，前n项和为Sn；数列{bn}是等差数列，b1＝8，其前n项和Tn满足Tn＝nλ·bn＋1(λ为常数，且λ≠1)．(1)求数列{an}的通项公式及λ的值；(2)比较1T1＋1T2＋1T3＋…＋1Tn与12Sn的大小．第五章数列解析(1)由题意得(1－a2)2＝a1(a3＋1)，即1－12a12＝a114a1＋1，解得a1＝12，∴an＝12n.又T1＝λb2，T2＝2λb3，即8＝λ（8＋d），16＋d＝2λ（8＋2d），解得λ＝12，d＝8或λ＝1，d＝0(舍)，∴λ＝12.第五章数列(2)由(1)知Sn＝1－12n，∴12Sn＝12－12n＋1≥14，①又Tn＝4n2＋4n，1Tn＝14n（n＋1）＝141n－1n＋1，第五章数列∴1T1＋1T2＋…＋1Tn＝141－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝141－1n＋1＜14，②由①②可知1T1＋1T2＋…＋1Tn＜12Sn.第五章数列[典题导入](2012·湖南高考)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．等差数列与等比数列的实际应用第五章数列(1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)．[听课记录](1)由题意得a1＝2000(1＋50%)－d＝3000－d，a2＝a1(1＋50%)－d＝32a1－d＝4500－52d，…an＋1＝an(1＋50%)－d＝32an－d.第五章数列(2)由(1)得an＝32an－1－d＝3232an－2－d－d＝322an－2－32d－d…＝32n－1a1－d1＋32＋322＋…＋32n－2.整理得an＝32n－1(3000－d)－2d·32n－1－1＝32n－1(3000－3d)＋2d.第五章数列由题意，am＝4000，即32m－1(3000－3d)＋2d＝4000.解得d＝32m－2×100032m－1＝1000（3m－2m＋1）3m－2m.故该企业每年上缴资金d的值为1000（3m－2m＋1）3m－2m时，经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4000万元．第五章数列[规律方法]1．数列实际应用题的解题策略解等差、等比数列应用题时，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差、等比数列问题，然后求解．第五章数列2．处理分期付款问题的注意事项(1)准确计算出在贷款全部付清时，各期所付款额及利息(注：最后一次付款没有利息)．(2)明确各期所付的款以及各期所付款到最后一次付款时所生的利息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和，只有掌握了这一点，才可以顺利建立等量关系．第五章数列[跟踪训练]2．从经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15，本年度当地旅游业估计收入400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14.(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出表达式；(2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？第五章数列解析(1)第一年投入为800万元，第二年投入为8001－15万元，第n年内的总投入为8001－15n－1万元，所以，n年的投入为：an＝800＋8001－15＋…＋8001－15n－1＝4000－400045n.第五章数列第一年旅游业收入为400万元，第二年旅游业收入为4001＋14万元．第n年旅游业收入为4001＋14n－1万元，所以，n年内的旅游业总收入为bn＝400＋4001＋14＋…＋4001＋14n－1＝160054n－1600.第五章数列(2)设经过n年旅游业的总收入超过总投入，由此bn－an0，即160054n－1600－4000＋400045n0，化简得254n＋545n－70，设45n＝x，代入上式，得5x2－7x＋20，解此不等式，得x25或x1(舍去)，即45n25，由此得n≥5.故至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入．第五章数列[典题导入](2012·安徽高考)设函数f(x)＝x2＋sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{xn}．(1)求数列{xn}的通项公式；(2)设{xn}的前n项和为Sn，求sinSn.数列与函数、不等式的综合应用第五章数列[听课记录](1)令f′(x)＝12＋cosx＝0，得cosx＝－12，解得x＝2kπ±2π3(k∈Z)．由xn是f(x)的第n个正极小值点知，xn＝2nπ－2π3(n∈N*)．第五章数列(2)由(1)可知，Sn＝2π(1＋2＋…＋n)－23nπ＝n(n＋1)π－2nπ3，所以sinSn＝sinn（n＋1）π－2nπ3.因为n(n＋1)表示两个连续正整数的乘积，n(n＋1)一定为偶数，所以sinSn＝－sin2nπ3.当n＝3m－2(m∈N*)时，sinSn＝－sin2mπ－4π3＝－32；第五章数列当n＝3m－1(m∈N*)时，sinSn＝－sin2mπ－2π3＝32；当n＝3m(m∈N*)时，sinSn＝－sin2mπ＝0.综上所述，sinSn＝－32，n＝3m－2（m∈N*），32，n＝3m－1（m∈N*），0，n＝3m（m∈N*）.第五章数列[规律方法]数列与函数的综合问题主要有以下两类：(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题