华北电力大学 崔翔教授 工程电磁场 ppt(2)

第2章静电场§2.1自由空间中场的基本方程和特性1.静电场的基本方程由，电场可以用一个标量场的梯度表示:可见，静电场是有散场、无旋场。2.电场强度与电位电场力将点电荷q沿任意路径从P点移动到Q点所作的功为)(QPQPQPQPqdlqdqdqWlllE由此定义PQ两点间的电位差（电压）为：3.电场的分布点电荷的电场为：多个点电荷的电场为：线电荷的电场为：''20'4)()(lrdlRrerE面电荷的电场为：''20'4)()(SrdSRrerE体电荷的电场为：''20'4)()(VrdVRrerEqWUQPPQ如果以Q点为零电位参考点，则P点电位为：QPPdlE如果以无穷远点为零电位参考点，则P点电位为：PPdlE点电荷的电位为：rqdrqdrrr02044)(lelEr多个点电荷的电位为：nkkknkkkRqq101'04141)(rrr线电荷的电位：'0''4)()(lRdlrr面电荷的电位：'0''4)()(SRdSrr体电荷的电位：'0''4)()(VRdVrr4.电场线和等位面E线的定义:线上任一点的切线方向与该点的电场强度方向一致。0lEdzzyyxxEEEeeeEdzdydxdzyxeeelzyxEdzEdyEdx等位面:Cx,y,z)(5.电偶极子相距很小距离l的一对等值异号的电荷，称为电偶极子.偶极子的电矩，简称电偶极矩:远离电偶极子的一点P(r,,)的电位:其中:故得:偶极子的电场θrθrEsincos24130rprr因为rl，将r1、r2用二项式定理展开，略去高阶项，得§2.2导体和电介质静电场中的导体处于静电平衡状态；导体内部电场处处为零；所有电荷分布在导体表面上；1.静电场中的导体2.静电场中的介质介质极化现象(演示）极化强度：介质极化后每单位体积内电偶极矩的矢量和，即VVpP0lim导体内部是等位体，导体表面是等位面；导体表面的电场垂直于导体表面。大多数介质在电场作用下产生极化时，其电极化强度P与介质中的合成电场强度E成正比，即P=e0E体积元dV内的等效电偶极子的电偶极矩∑p=P(r)dV，它在远区P点处产生的电位应为VRVRddd)1(414020PRP体积V内所有电偶极矩在P点产生的合成电位为VVRdd1410Pr根据矢量恒等式PPPRRR111上式可表示为VSVRRSddPnPr004141由此定义极化电荷的面密度与体密度分别为nePpσPp在引入极化电荷密度描述的基础上，类比于自由电荷产生的电场，极化电荷在真空中所产生的电场，可分别通过电位和场强E表示为SVSVrrrrrrrdd41PP0SVSVdd413P3P0rrrrrrrrrrrE§2.3电介质中的电场1.电介质中的高斯定律电介质中高斯定理的微分形式为)(100PEP上式可以转化为PE0由此定义电位移矢量PED0电介质中高斯定理的积分形式为qVVSddSD2.介电常数击穿场强对于均匀且各向同性的线性电介质EPED)1(00e令)1(0e则有，EEDr0其中，为相对介电常数，为介电常数。er1某种介质材料所能承受的最大场强就称为该电介质的击穿场强，或称为该材料的电介质强度。3.不同媒质分界面上的边界条件(1)两种不同介质分界面上的边界条件E的切向分量满足的边界条件01211lElEdttllEttEE210)(21EEn或D的法向分量满足的边界条件SSDDdnnS12SDnnDD12)(12DDn或若两种介质均为线性且各向同性，即D1=1E1，D2=2E2，应有1=1，2=2。两种介质分界面上通常不可能存在面分布形式的自由电荷(=0),2211sinsinEE222111coscosEE两式相除，即得2121tgtg介质分界面上的极化电荷nnnnPPpPP212121ePeP结合nnnPEεD0)(120nnpEEε折射率(2)导体和介质分界面上的边界条件E2021ttEE02tDnD2/2nE设导体为媒质1，介质为媒质2。在导体中，E1=D1=0；分界面上的边界条件(3)由电位表示的边界条件ttEE21nn112221nnDD12对应有；对应有对应导体和介质分界面上的边界条件C21n22§2.4边值问题1.边值问题的分类泊松方程和拉普拉斯方程DED把代入得εεεEEED对于均匀介质，为常数。再代入E得/2对于场中无自由电荷分布(=0)的区域，02在直角坐标系中2222222zyx定解条件(1)给定的是场域边界S上的电位值，边界条件称为第一类边界条件，它与泛定方程组合成第一类边值问题。b1rrfS(2)给定的是场域边界S上电位的法向导数值，边界条件称为第二类边界条件，它与泛定方程组合成第二类边值问题。b2rrfnS(3)给定的是场域边界S上电位及其法向导数的线性组合，边界条件称为第三类边界条件，它与泛定方程组合成第三类边值问题。b43rrrrfnfS如果场域扩展至无界空间，则还必须给出无限远处的边界条件。对于电荷分布在有限区域的无界电场问题，根据物理问题的本质，在无限远处(r→)应有有限值rrrlim这表明r在无限远处是有界的，即电位在无限远处为零((r)|r→=0)。2.静电场解的唯一性设V中存在两个电位函数1和2，在给定第一类或第二类边值时，均满足泊松方程，即1222令1-2=d，显然02d对已知的任意两个连续可导的标量函数和，应有SVdSnVd2令==d，代入上式得SVdSnVdd2dd无论对于第一类边界还是第二类边界，均有0d2dVV在整个场域内必有d=0。由此得证1=2，即只有唯一可能的解答。3.直接积分法例：二块半无限大的导电平板构成夹角为的电极系统，设板间电压为U0，如图所示。试求导板间电场，并绘出场图。[解]可以判定，(r)=()仅为一个坐标变量的函数，因而可以写出如下的第一类边值问题：002220,0ddUD将泛定方程直接积分二次，即得通解为21CC由给定的二个边界条件，可以确定式中待定的积分常数C1和C2为，01UC02C因此，电位的解为：0U电场强度的解为：ee01UE角形电极系统的场图AB4.分离变量法(1)直角坐标系中的平行平面场问题平行平面场中位函数U(x，y)在场域内满足拉普拉斯方程0,22222yUxUyxU设定分离变量形式的试探解，即令U(x，y)=X(x)Y(y)，代入方程得2222dd1dd1yYYxXX在x和y取任意值时等式恒成立，这要求两边恒为同一常数。现记该常数为(称为分离常数)：0dd22XxX0dd22YyY取不同值时，两个常微分方程得到不同形式的解：=0时，xAAxX2010)(yBByY2010)(时，02nm)sinh()cosh()(21xmAxmAxXnnnn)sin()cos()(21ymBymByYnnnn02nm时，)sin()cos()(21xmAxmAxXnnnn)sinh()cosh()(21ymBymByYnnnn位函数U的一般解可记作：yBBxAAymBymBxmAxmAymBymBxmAxmAyxUnnnnnnnnnnnnnnnnnn201020102112121121shchsincossincosshch,例：一长直接地金属槽的横截面如图所示，其侧壁与底面电位均为零，而顶盖电位=0，求槽内电位分布。0.800.600.400.20=0=0=0=0yoxab解：槽内电位满足的基本方程和边界条件为byaxbyaxyaxbyxbyaxyxyx00,00,00,000,00,0,022222在x方向只能选择正弦函数，在y方向只能选择双曲正弦函数1,nnnnymxmDyxshsin且：,3,2,1,nanmn因此：1shsin,nnaynaxnDyx带入最后一个边界条件，得110sinsinshnnnnaxnEaxnabnD为确定En的值，可对上式两边同乘以，其中K为整数，然后从x=0到x=a进行积分，得axKsin上式左边结果为：02dsin000KaxaxKa(K为奇数)(K为偶数)上式右边结果为：nanEaxaxKaxnE20dsinsin0(n≠K)(n=K)040nEn因此：(n为奇数)(n为偶数)最终得待求电位(x，y)的解答是yxbKyxKaKaKaK01212120shsinsh1214,(2)圆柱坐标系中的平行平面场问题设位函数与z坐标无关，U(r)=U(，)，满足拉普拉斯方程011,2222UUU令试探解U(，)=R()Q()，代入方程，经整理得222dd1ddddnQQrRrrRr其中，n2为分离常数，偏微分方程转化为下列两个常微分方程0dddd2222RnRR0dd222QnQ和当n＝0时,R()=A10+A20ln；Q()=B10+B20当n0时,R()=A1nn+A2n-n；Q()=B1ncosn+B2nsinnnBnBAABBAAUnnnnnnnsincos2112120102010ln,例：一横截面半径为a，介电常数为1的长直介质圆柱体放置在均匀的外电场E0中(场强值为E0，方向与介质圆柱的轴线相垂直)，均匀场中介质的介电常数为2，如图所示。求圆柱体放入后，场中的电位和电场强度。均匀外电场中的介质圆柱体[解]圆柱体内外的介质不同，故应分别以1和2表示圆柱体内外的电位函数，它们都满足拉普拉斯方程，即位函数U的一般解可记作：(0a)011,2122112011,2222222(a)在圆柱坐标系中x=c