AHP层次分析法

1AHP方法及其应用赵斯惠22012070432管理科学与工程层次分析法(AnalyticsHierarchyProcess,AHP)简介12基本步骤3应用案例4深入探讨5基本模型背景介绍AHP(AnalyticHierarchyProcess)层次分析法是美国运筹学家Saaty教授于二十世纪80年代提出的一种实用的多方案或多目标的决策方法。其主要特征是，它合理地将定性与定量的决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。该方法自1982年被介绍到我国以来，以其定性与定量相结合地处理各种决策因素的特点，以及其系统灵活简洁的优点，迅速地在我国社会经济各个领域内，如能源系统分析、城市规划、经济管理、科研评价等，得到了广泛的重视和应用。层次分析法的基本思路：先分解后综合整理和综合人们的主观判断，使定性分析与定量分析有机结合，实现定量化决策。首先将所要分析的问题层次化，根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解成不同的组成因素，按照因素间的相互关系及隶属关系，将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层分析结构模型，最终归结为最低层（方案、措施、指标等）相对于最高层（总目标）相对重要程度的权值或相对优劣次序的问题。日常生活中有许多决策问题。决策是指在面临多种方案时需要依据一定的标准选择某一种方案。例1某人准备选购一台电冰箱他对市场上的6种不同类型的电冰箱进行了解后，选取一些中间指标进行考察。例如电冰箱的容量、制冷级别、价格、型式、耗电量、外界信誉、售后服务等。问题提出然后再考虑各种型号冰箱在上述各中间标准下的优劣排序。借助这种排序，最终作出选购决策。在决策时，由于6种电冰箱对于每个中间标准的优劣排序一般是不一致的，因此，决策者首先要对这7个标准的重要度作一个估计，给出一种排序，然后把6种冰箱分别对每一个标准的排序权重找出来，最后把这些信息数据综合，得到针对总目标即购买电冰箱的排序权重。有了这个权重向量，决策就很容易了。层次分析法基本原理分解建立确定计算判断实际问题层次结构多个因素诸因素的相对重要性权向量综合决策用AHP分析问题大体要经过以下五个步骤：（1）建立层次结构模型；（2）构造判断矩阵；（3）层次单排序；（4）一致性检验；（5）层次总排序。其中后三个步骤在整个过程中需要逐层地进行。步骤建立层次结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标—准则或指标—方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。构造成对比较矩阵用成对比较法和1~9尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。2009.11计算单排序权向量并做一致性检验对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。计算总排序权向量并做组合一致性检验利用总排序一致性比率进行检验。若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率CR较大的成对比较矩阵。2009.11一个好的层次结构对于解决问题是极为重要的。层次结构建立在决策者对所面临的问题具有全面深入的认识基础上，如果在层次的划分和确定层次之间的支配关系上举棋不定，最好重新分析问题，弄清问题各部分相互之间的关系，以确保建立一个合理的层次结构。基本模型—单层次模型（1）单层次模型结构C—目标Ai—隶属C的n个评价元素决策者：由决策者在这个目标意义下对这n个元素进行评价，对他们进行优劣排序并作出相对重要性的权量。CA1A2An……（2）思想：整体判断n个元素的两两比较。定性判断定量表示（通过标量）通过数学公式（特征值）确定各元素评价权重（3）计算步骤i.构造两两比较判断矩阵ii.计算单一准则下元素的相对重要性（层次单排序）iii.单层次判断矩阵A的一致性检验（3）计算步骤i.判断矩阵标度（aij）的含义：Ai比Aj时由决策者回答下列问题所得1表示两个元素相比，具有同样重要性3表示两个元素相比，一个元素比另一个元素稍微重要5表示两个元素相比，一个元素比另一个元素明显重要7表示两个元素相比，一个元素比另一个元素强烈重要9表示两个元素相比，一个元素比另一个元素极端重要CKA1A2……AnA1a11a12……a1nA2a21a22……a2nMMMMMAnan1an2……ann（3）计算步骤判断矩阵中的元素具有下述性质例：决策者认为Ai比Aj明显重要，则aij＝5这样由决策者的定性判断转换为定量表示，这是AHP的特点之一。1)(1)(0)(iijiijijaiiiaaiiai（3）计算步骤ii.层次单排序计算判断矩阵A的最大特征根λmax和其对应的经归一化后的特征向量W=(w1,w2,…,wn)T由此得到的特征向量W=(w1,w2,…,wn)T就作为对应评价单元的权重向量。λmax和W的计算一般采用幂法、和法和方根法AW=λmaxW方根法13/133153/15/11A1,15067.015131511321MMM1466.2,405.032311WWMW计算Mi的n次方根归一化258.0637.0105.0871.332131)(1maxniiinWAW258.0637.0105.0W（3）计算步骤iii.单层次判断矩阵A的一致性检验在单层次判断矩阵A中，当时，称判断矩阵为一致性矩阵。进行一致性检验的步骤如下：（a）计算一致性指标C.I.：，式中n为判断矩阵阶数。（b）计算平均随机一致性指标R.I.R.I.是多次重复进行随机判断矩阵特征值的计算后取算术平均数得到的，下表给出1～15维矩阵重复计算1000次的平均随机一致性指标：（c）计算一致性比例C.R.：C.R.＝C.I./R.I.当C.R.0.1时，一般认为判断矩阵的一致性是可以接受的。jkikijaaa1..maxnnIC维数123456789101112131415R.I.000.520.891.121.261.361.411.461.491.521.541.561.581.59多层次分析法基本步骤建立递阶层次结构计算单一准则下元素相对重要性（单层次模型）计算各层次上元素的组合权重（层次总排序）评价层次总排序计算结果的一致性（1）递阶层次结构决策目标准则1准则2准则k子准则1子准则2子准则m方案1方案2方案n………………………………目标层准则层子准则层方案层工作选择可供选择的单位P1’P2，Pn贡献收入发展声誉工作环境生活环境目标层准则层方案层将决策问题分为3个或多个层次：最高层：目标层。表示解决问题的目的，即层次分析要达到的总目标。通常只有一个总目标。中间层：准则层、指标层、…。表示采取某种措施、政策、方案等实现预定总目标所涉及的中间环节；一般又分为准则层、指标层、策略层、约束层等。最低层：方案层。表示将选用的解决问题的各种措施、政策、方案等。通常有几个方案可选。每层有若干元素，层间元素的关系用相连直线表示。（3）计算各元素的总权重A1A2……Am层次A权重层次Ba1a2……amB层次元素组合权重B111b21b……mb1miiibab111B212b22b……mb2miiibab122MMMMMMBn1nb2nb……mnbmiininbab1（4）评价层次总排序计算结果的一致性设：CI为层次总排序一致性指标：RI为层次总排序随机一致性指标。其计算公式为：CIi为Ai相应的B层次中判断矩阵的一致性指标。RIi为Ai相对应的B层次中判断矩阵随机一致性指标并取当，认为层次总排序的结果具有满意的一致性。miiiCIaCI1miiiRIaRI1RICICR10.0CR应用案例某厂有一笔企业留成利润要决定如何使用，根据各方意见提出的决策方案有：发奖金；扩建集体福利设施；办技校；建图书馆；购买新设备。在决策时要考虑调动职工劳动积极性、提高职工技术文化水平、改善职工物质文化生活三方面，据此构造各因素之间相互联结的层次结构模型如下图所示。（1）层次结构图准则层C方案层D目标层A合理使用企业留利××万元调动职工劳动积极性提高企业技术水平改善职工物质文化生活状况发奖金扩建集体福利设施办技校建图书馆购买新设施AC1C2C3d1d2d3d4d5（2）计算单一准则下元素的相对重要性i.第二层相对于第一层的判断矩阵W=(0.105,0.637,0.258)λmax=3.308对判断矩阵进行一致性检验，即计算C.I.和C.R.C.I.=0.019C.R.=0.0330.1说明判断矩阵的一致性可以接受。A-CC1C2C3C111/51/3C2513C331/31C1C2C3w1=0.105W2=0.637W3=0.258A（2）计算单一准则下元素的相对重要性ii.第三层元素相对于第二层元素判断矩阵W=(0.491,0.232,0.092,0.138,0.046)126.5maxC.I=0.032C.R.=0.0280.1C1-Dd1d2d3d4d5d112347d21/21325d31/31/311/21d41/41/2213d51/71/511/31w11W12W13C1C2C3d1d2d3d4d5w14w15（2）计算单一准则下元素的相对重要性C2-Dd2d3d4d5d211/71/31/5d37152d431/511/3d551/231W=(0.055,0.564,0.118,0.265)117.4maxC.I=0.039C.R.=0.0420.1C3-Dd1d2d3d4d11133d21133d31/31/311d41/31/311W=(0.406,0.406,0.094,0.094)4maxC.R.=0w21W22W23C1C2C3d1d2d3d4d5w24w25C1C2C3d1d2d3d4d5（3）计算各元素的总权重C1C2C3准则权重方案0.1050.6370.258总权重d10.49100.4060．157d20.2320.0550.4060．164d30.0920.5640.0940．393d40.1360.1180.0940．113d50.0460.26500．172（4）结论发奖金，福利设施，办技校，建图书馆，新设备W=(0.157,0.164,0.393,0.113,0.172)C.I.=0.028R.I.=0.923CR=0.030.10计算结果表明，对于合理使用企业留成利润来说，办技校是首选的方案。问题提出中国女排在2007年一系列热身赛中成绩不佳，透露出这么一个重要信息：我们应该怎样科学地选拔上场队员。是否应该认真的反思一下历年来选拔队员的程序和方法，它们是否是在科学原则的指导下进行的。选择上场队员应该有一套科学的方法，不然即使再出一个郎平，也不一定能够再登世界之巅。中国女排在2004年雅典奥运会获得金牌后，在备战北京奥运会时仍然沿袭了雅典奥运会的原班人马，结果由于多名队员受伤，在占尽天时，地理人和之时成绩却不尽人意。无论是教练还是对原对此成绩均不满意。赛后主教练陈忠和泪洒赛场。但赛后的痛苦流涕病必能解决问题，我们是否应该反思队员选拔与训练机制，为什么主力队员都是浑身伤病。我们认为，主教练在进行队员选拔的时一定要按科学的原则进行，而非靠个人偏好决定取舍。这样才能把最优秀的队员选拔到国家队。从管理的角度来看，选择上场队员的问题实质是一个综合评估问题。科学评估有三要素：评估者、评估指标体系和评估方法。实际上队员选拔问题也应该按照这三个准则进行：一是确定科学的确定评估者（教练组），二是要建立一套合理的评价指标体系，三是选用科学有效的评估方法进行。二．模拟算例基于本届奥运会的教训和实际情况，我们通过一个模拟的算例，来看如何运用此方法进行队员选拔。确