切平面和法线

§5.曲面的切平面与法线设曲面方程为(,,)0Fxyz过曲面上点任作一条在曲面上的曲线，设其方程为0000(,,)Mxyzl()()()()()()0xyzFxtFytFzt(),(),()xxtyytzzt显然有((),(),())0Fxtytzt在上式两端对求导，得tnTM§5.曲面的切平面与法线nTM0000000000000',',',,,,,,,,,xyzMxtytztFxyzFxyzFxyz曲线在的切向量为法向量为§5.曲面的切平面与法线000000()()()()()()0xMyMzMFxtFytFzt000000((),(),())',','xMyMzMnFFFxtytzt上式说明法向量与切向量正交。从而曲面在点的切平面方程为0M由于的任意性，可见曲面上过的任一条曲线在该点的切线都与正交，因此这些切线应在同一平面上，这个平面称为曲面在点的切平面，而就是切平面的法向量。0M0Mnnl000000()()()()()()0xMyMzMFXxFYyFZz在点（设点对应于参数）有0tt0M0M§5.曲面的切平面与法线过点与切平面垂直的直线，称为曲面在点的法线，其方程为0M0M000000()()()xMyMzMXxYyZzFFF该法线的一组方向数为：000(),(),()xMyMzMFFF§5.曲面的切平面与法线综上所述若曲面方程为(,,)0Fxyz则该曲面在点的切平面方程为0M000000()()()()()()0xMyMzMFXxFYyFZz过点的法线方程为0M000000()()()xMyMzMXxYyZzFFF§5.曲面的切平面与法线设分别为曲面在点的法线与轴正向之间的夹角，那末在点的法线方向余弦为,,0M,,xyz0000(,,)Mxyz000000000000222222222()cos()()()()cos()()()()cos()()()xMxMyMzMyMxMyMzMzMxMyMzMFFFFFFFFFFFF§5.曲面的切平面与法线若曲面方程为(,)zfxy容易把它化成刚才讨论过的情形：(,,)(,)0Fxyzfxyz0000000(,)()(,)()()0xyfxyXxfxyYyZz0000000(,)(,)1xyXxYyZzfxyfxy于是曲面在（这里）点的切平面方程为000(,,)xyz000(,)zfxy法线方程为§5.曲面的切平面与法线若曲面方程为参数形式：(,),(,),(,)xxuvyyuvzzuv如果由方程组可以确定两个函数：(,),(,)xxuvyyuv(,),(,)uuxyvvxy于是可以将看成的函数，从而可以将问题化为刚才已经讨论过的情形。z,xy代入方程，得(,)zzuv((,),(,))zzuxyvxy因此需分别计算对的偏导数。z,xy§5.曲面的切平面与法线zzxzyuxuyuzzxzyvxvyv将分别对求导，注意到为的函数按隐函数求导法则有,uv,xy((,),(,))zzuxyvxy,uv解方程组，得(,)(,)(,)(,),(,)(,)(,)(,)zzDyzDxyDzxDxyDuvDuvDuvDuvxy§5.曲面的切平面与法线法线方程于是曲面在点的切平面方程为0M000000(,)(,)(,)(,)(,)(,)MMMXxYyZzDyzDzxDxyDuvDuvDuv000000(,)(,)(,)()()()0(,)(,)(,)MMMDyzDzxDxyXxYyZzDuvDuvDuv§5.曲面的切平面与法线例1求球面在点的切平面及法线方程.22214xyz(1,2,3)解222(,,)14Fxyzxyz设2,2,2xyzFxFyFz则(1,2,3)2,(1,2,3)4,(1,2,3)6xyzFFF所以在点处球面的切平面方程为(1,2,3)2(1)4(2)6(3)0xyz法线方程123246xyz§5.曲面的切平面与法线曲面的夹角两个曲面在交线上某点处的两个法线的夹角称为这两个曲面在该点的夹角。如果两个曲面在该点的夹角等于90度，则称这两个曲面在该点正交。若两曲面在交线的每一点都正交，则称这两曲面为正交曲面。例2证明对任意常数，球面与锥面是正交的。2222xyz,2222=tgxyz§5.曲面的切平面与法线即证明球面的法线方向数为2222(,,)0Fxyzxyz2,2,2xyz,,xyz锥面的法线方向数为2222(,,)tg0Gxyzxyz2,,tgxyz22222000000000(,,)(,,tg)tgxyzxyzxyz在两曲面交线上的任一点处，两法向量的内积000(,,)xyz因在曲面上，上式右端等于0，所以曲面与锥面正交。000(,,)xyz§5.曲面的切平面与法线解,632),,(222zyxzyxF)1,1,1()1,1,1(}6,4,2{zyxn},6,4,2{切平面方程为,0)1(6)1(4)1(2zyx,032zyx法线方程为.614121zyx.处的切平面及法线方程(1,1,1)在点632面3222zyx椭球求例§5.曲面的切平面与法线例4求曲面32xyezz在点)0,2,1(处的切平面及法线方程.解,32),,(xyezzyxFz,42)0,2,1()0,2,1(yFx,22)0,2,1()0,2,1(xFy,01)0,2,1()0,2,1(zzeF令切平面方程法线方程,0)0(0)2(2)1(4zyx,042yx.001221zyx§5.曲面的切平面与法线解设为曲面上的切点,),,(000zyx切平面方程为0)(2)(4)(2000000zzzyyyxxx依题意，切平面方程平行于已知平面，得,221412000zyx.42000zyx22252120.xyzxyz例求椭球面的切平面，使其与平面平行}2,4,2{000zyxn法向量§5.曲面的切平面与法线因为是曲面上的切点，),,(000zyx,1120x所求切点为满足方程218,,,1122112112zyx切平面方程§5.曲面的切平面与法线§5.曲面的切平面与法线§5.曲面的切平面与法线§5.曲面的切平面与法线§5.曲面的切平面与法线§5.曲面的切平面与法线