文科考研微积分第二章 一元函数微分学

1第二章一元函数微分学2一、导数定义第一种形式：axafxfafax)()(lim)(第二种形式：xafxafafx)()(lim)(0)(xfy在ax处可导)(),(afaf存在且相等；微分的定义：)(xoxAy,xxfyd)(d；导数的几何意义：切线的斜率；关系：可导可微,可导连续,反之不然.内容提要3)2sin()(sin)(nxxn,)2cos()(cos)(nxxn,二、求导法则基本初等函数的导数；导数的四则运算；反函数、复合函数求导；隐函数求导；,)(ln)()(nxnxaaa.!)1()1(1)(nnnxnx高阶导数,几个简单函数的n阶导数：4三、中值定理费马引理,罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理.四、导数的应用洛必达法则——求极限的重要方法.利用函数的一阶导数研究函数的单调性及其极值.利用函数的二阶导数研究函数的凹凸性及其拐点.最大值、最小值问题.5若cxfx)(lim,则cy为水平渐近线；若)(lim0xfxx,则0xx为铅直渐近线；若0)(limaxxfx,且baxxfx])([lim,则baxy为斜渐近线.渐近线问题：6典型例题解例1设1,1,)(2xbaxxxxf处处可导，求a,b的值.)(xf在1x处连续，而)(xf在1x处可导,于是1b.ab1,211lim)1(21xxfx,111lim)1(1axaaxfx,2aba1，题型1：导数的定义7(+09,4分)函数1,e1,)1ln()(xxbxaxfx在点1x处可导，则a，b.解例2解得e2a，)2ln21(eb.连续：;e2lnba可导：,e2a8设0,00,1sin)(2xxxxxf，求)0(f.解例30)0()(lim)0(0xfxffxxxxx01sinlim20xxx1sinlim0.09函数||)2()(32xxxxxf的不可导点的个数是（）.||x在0x处不可导，但||xx在0x处可导.例4(Ⅰ98二3)（A）3（B）2（C）1（D）0,||lim0不存在xxx.0||lim0xxxx分析故)(xf在1,0xx不可导.解,|1||1|||)2)(1()(xxxxxxf设||3)(23xxxxf，则)(xf在0x处可求导的最高阶数为（）.（A）0（B）1（C）2（D）3类题(Ⅰ92二3)10设0,)(0,cos1)(2xxgxxxxxf,其中)(xg是有界函数,则)(xf在0x处（）.例5解(Ⅰ99二3)（A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续但不可导（D）可导xxgxfx)(lim)0(20,0)(lim0xxgxxxxfxcos1lim)0(0,02lim20xxxx故0)0(f,可导.选(D).11(96,6分)设0,00,e)()(xxxxgxfx，其中)(xg有连续的二阶导数，且1)0(g，1)0(g.（1）求)(xf；（2）讨论)(xf的连续性.解例6（1）当0x时，2]e)([]e)([)(xxgxgxxfxx;e)1()()(2xxxgxgxx12,0,00,e)()(xxxxgxfx,1)0(g1)0(g，需用定义求)0(f20e)(limxxgxxxxgxx2e)(lim02e)(lim0xxxg,21)0(g0)0()(lim)0(0xfxffx13,0,00,e)()(xxxxgxfx,1)0(g1)0(g所以0,21)0(0,e)1()()()(2xgxxxxgxgxxfx140,21)0(0,e)1()()()(2xgxxxxgxgxxfx)(lim)2(0xfxxxxgxxx2e)(lim02e)(lim0xxxg21)0(g,)0(f所以)(xf在0x处连续，20e)1()()(limxxxgxgxxx而在0x处)(xf显然连续，故)(xf在),(上连续.15(+07,8分)已知0,10,arctan)(xxxxxf，解例7求:(1))(xf；(2))(xf在点0x处是否连续？为什么？;)1(arctan)1()(0222xxxxxxfx,0x(1)0)0()(lim)0(0xfxffx20arctanlimxxxx,0所以0,00,)1(arctan)1()(222xxxxxxxxf。160,00,)1(arctan)1()(222xxxxxxxxf(2))1(arctan)1(lim)(lim22200xxxxxxfxx220arctan)1(limxxxxxxxxx21arctan21lim00arctanlim0xx,)0(f所以)(xf在点0x处连续。及时分离非零因子17(04,4分)设)(xf在],[ba上连续，且0)(af，0)(bf，则下列结论中错误的是(A)至少存在一点),(0bax，使得)()(0afxf(B)至少存在一点),(0bax，使得)()(0bfxf(C)至少存在一点),(0bax，使得0)(0xf(D)至少存在一点),(0bax，使得0)(0xf例8解由已知)(xf在],[ba上连续，且0)(,0)(bfaf，则由介值定理，至少存在一点),(0bax，使得0)(0xf；另外，0)()(lim)(axafxfafax，18另外，0)()(lim)(axafxfafax，由极限的保号性，至少存在一点),(0bax，使得0)()(00axafxf，即)()(0afxf；同理，至少存在一点),(0bax，使得)()(0bfxf.所以，(A)(B)(C)都正确，故选(D).19(07,4分)设函数)(xf在0x处连续，下列命题错误的是例9解因此分子的极限也必须为0，均可推导出0)0(f.(A)若xxfx)(lim0存在，则0)0(f(B)若xxfxfx)()(lim0存在，则0)0(f(C)若xxfx)(lim0存在，则)0(f存在(D)若xxfxfx)()(lim0存在，则)0(f存在(A)，(B)两项中分母的极限为0，20若xxfx)(lim0存在，则0)0(f，0)0()(lim)0(0xfxffxxxfx)(lim0存在.【答案】应选(D)。反例：||)(xxf在0x处连续，xxfxfx)()(lim00||||lim0xxxx存在，但||)(xxf在0x处不可导。21题型2：利用导数求曲线的切线和法线方程解例1(89,3分)曲线xxy2sin在点)21,2(处的切线方程是。,2sin1xy,1)2(y所以所求切线方程为,2)21(xy.1xy即22(91,3分)设曲线axxxf3)(与cbxxg2)(都通过点)0,1(，且在点)0,1(处有公共切线，则a，b，c。解例2,)1()1(0)1()1(gfgf,23001bacba解得1a，1b，1c。23题型3：一般导函数的计算解例1(87,4分)设1111ln22xxy，求y.先化简，,||ln2)11ln(2)11(ln2222xxxxyxxxxy21111222xxxxx11112222.1122xx所以24设xxy)1(3，求y。例2解用对数求导法,,)1ln(ln3xxy,13)1ln(333xxxyy.131ln13333xxxxyx25设)(xyy是由方程yxxye所确定的隐函数,求:)0(),0(yy.解例3方程两边关于x求导,得(1)1e)(，yyxyxy,1)0(y而.0)0(y(1)式两边再关于x求导：，yyxyyxyxyxy)2(e)(e2代入，将0)0(,1)0(yy.1)0(y得26(95,3分)设xxxf11)(，则)()(xfn。解例4利用公式1)(!)1()1(nnnxnx，,112)(xxf.)1(!2)1()(1)(nnnxnxf得27设)1(12xxy,求)(ny.再利用1)(!)1(1nnnxnx,所以1112)1(1)1(12!)1(nnnnnxxxny.例5解先用待定系数法分解，,2111121xxxy1122xxy,11111xx.)1(1)1(1!)1(11nnnnxxny则另:28设)1ln()(2xxxf，求)0()(nf例6解法1由Leibniz公式：，及kkkxkx)1()!1()1()1ln(1)(，231212)()1()!3()1()1()1()!2()1(2)1()!1()1()(nnnnnnnxnnnxnnxxnxxf.2!)1()!3)(1()1()0(13)(nnnnnfnnn所以,)()()2(2)1(1)(0)(nnnnnnnnnnvuCvuCvuCvuCvu得.)3(n29比较nx的系数得2)1(!)0(1)(nnfnn，即得2!)1()0(1)(nnfnn.解法2由麦克劳林公式,得)(!)0(!2)0()0()0()()(2nnnxoxnfxfxffxf)(2)1(32)1ln(2233222nnnxonxxxxxxx,)(2)1(321543nnnxonxxxx例6设)1ln()(2xxxf，求)0()(nf.)3(n30(93,3分)设函数0,00,1sin||)(2xxxxxf，则)(xf在0x处（）.题型4：可导、连续与极限的关系解例1（A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续但不可导（D）可导01sin||lim)(lim200xxxfxx,)0(f所以)(xf在0x处连续；31(93,3分)设函数0,00,1sin||)(2xxxxxf，则)(xf在0x处（）.解例1（A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续但不可导（D）可导0)0()(lim0xfxfxxxxx01sinlim20,1sin1lim20xxx所以)(xf在0x处不可导。【答案】应选(C).题型4：可导、连续与极限的关系32类题(95,6分)设函数0,dcos10,10,)cos1(2)(022xttxxxxxxfx，试讨论)(xf在0x处的连续性和可导性.)(xf在0x处连续可导，且0)0(f.33(96,3分)设方程yyx确定y是x的函数，则dy。题型5：微分的概念与计算解例1,lnlny