切应力公式推导

第六章弯曲应力§6－1梁的正应力一、纯弯曲与平面假设1、纯弯曲——梁或梁上的某段内各横截面上只有弯矩而无剪力(如图5－1中的CD段)。2、横力弯曲——梁或梁上的某段内各横截面上既有弯矩又有剪力(如图6－1中的AC、BD段)。alABaACD(a)FF图6－1FS图M图(b)(c)FFFa3、梁的纯弯曲实验横向线(mn、pq）变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为弧线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍保持垂直。由梁变形的连续性可知：在梁中一定有一层上的纤维既不伸长也不缩短，此层称为中性层。中性层与梁横截面的交线称为中性轴。图6－2(b)(a)mnpqmnpqFFCD4、根据表面变形情况，对纯弯曲变形下作出如下假设：（1）平面假设梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面，只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后的横截面与梁弯曲后的轴线保持垂直。（2）单向受力假设梁的纵向纤维处于单向受力状态，且纵向纤维之间的相互作用可忽略不计。二、正应力公式的推导1、几何方面相应的纵向线应变为：yxxyxdd（6－1）弧线O1O2的长度为：θρxdd(a)距中性层为y处的纵向纤维ab的伸长为：ρxyθyθρθyρddd)d((b)图6−3(b)中性层中性轴abO1O2mnpq(a)dxmnpqdθρy(c)dxabO2O12、物理方面将式代入，得ρyEσ（6－2）此式表明，梁横截面上的正应力与其作用点到中性轴的距离成正比，并且在y坐标相同的各点处正应力相等，如图5−4所示。图6－4梁的各纵向纤维均处于单向受力状态，因此，在弹性范围内正应力与线应变的关系为：εEσ(c)y3、静力学方面由图6−4可以看出，梁横截面上各微面积上的微内力dFN=σdA构成了空间平行力系，它们向截面形心简化的结果应为以下三个内力分量AAσFdNAyAσzMdAzAσyMd，，由截面法可知，上式中的FN，My均等于零，而MZ就是该截面上的弯矩M，所以有0dNAAσF0dAyAσzMMAσyMAzd(d)(e)(f)图6－4又0ddNzAAESAyEAFE因为不等于零，所以有0zS(g)即梁横截面对中性轴（z轴）的静矩等于零。由此可知，中性轴通过横截面的形心，于是就确定了中性轴的位置。0dNAAσF0dAyAσzMMAσyMAzd(d)(e)(f)由式（e）可得0ddyzAAyEIAyzEAzM因此0yzI(h)即梁横截面对y、z轴的惯性积等于零，说明y、z轴应为横截面的主轴，又y、z轴过横截面的形心，所以其应为横截面的形心主轴。0dNAAσF0dAyAσzMMAσyMAzd(d)(e)(f)MEIAyEAyMzAAzdd2最后由式（f）可得上式中的EIz称为梁的弯曲刚度。将式（6−3）代入式（6−2），可得梁在纯弯曲时横截面上任一点的正应力的计算公式为zIMyσ（6－4）zEIM1（6－3）即有yzOdAyzhb应用此式时，如果如图中那样取y轴向下为正的坐标系来定义式中y的正负，则在弯矩M按以前的规定确定其正负的情况下，所得正应力的正负自动表示拉应力或压应力。但实际应用中往往直接根据横截面上弯矩的转向及求正应力之点在中性轴的哪一侧来判别弯曲正应力为拉应力还是压应力；在此情况下可以把式中的y看作求应力的点离中性轴z的距离。三、梁在纯弯曲时横截面上任一点的正应力的计算公式为zIMyσ（6－4）四、横截面上的最大应力yc,maxyt,maxyzbd1hOd2中性轴z为横截面对称轴的梁其横截面上最大拉应力和最大压应力的值相等；中性轴z不是横截面对称轴的梁(如图)，其横截面上的最大拉应力和最大压应力的值不相等。中性轴z为横截面的对称轴时，横截面上最大拉、压应力的值为zzzWMyIMIMymaxmaxmax（6－5）式中，Wz为截面的几何性质，称为弯曲截面系数，其单位为m3。横截面上应力分布hbzyoyc,maxyt,maxyzbd1Od2maxt,maxc,中性轴z不是横截面的对称轴时，其横截面上最大拉应力值和最大压应力值为zIMymax,tmaxt,zIMymaxc,maxc,在竖向荷载作用下，通常梁横截面上不仅有弯矩而且有剪力，这种情况下我们称之为横力弯曲。而实际工程中的梁，大多发生的都是横力弯曲。对于工程实际中常用的梁，应用纯弯曲时的正应力计算公式来计算梁在横力弯曲时横截面上的正应力，所得的结果虽略偏低一些，但足以满足工程中的精度要求。五、横力弯曲zIMyσ解：先求出C截面上弯矩mN1032105.133FaMC例题6−1长为l的矩形截面梁，在自由端作用一集中力F，已知h=0.18m，b=0.12m，y=0.06m，a=2m，F=1.5kN，求C截面上K点的正应力。例题6－1图截面对中性轴的惯性矩4433m1058301218012012...bhIz将MC、Iz、y代入正应力计算公式，则有MPa09.3Pa1009.3)06.0(10583.0103σ643yIMzCKK点的正应力为正值，表明其应为拉应力。§6－2梁的正应力强度条件及其应用一、梁的正应力强度条件对梁的某一横截面来讲，最大正应力发生在距中性轴最远的位置，此时maxmaxyIMσz而对整个等截面梁来讲，最大正应力应发生在弯矩最大的横截面上，距中性轴最远的位置，即maxmaxmaxyIMσzzWMσmaxmax（6－5）式中的Wz称为弯曲截面系数，它与梁的截面形状和尺寸有关。zWMσmaxmax对矩形截面621223bhhbhWz对圆形截面3226434dddWz各种型钢的截面惯性矩Iz和弯曲截面系数Wz的数值，可以在型钢表中查得。为了保证梁能安全的工作，必须使梁横截面上的最大正应力不超过材料的许用应力，所以梁的正应力强度条件为σWMσzmaxmax（6－6）式中的Wz称为弯曲截面系数，它与梁的截面形状和尺寸有关。二、三种强度问题的计算根据式（6−6）可以求解与梁强度有关的三种问题。（2）选择截面σMWzmax（3）确定许用荷载σWMzmax（1）强度校核σWMσzmaxmax由梁的弯矩图可以看出，梁中最大弯矩应发生在跨中截面上，其值为N.m104410281813232maxqlM弯曲截面系数为3222m10103.021.014.0616bhWz由于最大正应力应发生在最大弯矩所在截面上，所以有][3.88MPaPa1088.310103.0104623maxmaxzWM所以满足正应力强度要求。例题6-2一矩形截面简支木梁如图所示，已知l=4m，b=140mm，h=210mm，q=2kN/m，弯曲时木材的许用正应力[σ]=10Mpa，校核该梁的强度。例题5－2图解：先画梁的弯矩图（图b）。例题6－2图例题5－3图例题6−3一⊥形截面的外伸梁如图所示。已知：l=600mm，a=110mm，b=30mm，c=80mm，F1=24kN，F2=9kN，材料的许用拉应力[σt]=30MPa，许用压应力[σc]=90Mpa,试校核梁的强度。（2）确定截面形心C的位置m072.0038.011.01ym038.00.080.030.030.1107.00.080.03015.00.030.112y（3）截面对中性轴的惯性矩452323m10573.0)032.008.003.01208.003.0()023.003.011.01203.011.0(zI解：（1）先画出弯矩图（图b）例题6－3图（4）强度校核因材料的抗拉与抗压强度不同，而且截面关于中性轴不对称，所以需对最大拉应力与最大压应力分别进行校核。①校核最大拉压力。由于截面对中性轴不对称，而正、负弯矩又都存在，因此，最大拉应力不一定发生在弯矩绝对值最大的截面上。应该对最大正弯矩和最大负弯矩两个截面上的拉应力进行分析比较。在最大正弯矩的C截面上，最大拉应力发生在截面的下边缘，其值为][MPa91.17Pa1091.1710573.0038.0107.2t6532maxt,σyIMσzC在最大负弯矩的B截面上，最大拉应力发生在截面的上边缘，其值为][MPa5.22Pa105.2210573.0072.0108.1t6531maxt,σyIMσzB②校核最大压应力。首先确定最大压应力发生在哪里。与分析最大拉应力一样，要比较C、B两个截面。C截面上最大压应力发生在上边缘，B截面上的最大压应力发生在下边缘。因MC和y1分别大于MB与y2，所以最大压应力应发生在C截面上，即][MPa9.33Pa109.3310573.0072.0107.2c6531max,cσyIMσzC由以上分析知该梁满足强度要求。例题6−4如图所示的简支梁由工字钢制成，钢的许用应力[σ]=152MPa，试选择工字钢的型号。例题6－4图解：先画出弯矩图如图b所示。例题6－4图梁的最大弯矩值为kN.m375maxM由梁的正应力强度条件可得梁所必需的弯曲截面系数3663maxm1024601015010375σMWz由型钢规格表查得56b号工字钢的Wz为36m102447zW此时最大正应力MPa153Pa1015310244710375663maxmaxzWMσ超过许用应力值152MPa不到1%，故可选用56b号工字钢。(b)M图375kN.m281kN.m281kN.m§6－3梁横截面上的切应力·梁的切应力强度条件1、两点假设（1）横截面上各点处的切应力均与侧边平行。（2）横截面上距中性轴等距离各点的切应力相等。2、切应力公式的推导一、矩形截面梁的切应力图6－5微段梁上的应力情况如图10−6b所示。从图5－5所示的梁中取出长为dx的微段，如图5-6a所示。图6－6FSMFSM+dMdx(a)现假设用一水平截面将微段梁截开，并保留下部脱离体，由于脱离体侧面上存在竖向切应力τ，根据切应力互等定理可知，在脱离体的顶面上一定存在切应力τ'，且τ'=τ,如图10−6c所示。微段梁上的应力情况如图6−6b所示。(b)dxdx(c)yττ′yz0dS1N2NFFF得（a）0xF由以FN1、FN2分别代表作用在脱离体左侧面、右侧面上法向内力的总和，dFS代表水平截面上切应力的总和，如图6−6d。dx(d)FN2FN1dFS其中z*zAzAzAIMSAyIMAIMyAσF111ddd111N（b）式中的A1是横截面上距中性轴为y的横线以外部分的面积（图6−6e），1d1A*zAyS是A1对中性轴的静矩。bhzyA1(e)y同样有z*zISMMF)d(2N（c）由于微段的长度很小，脱离体水平截面上的切应力可认为是均匀分布的，所以有xbFd'τdS（d）将FN1、FN2、dFS代入式（a），得0d)d(xb'τIMSISMMz*zz*z经整理得bISFτzz*S（6－8）式（6−8）即为矩形截面梁横截面任一点的切应力计算公式。式中：FS为横截面上的剪力；Sz*为面积A1对中性轴的静矩；Iz横截面对中性轴的惯性矩；b为截面的宽度。bISFτzz*S（6－8）对于矩形截面梁，由图6−7a可知)4(2)2(21)2(22yhbyhyyhbS*z图6−7τmax(b)bhzyA1(a)y将其代入式（6−8），可得)4(222yhIFτzS式中的A=bh是横截面的面积。由此可见，矩形截面梁横截面上的最大切应力是截面上平均切应力的1.5倍。此式表明矩形截面梁横截面上切应力沿梁高按二次抛物线形规律分布。在截面上、下边缘（）处，τ=0，而在中性轴上（y=0