2.1.1曲线与方程

2.1曲线和方程教学目标：理解并能运用曲线的方程、方程的曲线的概念，建立“数”与“形”的桥梁，培养学生数形结合的意识．教学重点：求曲线的方程教学难点：掌握用直接法、代入法、相关点法等求曲线方程的方法点的横坐标与纵坐标相等x-y=0第一、三象限角平分线l曲线条件方程lx-y=0xy0得出关系：（1）l上点的坐标都是方程x-y=0的解(1)第一、三象限里两轴间夹角平分线的方程是x-y=0.（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都在上l∴说直线l的方程是0xy,又说方程0xy的直线是l.为什么?自学与互动为什么?(2)圆心为C(a,b),半径为r的圆C的方程为222)()rbyax（圆C平面内，到定点C(a,b)的距离等于定长r曲线条件方程得出关系：（1）圆上点的坐标都是方程的解.222)()rbyax（（2）以方程的解为坐标的点都在圆上.222)()rbyax（222)()rbyax（说圆C的方程是又说方程222)()rbyax（的曲线是圆C.222)()rbyax（xy.C定义：一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)与二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上的点坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么,这个方程f(x,y)=0叫做这条曲线C的方程;这条曲线C叫做这个方程f(x,y)=0的曲线.f(x,y)=00xy通俗地说：无点不是解且无解不是点1.“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外.2.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏.解释：例1.证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k0)的点的轨迹方程是xy=±k.探究与点拨0xyRQM例1.证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k0)的点的轨迹方程是xy=±k.证明：（1）设M(x0,y0)是曲线C上任一点.0xyRQM因为点M与x轴的距离为,与y轴的距离为，所以0y0x,00kyx即(x0,y0)是方程xy=±k的解.（2）设点M1(x1,y1)是方程xy=±k的解.则x1y1=±k，即.11kyx而正是点M1到纵轴，横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k,点M1是曲线的点.11,yx由(1）（2)可知，满足条件的点的轨迹方程是xy=±k.无点不是解无解不是点kyx00练习:下列各题中，下图各曲线的曲线方程是所列出的方程吗？为什么？(1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的折线(如图(1))其方程为(x-y)(x+y)=0;(2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方程为;10xy-110xy-11-2210xy-11-221⑴⑵⑶不是不是是(3)曲线C是Ⅰ,Ⅱ象限内到x轴，y轴的距离乘积为1的点集其方程为;xy1在平面上建立直角坐标系:点一一对应坐标(x,y)曲线曲线的方程坐标化研究形成平面解析几何研究的主要问题是：1.求曲线的方程;2.通过方程研究曲线的性质.前面，我们已经建立了曲线的方程、方程的曲线的概念.利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x,y）所满足的方程f(x,y)=0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这一方法我们称之为坐标法.坐标法解析几何“数形结合”数学思想的基础自学与互动例2.设A、B两点的坐标是(－1,－1)，(3,7)，求线段AB的垂直平分线的方程.法一：运用现成的结论──直线方程的知识来求.解:∵7(1)23(1)ABk,∴所求直线的斜率k=又∵线段AB的中点坐标是1317(,)22即(1,3)∴线段AB的垂直平分线的方程为13(1)2yx.即x+2y-7=0法二:若没有现成的结论怎么办──需要掌握一般性的方法探究与点拨解:设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上的任一点,我们的目标就是要找x与y的关系式则|MA|=|MB|需要尝试、摸索先找曲线上的点满足的几何条件∴2222(1)(1)(3)(7)xyxy坐标化∴22222121691449xxyyxxyy∴270xy(Ⅰ)化简⑴由上面过程可知,垂直平分线上的任一点的坐标都是方程270xy的解;证明⑵设点1M的坐标11(,)xy是方程(Ⅰ)的解,即11270xy∵上面变形过程步步可逆,∴22221111(1)(1)(3)(7)xyxy11MAMB综上所述,线段AB的垂直平分线的方程是270xy.例2.设A、B两点的坐标是(－1,－1)，(3,7)，求线段AB的垂直平分线的方程.第一种方法运用现成的结论当然快,但它需要你对研究的曲线要有一定的了解;第二种方法虽然有些走弯路,但这种方法有一般性.求曲线的方程可以这样一般地尝试,注意其中的步骤:求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤:1.建立适当的坐标系,设曲线上任一点M的坐标(,)xy;2.写出适合条件P的几何点集:()PMPM;3.用坐标表示条件()PM,列出方程(,)0fxy;4.化简方程(,)0fxy为最简形式;5.证明(查漏除杂).√√√√√解:设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上的任一点,1.建系，设点则|MA|=|MB|2.找条件，列式子∴2222(1)(1)(3)(7)xyxy∴22222121691449xxyyxxyy综上所述,线段AB的垂直平分线的方程是270xy.例2.设A、B两点的坐标是(－1,－1)，(3,7)，求线段AB的垂直平分线的方程.072yx3.化出最简式子4.查漏除杂，作答活用几何性质来找关系xy0CBAM(,)xy已知点C的坐标是（2,2），过点C的直线CA与x轴交于点A，过点C且与直线CA垂直的直线CB与y轴交于点B，设点M是线段AB的中点，求点M的轨迹方程.课本37面练习3(1)“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义;(2)曲线的研究转化为方程来研究，即几何问题的研究转化为代数问题．体现“以数论形”的思想.小结