第1讲 集合与常用逻辑用语、复数

第1讲集合与常用逻辑用语、复数返回目录命题考向探究命题立意追溯核心知识聚焦第1讲集合与常用逻辑用语、复数——体验高考——返回目录核心知识聚焦1．[2013·江西卷改编]若集合A＝{x|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素①，则a＝________．[答案]4[解析]当a＝0时，A＝∅；当a≠0时，Δ＝a2－4a＝0，则a＝4.⇒集合元素的确定关键词：互异性，含参数的集合，如①.——主干知识——第1讲集合与常用逻辑用语、复数——体验高考——返回目录核心知识聚焦2．[2012·安徽卷改编]设集合A＝{x|－3≤2x－1≤3}，集合B为函数y＝lg(x＋1)的定义域，则A∩B②＝________．[答案](－1，2]⇒集合间的运算关键词：交集、并集、补集，如②.——主干知识——[解析]A＝{x|－3≤2x－1≤3}＝[－1，2]，B＝(－1，＋∞)，故A∩B＝(－1，2]．第1讲集合与常用逻辑用语、复数——体验高考——返回目录核心知识聚焦3．[2013·湖南卷改编]“1x2”是“x2”③成立的______________________________(填充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件)．[解析]设A＝(1，2)，B＝(－∞，2)，显然A⊆B，所以应填充分不必要条件．⇒充分、必要条件关键词：充要条件、集合关系与充要条件，如③.——主干知识——[答案]充分不必要条件第1讲集合与常用逻辑用语、复数——体验高考——返回目录核心知识聚焦4．[2013·山东卷改编]给定两个命题p，q，是q的必要而不充分条件，则的_____________．[答案]充分不必要条件[解析]由q⇒且q可得p⇒且⇒p，所以p是的充分不必要条件．⇒命题间的关系关键词：逆否命题、命题的否定，如④⑤.——主干知识——第1讲集合与常用逻辑用语、复数——体验高考——返回目录核心知识聚焦5．[2013·四川卷改编]设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则：________________．[答案]∃x0∈A，2x0∉B⇒命题间的关系关键词：逆否命题、命题的否定，如④⑤.——主干知识——[解析]p：∃x0∈A，2x0∉B.第1讲集合与常用逻辑用语、复数——体验高考——返回目录核心知识聚焦6．[2013·新课标全国Ⅱ卷改编]21－i＝________⑥.[答案]2⇒复数的概念及运算关键词：复数的模、纯虚数、分母实数化，如⑥.——主干知识——[解析]21－i＝2（1＋i）2＝1＋i＝2.第1讲集合与常用逻辑用语、复数——基础知识必备——返回目录第1讲集合与常用逻辑用语、复数——基础知识必备——返回目录返回目录第1讲集合与常用逻辑用语、复数►考向一高考中集合的常见问题考向：集合间的运算，集合关系的应用．例1(1)已知集合M＝{1，2，3}，N＝{x∈Z|1x4}，则()A．M⊆NB．N＝MC．M∩N＝{2，3}D．M∪N＝(1，4)(2)[2013·山东卷]已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1，2}，则A∩∁UB＝()A．{3}B．{4}C．{3，4}D．∅命题考向探究返回目录第1讲集合与常用逻辑用语、复数[解析](1)N＝{x∈Z|1x4}＝{2，3}，故M∩N＝{2，3}．(2)∵U＝{1，2，3，4}，∁U(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1，2，3}．又∵B＝{1，2}，∴{3}⊆A⊆{1，2，3}，∴∁UB＝{3，4}，A∩∁UB＝{3}．[答案](1)C(2)A命题考向探究小结：涉及集合的交、并、补运算，虽然较其他问题相对简单，但需要针对已知集合中元素的特点逐一运算．如果元素是整数，可采用列举法表示，进而确定目标集合的元素，这类问题用韦恩图表示较为简洁；如果集合中的元素是用不等式描述的，借助数轴探求集合间的关系更方便．返回目录第1讲集合与常用逻辑用语、复数命题考向探究变试题(1)已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则()A．A∩B＝∅B．A∪B＝RC．B⊆AD．A⊆B(2)设全集U是实数集R，M＝{x|x24}，N＝{x||x－2|≤1}，则图1－1－1所示的阴影部分表示的集合等于________(结果用区间形式作答)．图1－1－1返回目录第1讲集合与常用逻辑用语、复数命题考向探究[解析](1)A＝{x|x0或x2}，故A∪B＝R.(2)阴影部分表示的集合为N∩(∁UM)．M＝{x|x24}＝{x|x2或x－2}，N＝{x||x－2|≤1}＝{x|1≤x≤3}，所以∁UM＝{x|－2≤x≤2}，所以N∩(∁UM)＝{x|1≤x≤2}＝[1，2]．[答案](1)B(2)[1，2]返回目录第1讲集合与常用逻辑用语、复数►考向二高考中常用逻辑用语的常见问题考向：充分条件和必要条件的判断、命题与否定．例2(1)[2013·福建卷]设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件命题考向探究返回目录第1讲集合与常用逻辑用语、复数(2)[2013·新课标全国卷Ⅰ]已知命题p：∀x∈R，2x＜3x，命题q：∃x0∈R，x30＝1－x20.则下列命题中为真命题的是()[答案](1)A(2)B命题考向探究返回目录第1讲集合与常用逻辑用语、复数[解析](1)当x＝2，y＝－1时，x＋y－1＝0；但x＋y－1＝0不能推出x＝2，y＝－1，故选A.(2)命题p假，命题q真，所以p∧q为真命题．命题考向探究小结：充要条件的判断实际上就是从正反两个方面判断命题的真假，注意利用集合与充要条件的关系判断充要条件；“或”“且”“非”类似于集合中的“并”“交”“补”．复合命题的真假判断要先对每个简单命题(不妨设为p，q)的正确与否作出判断，借助真值表确定结论．返回目录第1讲集合与常用逻辑用语、复数命题考向探究变式题(1)设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为π2，命题q：函数y＝cosx的图像关于直线x＝π2对称．则下列的判断正确的是()A．p为真B．q为假C．p∧q为假D．p∨q为真(2)已知f(x)＝x3－3x，并设命题p：∀c∈R，f[f(x)]＝c至少有3个实根，命题q：当c∈(－2，2)时，方程f[f(x)]＝c有9个实根，命题r：当c＝2时，方程f[f(x)]＝c有5个实根．则下列命题为真命题的是()A．p∨rB．p∧rC．仅有rD．p∧q返回目录第1讲集合与常用逻辑用语、复数命题考向探究[解析](1)命题p和命题q均为假命题，正确选项为C.[答案](1)C(2)A返回目录第1讲集合与常用逻辑用语、复数命题考向探究(2)如图所示，当c2或c－2时，f[f(x)]＝c只有一个根，p为假命题；当c＝2时，f[f(x)]＝c有5个实根，r为真命题；当c∈(－2，2)时，f[f(x)]＝c有9个实根，q为真命题．排除B，C，D，故选A.返回目录第1讲集合与常用逻辑用语、复数命题考向探究►考向三复数的概念与运算考向：复数的概念、复数的运算、复数的几何意义．例3(1)[2013·陕西卷]设z是复数，则下列命题中的假命题是()A．若z2≥0，则z是实数B．若z20，则z是虚数C．若z是虚数，则z2≥0D．若z是纯虚数，则z20(2)[2013·新课标全国卷Ⅰ]若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为()A．－4B．－45C．4D.45返回目录第1讲集合与常用逻辑用语、复数命题考向探究[解析](1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi.若z2≥0，则ab＝0，a2－b2≥0，即b＝0，故z是实数，A为真．若z20，则ab＝0，a2－b20，即a＝0，b≠0，故B为真．若z是虚数，则b≠0，z2＝a2－b2＋2abi，无法与0比较大小，故C是假命题．若z是纯虚数，则a＝0，b≠0，z2＝－b20，故D为真．(2)z＝|4＋3i|3－4i＝53－4i＝5（3＋4i）25＝35＋45i，故z的虚部是45.[答案](1)C(2)D返回目录第1讲集合与常用逻辑用语、复数命题考向探究方法指导1.复数中的常用结论(1)对于实数a，b，有|a|＝|b|⇔a2＝b2，但对于不全是实数的两个复数，上述关系不成立；(2)对于任意复数z，有z·z＝|z|2＝|z|2；(3)两个复数不能比较大小，如果给出的两个形式上的复数具有大小关系，则说明它们都是实数．返回目录第1讲集合与常用逻辑用语、复数命题考向探究小结：①复数a＋bi(a，b∈R)是实数的充要条件是b＝0，是纯虚数的充要条件是a＝0，b≠0，是虚数的充要条件是b≠0.②分母实数化是简化复数运算的主要手段，其中(a＋bi)·(a－bi)＝a2＋b2.对一些常见运算，如(1±i)2＝±2i、1＋i1－i＝i、1－i1＋i＝－i等要记牢．返回目录第1讲集合与常用逻辑用语、复数命题考向探究变式题(1)若复数z＝x＋3i1－i是实数，则x的值为()A．－3B．3C．0D.3(2)定义运算(a*b)·(c*d)＝ad－bc，复数z满足(z*1)·(i*i)＝1＋i，则复数z在复平面上对应的点P的坐标为________．返回目录第1讲集合与常用逻辑用语、复数命题考向探究[解析](1)z＝（x＋3i）（1＋i）2＝（x－3）＋（x＋3）i2，因此x＝－3时，复数z为实数．(2)设z＝a＋bi，则(z*1)·(i*i)＝z·i－i＝(a＋bi)i－i＝－b＋(a－1)i＝1＋i，即a＝2，b＝－1，所以z在复平面上对应的点为(2，－1)．[答案](1)A(2)(2，－1)返回目录第1讲集合与常用逻辑用语、复数命题立意追溯——创新意识——[集合中的创新问题]创新意识是理性思维的高层次表现，是发现问题和解决问题的重要途径．考查时往往提供崭新的问题背景，这就需要选择有效的方法和手段来分析新信息，进行独立的思考、探索和研究，同时借助已有知识搭建的平台，把新信息灵活运用，最终达到解决问题的目的．集合中的创新问题多数是在新定义下进行命题，可能是关于新定义的集合运算，也可能是关于新定义的集合确定．返回目录第1讲集合与常用逻辑用语、复数示例[2013·福建卷]设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y＝f(x)满足：(i)T＝{f(x)|x∈S}；(ii)对任意x1，x2∈S，当x1x2时，恒有f(x1)f(x2)，那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合：①A＝N，B＝N*；②A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|－8≤x≤10}；③A＝{x|0x1}，B＝R.其中，“保序同构”的集合对的序号是________(写出所有“保序同构”的集合对的序号)．命题立意追溯返回目录第1讲集合与常用逻辑用语、复数[答案]①②③命题立意追溯[解析]对于集合对①，可取函数f(x)＝2x(x∈N)，是“保序同构”；对于集合对②，可取函数y＝92x－72(－1≤x≤3)，是“保序同构”；对于集合对③，可取函数y＝tanπx－π2(0x1)，是“保序同构”．故答案为①②③.返回目录第1讲集合与常用逻辑用语、复数小结：本题看上去是考查新定义下的集合的判断，实则可转化为考查函数的性质．由题意可知S为函数的一个定义域，T为其所对应的值域，且函数y＝f(x)为单调递增函数．命题立意追溯返回目录第1讲集合与常用逻辑用语、复数跟踪练若点集M满足：任意(x，y)∈M，均有(kx，ky)∈M，其中k∈(0，1)，则称该点集M是“k阶保守”点集．下列集合：①{(x，y)|x2≥y}；②{(x，y)|2x2＋y21}；③{(x，y)|x2＋y2＋x＋2y＝0}；④{(x，y)|x3＋y3－x2y＝0}．其中“12阶保守”点集的个数是________．命题立意追溯返