732.3.2平面向量的正交分解及坐标表示

2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算回顾：1.什么是平面向量基本定理？2.什么是向量的夹角？夹角的范围是多少？夹角为多少度时两向量垂直？导入：光滑斜面上一个木块受到重力1F的作用，如图，它的效果等价于G和2F的合力效果，即,12G=FF12G=FF叫做把重力G分解组卷网.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.正交分解时向量分解中常见的一种情形.思考：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示.对直角坐标平面内的每一个向量该如何表示呢？思考：如图，在直角坐标系中，已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7).设，填空：（1）_____,||______,||______;OCij（2）若用来表示，则：,ij,OCOD________,_________.OCOD34ij57ij115（3）向量能否由表示出来？可以的话，如何表示？CD,ij23CDijABCDoxy3547,OAOBijji平面向量的坐标表示ABCDoxyaijxya=x+y对于该平面内的任一向量,有且只有一对实数,，可使aijxy如图，，是分别与轴，轴方向相同的单位向量，若以，为基底，则ijijxyxy这里，我们把(,)叫做向量的坐标，记作(,)aa=xxyy其中，叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标.aaOxyAijaxy(,)xya+OAxyaij在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一组有序实数对唯一表示.例1如图，分别用基底，表示向量、、、，并求出它们的坐标。ijabcdAA1A2解：如图可知1223AAAAaij(2,3).所以a同理，23(2,3);23(2,3);23(2,3).bijcijdij回顾：1.向量的加、减法运算及其几何意义2.平面向量的正交分解及坐标表示思考：1122(,),(,)xyxyab已知，你能得出,a+ba-b,a的坐标吗？学科网zxxk平面向量的坐标运算：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）组卷网实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的坐标。11()x,ya=1212(,)xxyyab1212(,)xxyyab例1如图，已知，求的坐标.1122(,),(,)AxyBxyABOxyAB解：ABOBOA2211(,)(,)xyxy2121(,).xxyy一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。例2已知(2,1),(3,4)ab，求ab,ab,34ab,的坐标.解：(2,1)(3,4)(1,5);ab(2,1)(3,4)(5,3);ab343(2,1)4(3,4)ab(6,3)(12,16)(6,19).例3如图，已知平行四边ABCD的三个顶点,,ABC的坐标分别是(2,1),(1,3),(3,4),试求顶点D的坐标.解法一：设顶点D的坐标为(,),xy(1(2),31)(1,2),AB因为(3,4),DCxy由,ABDC得(1,2)(3,4),xy所以13,24.xy解得2,2.xy所以D点的坐标为(2,2).解法二：如图，由向量加法的平行四边形法则可知BDBAADBABC(2(1),13)(3(1),43)(3,1),而ODOBBD(1,3)(3,1)(2,2)所以顶点D的坐标为(2,2).总结：1.平面向量的加法，减法，实数与向量的积的坐标运算；2.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.