第四章 电子轨迹方程

第四章电子轨迹方程教师：王丽章节组织4.1电动力学法推导轨迹方程4.1.1直角坐标系轨迹方程4.1.2圆柱坐标系轨迹方程4.1.3旋转对称量的守恒定理4.2光学方法推导轨迹方程4.2.1电子静场运动与光传播相似4.2.2电子光学折射率4.23由折射率推导轨迹方程4.3相对论修正下的普遍轨迹方程4.4轴对称复合场的高斯轨迹方程和傍轴轨迹方程第四章电子轨迹方程一、电子运动方程——包含x（t）、y（t）、z(t)的电子运动微分方程二、电子轨迹方程——不含参变量t的电子运动微分方程。第四章电子轨迹方程分析方法：一、电动力学方法：直接从电子运动微分方程（洛伦兹方程）出发，利用能量守恒定律消去参变量t，得到轨迹方程的方法二、光学方法：基于分析力学中的最小作用原理，利用“电子光学折射率”得到轨迹方程的方法4.2圆柱坐标系下的轨迹方程圆柱坐标系下，各矢量关系：dzerdedredrzrzreerzreerddreeddzreeervzrrdtdzreeerrvaz)rr2()r(dtddtd2224.2圆柱坐标系下的轨迹方程由能量守恒定律得：ezrrm)(2122224.2圆柱坐标系下的轨迹方程经过整理得到如下的r方向上和角向的轨迹分量：0)'(2)''1('2)''1(''1'2/12222/1222/12/12222222/1BBrrrrrrrrrrdzdz0)'(22)''1(''1'2/12/122222222/1zrBrrrBrrrrrdzd（1）（2）4.1.3旋转对称E、B场中角动量守恒定理布虚/布许（Busch）定理：在旋转对称电、磁场中，电子运动的角动量守恒。CerAmr2（3）1。电子的角动量由两部分组成（1）初始角动量，（2）由磁场产生2。由（3）式可知，电子的角动量守恒3。当电子的初始角动量为0时，电子对轴的旋转完全是由Ao到A的变化产生的，即电子切割磁力线管。4。电子沿磁力线管壁运动时，角动量不变。电子进入、离开磁场时，处于等rA线管上，角动量不变4.2光学方法推导电子轨迹方程光在媒质中的运动遵循费马原理：0][21ppndsLkknnnxnsinsinsinsin)(2211＝＝＝或者：常数费马原理的具体表达式——斯涅尔定律：分析力学基础哈密顿原理Hamiltonprinciple适用于受理想约束的完整保守系统的重要积分变分原理。W.R.哈密顿于1834年发表。其数学表达式为：式中L＝T－U为拉格朗日函数，T为系统的动能，U为它的势函数。哈密顿原理可叙述为：拉格朗日函数从时刻t1到t2的时间积分的变分等于零。它指出，受理想约束的保守力学系统从时刻t1的某一位形转移到时刻t2的另一位形的一切可能的运动中，实际发生的运动使系统的拉格朗日函数在该时间区间上的定积分取驻值，大多取极小值。由哈密顿原理可以导出拉格朗日方程。哈密顿原理不但数学形式紧凑，且适用范围广泛。如替换L的内容，就可扩充用于电动力学和相对论力学。此外，也可通过变分的近似算法，用哈密顿原理直接求解力学问题。莫培督原理：电子运动与光传播的相似性理论基础——分析力学一、哈密顿（Hamilton）原理：每一个力学系统都由一个确定的函数L(q,dq/dt,t)来表征。如果该力学系统在时刻t1和t2各自具有广义坐标q(t1)、q(t2)所确定的位置，那么该力学系统将以这样的方式运动，它在两个时刻之间的积分：取最小值。21),,(ttdttqqLA（4）哈密顿原理使（4）式取最小值的条件是，变分为0：0]),,([21ttdttqqLA（5）满足上式的拉各朗日L，也满足欧拉方程：0)(qLqLdtd(6)此时：拉各朗日函数可以表示为：L=T-U，其中，T表示力学系统的动能，U表示位能。当已知力学系统的拉各朗日函数时，（6）式即是力学系统的运功微分方程组。力学规律：拉格朗日方程1.解方程得到运动规律；2.得到守恒量。广义坐标：广义速度：由和组成一些不随时间变化的量(守恒量)守恒量求运动方程的解；分析解的性质。比较：拉格朗日方程和牛顿方程定义：——广义动量——广义力例子1：对在保守场中运动的单个质点，有——直角坐标系广义动量——通常的动量广义力——通常的力二、能量一般情况：——显含时间变量t例：处于随时间变化的外场中的系统，其拉格朗日函数为——L显含时间变量t——系统与外力场的源必有能量交换，系统不是保守系。对保守系，L不明显含变量t，则。拉格朗日方程：定义：——机械能(能量)显然：——保守系统的能量守恒在直角坐标系中，动能只是速度的函数，不是坐标的函数，但在广义坐标中，动能，则。动能T是广义速度的二次齐次式。例：有心力场中动能动能T是广义速度的二次齐次式。通常：动能都是广义速度的二次齐次式。根据齐次函数的欧拉定理，如果是s个变量的n次齐次式，则由于动能T是广义速度的二次齐次函数，则有而所以——机械能等于动能与势能之和结论：对于保守系统，在运动过程中，机械能保持不变。莫培督原理当力学系统能量守恒：T+U=E=const，有：L＝2T-E，代入（4）式，经过整理得：][21ppPdsA（7）ttppEdtPdsA121其中，ds为积分弧元，P代表广义动量，（8）qLP因此有：使（8）式为零的表述——莫培督（Maupertuis）原理哈密顿原理与莫培督原理0]),,([21ttdttqqLA0][21ppPdsA1。哈密顿原理适用范围广（包括时变场），莫培督原理只限于静场2。就限制条件而言，哈氏原理需要确定时间和位置，而莫氏原理需要确定位置，且总能量守恒。电子运动与光传播得相似性光在媒质中的运动和电子在保守场中的运功具有相似性，数学表述为：0][21ppPdsA0][21ppndsL其中，动量P也称为电子光学折射率哈密顿原理与莫培督原理3。由哈氏原理导出得微分方程是电子运动方程，而莫氏原理导出得微分方程为电子轨迹方程0)(qLqLdtd0)'(qPqPdsdqLP（9）（10）),,(dsdqqsP其中，（11）4.2.2普遍情况下的电子光学折射率由前面所述分析，我们只需要找到电子在静场中运动的拉各朗日函数L，利用（11）式，求得广义动量，即电子光学折射率，将其代入欧拉方程，即可得到电子在场中运动的轨迹方程。4.2.2.1电子在静场中的L在广义坐标系（q1,q2,q3）中，广义力Q可以表示为：QqTqTdtd)(其中，T表示动能。Qi代表力在广义坐标系中的分量（12）iziyixiqzFqyFqxFQ（13）4.2.2.1电子在静场中的L设有一个函数U，使得Q满足如下方程：QqUqUdtd)(联立（12）、（14）式，有：（14）0)()(qUTqUTdtd显然：T-U即是拉各朗日函数4.2.2.1电子在静场中的L由此，确立寻找拉各朗日函数的途径：由洛伦兹方程出发，找到Qi的表达式，并使其复合（14）式的形式，求得U，由于T是已知的，因此我们可以求得L。用电位和磁矢位表示电场和磁场，并考虑电子运动产生的自磁场得：yAxABtAzExAzABtAyEzAyABtAxExyzzzzxyyyyzxxx,,,4.2.2.1电子在静场中的L得力分量各Fx：xAzezAzeyAyexAyetAexeFzxxyxx（16）（17）经过等式变换得：)]([)(vAxdtdvAxeFx同理可得Fy，Fz分量表达式。4.2.2.1电子在静场中的L即：)]([)(vAqdtdvAqeQiii（18）得：)(vAeU从而得到电子在静场中得拉各朗日函数)(212vAemvUTL（19）4.2.2.1电子在静场中的L电子光学广义动量——电子折射率P：AsAvoemvvemvvLqLP其中so表示运动方向上得单位矢量。因而，求得电子折射率ne)(2Asnoe（20）显然，上式的第一项体现了电场对电子运动的作用。第二项体现了电磁场的联合作用。因为S0的方向是两场联合决定的。4.2.3由ne推导轨迹方程1，先求得广义坐标系下轨迹方程2。通过拉梅系数获得常用坐标系下得轨迹方程。4.2.3由ne推导轨迹方程光学中，费马原理成立的条件是折射率满足欧拉方程：0)('qnqndsdee（21）其中，dsdqq'上式表示在广义正交曲线系中以弧长s为独立变量的电子轨迹方程。而实际应用中，我们需要以合适的变量u为独立变量：2121ppppFdunds（22）4.2.3由ne推导轨迹方程显然：广义坐标系中弧长：2/1232322222121)(dqhdqhdqhds又，矢量so是运动方向上的单位矢量，也即是曲线s的切线方向上的单位矢量，即：dsdvosvs所以有：AsAsodds)(（23）（24）333222111dqhAdqhAdqhA4.2.3由ne推导轨迹方程所以有：)(2)()(23332221112/1232322222121dqhAdqhAdqhAdqhdqhdqhdsdsdsneAso选取u为独立变量：duqdududqdq'所以有：duqhAqhAqhAduqhqhqhdsne)'''(2)'''(3332221112/1232322222121)'''(2)'''(3332221112/1232322222121qhAqhAqhAqhqhqhF显然有：4.2.3由ne推导轨迹方程因此广义坐标系下，以u为独立变量的轨迹方程为：0)('qFqFdud（25）4.2.3.2常用坐标系下轨迹方程1，直角坐标系（x,y,z）下：13,12,113,2,1hhhuzqyqxq)''(2)1''(2/122zyxAyAxAyxF将上式代入（25）式0)('qFqFdud4.2.3.2常用坐标系下轨迹方程得，关于z的x方向轨迹方程：0)()('22)1''()1''('2/1222/122zAxAyAxAyxyxyxxdzdxzxy4.2.3.2常用坐标系下轨迹方程和，y方向上分量方程：0)()('22)1''()1''('2/1222/122zAyAxAyAxyyxyxydzdyzyx4.2.3.2常用坐标系下轨迹方程2圆柱坐标系下的轨迹方程：13,2,113,2,1hrhhuzqqrq)''(2)1''(2/1222zrArArArrF注意：zAArrAdzdArrr''zrAArrrrAdzrAd)('')()(4.2.3.2常用坐标系下轨迹方程同理得到r和角向方向上关于z的轨迹方程：0)'(2)''1('2)''1(''1'2/12222/1222/12/12222222/1BBrrrrrrrrrrdzdz0)'(2)''1(''1'