2012年高考第一轮总复习精品导学课件：5.3向量的坐标运算(第1课时)

第五章平面向量第讲（第一课时）考点搜索●平面向量的基本定理及坐标运算●向量平行的充要条件●向量的坐标运算与函数(包括三角函数)、解析几何的综合题高考猜想这一部分是向量的核心内容，高考的一个重要命题点.选择题、填空题重在考查数量积的概念、运算律、性质，向量的平行与垂直、夹角与距离等；解答题重在考查与几何、三角函数、代数等结合的综合题.一、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对任一向量a，有且只有一对实数x，y，使得a=xi+yj，则实数对(x，y)叫做向量a的直角坐标，记作a=(x，y).其中x、y分别叫做a在x轴、y轴上的坐标，a=(x，y)叫做向量a的坐标表示.相等的向量其坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量.二、平面向量的坐标运算1.若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a±b=①_______________;2.如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB=②______________;3.若a=(x，y)，则λa=③_________;4.如果a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a∥b的充要条件是④_____________.(x1±x2，y1±y2)(x2-x1，y2-y1)(λx,λy)x1y2-x2y1=0三、平面向量数量积的坐标表示1.若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b=⑤_____________;2.若a=(x，y)，则|a|2=a·a=⑥______，|a|=⑦___________;3.若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|=⑧____________；4.若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a⊥b_______________;x1x2+y1y2x2+y2x1x2+y1y2=022xy222121(-)(-)xxyy5.若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cosθ=⑩________________.121222221122xxyyxyxy1.对于n个向量a1,a2,…,an,若存在n个不全为零的实数k1,k2,…，kn,使得k1a1+k2a2+…+knan=0成立，则称向量a1,a2,…,an是线性相关的.按此规定，能使向量a1=(1,0),a2=(1,-1),a3=(2,2)是线性相关的实数k1,k2,k3的值依次为_________.(只需写出一组值即可)解：根据线性相关的定义得k1(1,0)+k2(1,-1)+k3(2,2)=0，则令k3=1,则k2=2，k1=-4，所以k1,k2,k3的一组值为-4,2,1.1232320,-20kkkkk-4,2,12.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m)，且a∥b，则2a+3b=()A.(-2，-4)B.(-3，-6)C.(-4，-8)D.(-5，-10)解：由a∥b，得m=-4，所以2a+3b=(2，4)＋(-6，-12)=(-4，-8)，故选C.C3.已知平面向量a=(1，-3)，b=(4，-2)，λa+b与a垂直，则λ=()A.-1B.1C.-2D.2解：由于λa+b=(λ+4,-3λ-2),a=(1,-3),且(λa+b)⊥a,所以(λ+4)-3(-3λ-2)=0，即10λ+10=0,所以λ=-1，故选A.A题型1向量的坐标1.设向量a=(1，-3)，b=(-2，4)，c=(-1，-2)，若表示向量4a、4b-2c、2(a-c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，求向量d的坐标解：根据题意，4a+(4b-2c)+2(a-c)+d=0，即6a+4b-4c+d=0，所以d=4c-6a-4b=4(-1，-2)-6(1，-3)-4(-2，4)=(-2，-6).点评：坐标向量的加减运算，按对应的坐标进行加减运算即可，涉及到已知起点和终点坐标求向量时，用终点坐标减去起点坐标即可.点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v=(4，-3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位长度).设开始时点P的坐标为(-10，10)，则5秒后点P的坐标为()A.(-2，4)B.(-30，25)C.(5，-10)D.(10，-5)解：设点A(-10，10)，5秒后点P运动到B点，则=5v，所以=5v，所以+5v=(-10，10)+5(4，-3)=(10，-5).故选D.AB-OBOAOBOAD题型2向量的模2.已知向量a=(cos23°，cos67°)，b=(cos68°，cos22°)，求|a+tb|(t∈R)的最小值.解：由已知得a=(cos23°，sin23°)，b=(sin22°，cos22°)，所以|a|=|b|=1，a·b=sin22°cos23°+cos22°sin23°=sin45°=.所以|a+tb|2=(a+tb)2=a2+2ta·b+t2b2所以当t=-时，|a+tb|min=.22222121(),22ttt2222点评：坐标向量a=(x，y)的模是一个非负数，涉及到三角函数式的运算时，注意先将三角函数式化简再求解.22||axy已知向量m=(cosθ，sinθ)和n=(-sinθ，cosθ)，θ∈［π，2π］.求|m+n|的最大值.解：m+n=(cosθ-sinθ+,cosθ+sinθ),因为θ∈［π，2π］，所以所以cos()≤1，所以|m+n|max=.2222||(cos-sin2)(cossin)422(cos-sin)44cos()21cos().44mn59,444422已知a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a=(1，2).(1)若|c|=，且c∥a，求c的坐标;(2)若|b|=，且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.解：(1)设c=(x,y)，则|c|=又c∥a，则2x=y,所以或所以c=(2,4),或c=(-2,-4).题型3向量的平行与垂直25522225,xy24xy-2,-4xy(2)因为a+2b与2a-b垂直,所以(a+2b)(2a-b)=2|a|2+3a·b-2|b|2=0.因为|b|=，|a|=，所以a·b=-所以所以a与b的夹角θ为135°.点评：两坐标向量的平行(或垂直)的充要条件是将向量运算转化为实数运算的依据，注意平行与垂直的充要条件极易弄错或混淆.525525-2cos-1,552设向量m=a+(t2-k)b，其中k0，且为常数，n=-sa+tb，其中s、t是两个非零实数，若m⊥n(1)试将s表示成关于t的函数s=f(t);(2)若s=f(t)在区间［1，+∞)上是单调函数，求k的取值范围.解：(1)因为m⊥n，所以m·n=0，即［a+(t2-k)b］·(-sa+tb)=0.所以-sa2+t(t2-k)b2+［t-s(t2-k)］a·b=0.3113(,-),(,),2222ab由题设知|a|=|b|=1，a·b=0，所以-s+t(t2-k)=0，即s=t3-kt.所以s=f(t)=t3-kt(t≠0，k＞0，且k为常数).(2)若f(t)在区间［1，+∞)上是增函数，则当t≥1时，f′(t)=3t2-k≥0恒成立，即k≤3t2恒成立.因为3t2≥3，所以k≤3.若f(t)在区间［1，+∞)上是减函数.则当t≥1时，f′(t)=3t2-k≤0恒成立.即k≥3t2恒成立，这不可能.又k＞0，所以k的取值范围是(0，3］.1.建立平面向量的坐标，基础是平面向量基本定理.因此，对所给向量应会根据条件在x轴和y轴进行分解，求出其坐标.2.向量的坐标表示，实际是向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后，即可使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合了起来.这样，很多几何问题就转化为我们熟知的数量的运算.3.已知向量的始点和终点坐标求向量的坐标时，一定要搞清方向，用对应的终点坐标减始点坐标.4.本节易忽视点有二：一是将向量的终点坐标误认为向量坐标，二是向量共线的坐标表示易与向量垂直的坐标表示混淆，须正确区分.