最新中考数学复习课件(人教版)第28讲 尺规作图

第28讲尺规作图考点1五种基本作图1．如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，作图痕迹中，FG︵是()A．以点C为圆心，OD长为半径的弧B．以点C为圆心，DM长为半径的弧C．以点E为圆心，OD长为半径的弧D．以点E为圆心，DM长为半径的弧D2．如图，请你作出△ABC中BC边的垂直平分线(不写作法，保留作图痕迹)．解：如图所示，直线MN就是所求作的直线．归纳总结:1．限定用_______________和________进行的作图叫做尺规作图．2．五种基本作图：(1)作一条线段等于已知线段；(2)作一个角等于已知角；(3)作一个角的平分线；(4)过一点作已知直线的垂线；(5)作已知线段的垂直平分线．无刻度的直尺圆规考点2尺规作图的应用1．利用基本作图不可作出唯一等腰三角形的是()A．已知底边及底边上的高B．已知底边上的高及腰C．已知底边及顶角D．已知两底角D2．如图所示，已知线段a，用尺规作出△ABC，使AB＝a，BC＝AC＝2a.作法：(1)作一条线段AB＝________；(2)分别以点________，________为圆心，以________为半径画弧，两弧交于点C；(3)连接________，________，则△ABC就是所求作的三角形．aAB2aACBC归纳总结:按要求进行尺规作图时，应先画出欲作图形的草图，再根据草图并结合五种基本作图设计出可行的作图步骤，然后应用尺规按照该步骤作出要画的图形即可．探究一根据作图语言解决几何问题例1如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M，N；②连接MN，分别交AB，AC于点D，O；③过点C作CE∥AB交MN于点E，连接AE，CD.(1)求证：四边形ADCE是菱形；(2)当∠ACB＝90°，BC＝6，△ADC的周长为18时，求四边形ADCE的面积．图28－4[解析](1)由已知条件证明四边形ADCE的对角线互相垂直平分，从而证明四边形的四边相等；(2)由已知借助中位线定理求得OD的长，根据轴对称性由△ADC的周长求得AD与AO的和，由勾股定理建立方程求得AO的长，进而求得四边形ADCE的面积．解：(1)证明：由题意可知直线DE是线段AC的垂直平分线，∴AC⊥DE，即∠AOD＝∠COE＝90°，且AD＝CD，AO＝CO.∵CE∥AB，∴∠ADO＝∠CEO，∴△AOD≌△COE，∴OD＝OE，∴AD＝AE，CD＝CE，∴AD＝AE＝CE＝CD，∴四边形ADCE是菱形．(2)当∠ACB＝90°时，OD∥BC，即有△ADO∽△ABC，∴ODBC＝AOAC＝12.∵BC＝6，∴OD＝3.∵△ADC的周长为18，∴AD＋AO＝9，即AD＝9－AO，∴OD＝AD2－AO2＝3，可得AO＝4，∴AC＝8.∵OD＝3，∴DE＝6，∴S四边形ADCE＝12AC·DE＝24.中考点金当题目中通过作图语言给出条件时，应结合基本作图从作图语言中找出图形中相等的线段及相等的角，然后以此为基础进行推理，使问题得到解答．变式题[2014·梅州]如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以点A，C为圆心，大于12AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN，与AC，BC分别交于点D，E，连接AE，则：(1)∠ADE＝________°；(2)AE________EC(填“＝”“＞”或“＜”)；(3)当AB＝3，AC＝5时，△ABE的周长＝________．90＝7[解析](1)由作图语言知，直线MN是线段AC的垂直平分线，∴∠ADE＝90°.(2)根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得AE＝EC；(3)在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，由勾股定理得BC＝4，由(2)知AE＝EC，∴△ABE的周长＝AB＋BE＋AE＝AB＋BE＋EC＝AB＋BC＝3＋4＝7.探究二利用尺规作图解决实际问题例2如图所示，有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B.电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．(保留作图痕迹，不要求写出作法)[解析]根据题意，点C应满足两个条件，一是在线段AB的垂直平分线上，二是在两条公路夹角的平分线上，所以点C是它们的交点．解：作图如下，点C1和C2就是所要求作的位置．中考点金作到两条相交直线等距离的点应作两直线所夹角的平分线，作到两点距离相等的点应作两点所连线段的垂直平分线．在实际问题中，找具有以上特点的点时，一般作它们的交点．变式题为了推进农村新型合作医疗改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使医疗点P到该镇所属A村，B村，C村的距离都相等(A，B，C不在同一直线上，地理位置如图所示)，请你用尺规作图的方法确定点P的位置．要求：不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹．解：如图所示，点P即为所求作的位置．考题自主训练1．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是()A．SSSB．ASAC．AASD．角平分线上的点到角两边的距离相等A2．如图28－9，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度的一半的长为半径画弧，两弧相交于点C，D，则直线CD即为所求．连接AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知四边形ADBC一定是．．．()图28－9A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形B3．[2014·河北]如图28－10，已知△ABC(AC＜BC)，用尺规在BC上确定一点P，使PA＋PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是()图28－10图28－11D4．如图28－12，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别如下：图28－12甲：1.作OD的垂直平分线，交⊙O于B，C两点．2．连接AB，AC.△ABC即为所求作的三角形．乙：1.以点D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点．2．连接AB，BC，AC.△ABC即为所求作的三角形．对于甲、乙两人的作法，可判断()A．甲、乙均正确B．甲、乙均错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确A5．[2014·苏州]如图28－13，在矩形ABCD中，ABBC＝35.以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AD于点E，若AE·ED＝43，则矩形ABCD的面积为________．图28－1356．[2014·玉林]已知：如图28－14，BC与CD重合，∠ABC＝∠CDE＝90°，△ABC≌△CDE，并且△CDE可由△ABC逆时针旋转而得到．请你利用尺规作出旋转中心O(保留作图痕迹，不写作法，注意最后用墨水笔加黑)，并直接写出旋转角度是________．图28－1490°如图所示，点O就是所要做的旋转中心7．[2014·兰州]如图28－15，在△ABC中，先作∠BAC的平分线AD交BC于点D，再以AC边上的一点O为圆心，过A，D两点作⊙O(用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑)．图28－15解：作出角平分线AD，作AD的中垂线交AC于点O，作出⊙O，⊙O即为所求作的圆．8．如图所示，已知直线l和直线l外两点A，B.求作点P，使点P在直线l上，且到点A和点B的距离相等(作图并写出作图方法)．解：作法：(1)连接AB；(2)分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和点D；(3)作直线CD，交直线l于点P，点P就是所求的点(如图)．9．[2013·山西]如图28－17，在△ABC中，AB＝AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点．(1)实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母(保留作图痕迹，不写作法)．①作∠DAC的平分线AM；②连接BE并延长交AM于点F.(2)猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由．图28－17解：(1)如图所示．(2)AF∥BC且AF＝BC.理由如下：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠DAC＝∠ABC＋∠C＝2∠C.由作图可知：∠DAC＝2∠FAC，∴∠C＝∠FAC，∴AF∥BC.∵E是AC的中点，∴AE＝CE.又∵∠AEF＝∠CEB，∴△AEF≌△CEB，∴AF＝BC.中考预测如图28－18，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝72°.(1)用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D(保留作图痕迹，不要求写作法)；(2)在(1)中作出∠ABC的平分线BD后，求∠BDC的度数．图28－18解：(1)作图如下：(2)∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝72°，∴∠A＝36°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝12∠ABC＝12×72°＝36°，∴∠BDC＝∠ABD＋∠A＝36°＋36°＝72°.