比例线段

相似形请欣赏图片(一)全等形有何特征？形状相同、大小相同的两个图形叫做全等形.如图，用同一张底片洗出的不同尺寸的照片中，汽车的形状还相同吗？这两个图形称为相似形.两个大小不相等的相似图形中，我们可以认为大的图形是由小的图形放大而成的，全等的两个图形也是相似形全等形与相似形有何关系？（1）全等形是相似形的特殊情况;（2）相似形包括全等形.把形状相同的图形称为相似的图形，简称相似形.（1）相似形的形状必须同，大小不一定等;（2）当大小相等时，相似形变成全等形.PA′B′C′ABC∵△ABCS△A′B′C′如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例.'''''''''BACBACABCABCACBACB''''''ABBCCAABBCCA相似图形的性质：各对应角相等，各对应边成比例。这既是两个相似的图形的性质，又是判定的依据。正方形是相似的图形吗？等边三角形是相似的图形吗？矩形是相似的图形吗？等腰三角形是相似的图形吗？直角三角形是相似的图形吗？等腰直角三角形是相似的图形吗？两个正方形两个等腰直角三角形B'A'C'CDABFGHE两个图形的相似与对应的角度有关,也与对应边的比有关.大家说生活中存在大量的形状相同的图形，试举出几例.ABCA1B1C1例题1如图，四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是相似形，点A与点A1、点B与点B1、点C与点C1、点D与点D1分别是对应顶点，若BC=3，CD=2.4，A1B1=2.2，B1C1=2，∠B=70度，∠C=110度，∠D=90度，求边AB、C1D1的长和∠A1的度数.DABCD1A1B1C1塔原高146.59米，因顶端剥落，现高136.5米，相当于一座40层摩天大楼，塔底面呈正方形，占地5.29万平方米.EABCDabcx复习引入：相似形——形状相同，大小不一定相同的图形叫做相似形。图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么它们的对应角相等，对应边成比例。比例线段在同一单位下，两条线段的长度的比，叫做这两条线段的比，记作a:b或。baBACB1A1C1ba单位：同一顺序：一致结果：正数无单位分数要化成最简分数其中,线段a,b分别叫做这个线段比的前项和后项。①若a=148mm，b=220mm，求a∶b；②若a=148mm，b=22cm，求b∶a．•结论：•1.两条线段的比就是长度的比，它是一个正数,它没有单位.•2.两条线段的比是有顺序的;•3.两条线段比与所选的长度单位无关.•4.求两条线段比时.如果单位不同.那么必须先化成同一单位.再求它们的比.•5.比的性质同分数的性质.;5537220148.1:mmmmba解22220552..14814837bcmmmacmmm练习:2.如果两条线段的比与另两条线段的比相等叫做这四条线段，简称.成比例线段比例线段如果比例的两个内项（或者两个外项）相同，那么这个相同的项叫比例中项。对于四条线段a、b、c、d，如果那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段.那么a、b、c、d叫做组成比例的项，其中a,d叫做比的外项,b,c叫做比的内项,d叫做a、b、c的第四比例项.)::(dcbadcba或如果作为比例内项的是两条相同的线段，即abbc=或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a和c的比例中项.BCDA5025B`C`D`A`2010AB50BC25∵==2，A`B`20B`C`10==2，ABA`B`BCB`C`∴=.因此，AB、BC、A`B`、B`C`是成比例线段.1、已知点B在线段AC上，２BC=AB。求下列线段的比值：数学操：（1）AB：BC（2）AC：AB（3）BC：AC2、已知：的值求（)(:),2:5:yxyxyx3、线段a、c的积是625，则a、c的比例中项是。4、已知3x-5y=0，则x：y=.两条线段的比是它们的长度的比，也就是两个数的比.关于成比例的数具有下面的性质.比例式是等式，因而具有等式的各个性质，此外还有一些特殊性质：（1）比例的基本性质：比例的外项之积等于内项之积特殊地：a∶b=b∶cb=ac.2如果ad=bc.则可得到或dcbabdacdbcacdab,,如果a：b=c：d，那么ad=bc.acbd=即练习1—1：如果PAPCPBPD=，那么PA·PD=如果CDDFEBAD=，那么AD·CD=如果ACBDEFEA=，那么EF·BD=如果HEHFNFNK=，那么HF·NF=PB·PC；EB·DF；AC·EA；HE·NK；练习1—2：如果ADPBPBBC=，那么AD·BC=如果DEDFDFDC=，那么DE·DC=如果SBEFEFSC=，那么EF2=如果MANFNFMB=，那么NF2=PB2；DF2；SB·SC；MA·MB.练习2—1：如果AE·BF=AF·BE，AE=，那么BE=，BF=，AF=；BE=，BF=，AF=，AE=，AFBEBFBEAFBFAFAEBFAEBFAFAFBEAEAFBEAEAEBFBEBFAEBE对调内项，比例仍成立！练习2—1：如果AE·BF=AF·BE，AE=，那么BE=，BF=，AF=；BE=，BF=，AF=，AE=，AFBEBFBEAFBFAFAEBFAEBFAFAFBEAEAFBEAEAEBFBEBFAEBE对调外项，比例也成立！说明：(1)一个等积式可以改写成八个比例式(比值各不相同)；(2)对调比例式的内项或外项，比例式仍然成立(比值变了).acbd=abcd=dcba=.练习2—1：如果AE·BF=AF·BE，AE=，那么BE=，BF=，AF=；BE=，BF=，AF=，AE=，AFBEBFBEAFBFAFAEBFAEBFAFAFBEAEAFBEAEAEBFBEBFAEBE说明：同时对调比例式两边的比的前后项，比例式仍然成立(比值变了).acbd=bdac=.(2)合比性质如果那么ddcbbadcbaacbdabcdbdacbdacabcd（分母不为0）练习3—1：如图，已知ACBC=，那么ABDEBCEF=，DFEF理由：ABDEBCEF=ACDFBCEF=.AB+BCDE+EFBCEF=ABCDEF练习3—2：如图，已知ACAB=，那么ABDEBCEF=，DFDE理由：ABDEBCEF=AB+BCDE+EFABDE=BCEFABDE=ACDFABDE=.ABCDEF练习3—3：如图，已知BCAB=，那么ACDFBCEF=，ABCDEFEFDE理由：ACDFBCEF=AC–BCDF–EFBCEF=ABDEBCEF=BCEFABDE=.练习3—4：如图，已知AEAB=，那么BECFEAFA=，AFAC理由：BECFEAFA=AE+BEAF+CFAEAF=ABACAEAF=AEAFABAC=.ABCEF练习3—5：如图，已知AEAB=，那么BECFABAC=，AFAC理由：BECFABAC=ABACBECF=AE+BEAF+CFAEAF=AEAFBECF=AB–BEAC–CFBECF=BECFAEAF=AEAFABAC=.ABACAEAF=有没有简单方法？有！ABCEF(3)等比性质如果那么kdcbadbcakdcba等比性质可以推广到任意有限多个相等比.等比性质：如果,那么....(...0)acmkbdnbdn......acmkbdn（不可逆）CDABkCDAB（2）引入比值k的表示方法：如果把表示成比值k,即,则AB=k·CD。或注意：引入比值k的方法是解决比例问题的一种重要方法,以后经常会用到。1CDABk比有前后顺序,相当于分子与分母acbd=mn=…==…=证明：设=k,则a=bk,c=dk,…m=nk,∴=a+c+…+mb+d+…+nbk+dk+…nkb+d+…n=(b+d+…n)kb+d+…n=k=.abacbd=mna+c+…+mb+d+…+n=.ab？练习3—5：如图，已知AEAB=，那么BECFABAC=，ABCEFAFAC理由：BECFABAC=ACCFABBE=AC–CFAB–BE=AFACAEAB=AEAFABAC=.AFAEACAB=AC–CFACAB–BEAB=AB–BE≠0x+y5x3y4y例1、已知=，求.解：∵=，x+y53y4x+y15y4∴=，x+y–y15–4y4∴=，x11y4∴=.例2、已知a：b：c=2：5：6，求的值.2a+5b–c3a–2b+c解：设===k,abc256则a=2k,b=5k,c=6k,2a+5b–c3a–2b+c∴=4k+25k–6k6k–10k+6k=232.例3、已知：如图，==，OAOB3OCOD2求：(1);(2).OAACOA+OBOC+ODOABCD分析：(1)OAACOAOA+OCOA+OCOAOCOA=23.例3、已知：如图，==，OAOB3OCOD2求：(1);(2).OAACOA+OBOC+OD解：(1)OCOA∴=，23OA3OC2∵=，OA+OCOA∴=，53AC5OA3即=，OA3AC5∴=；OABCD例3、已知：如图，==，OAOB3OCOD2求：(1);(2).OAACOA+OBOC+OD解：(2)OA+OBOC+OD∴=.32OAOB3OCOD2∵==，OABCDCABDE课本例1.已知：如图，ECAEDBAD求证：AEACADABECACDBAB)2()1(1.若则，，.23xy，yyxyxyxyxyx2552.4和9两数的比例中项是.3.线段a和c的积是625，则a和c的比例中项是.xyzxyzxyz４.若，且38，379则，　，　　　.5.32531.abcabcabc若，，则，，7.下列各组线段的长度成比例的是（）（A）2，3，4，1（B）1.5，2.5，6.5，4.5（C）1.1，2.2，3.3，4.4（D）1，2，2，4D6.若a、b、c、d成比例，且a=2，b=3，c=4，那么d=___.6()::_______.xyyxxyyxy22228.已知，43，23则+=-+=+11529(0)324.55524bdfaceacebdfbdfaceace.，，则　　　,　　　10..acabbckkbca若，求的值补充练习：如图所示：皇帝决定把一个正方形的土地分给4个儿子，在正方形的土地中间有一片森林，有4处产金的地方，皇帝决定这样划分：每人一块产金之地，森林4人公共领地面积和形状完全相同，你想一想皇帝是怎样分的？森林ABP如图:如果点P把线段AB分割成AP和PB（APPB)两段,其中AP是AB和PB的比例中项,那么称这种分割为黄金分割,点P称为线段AB的黄金分割点.AP与AB的比值称为黄金分割数(简称黄金数).黄金分割数是一个无理数,在应用时常取它的近似值0.618215BPAB35251()2APBPABAP即长短全长〓〓51()2APBPABAP215〓0.618长=全×0.618短=长×0.6183.已知线段MN的长为8厘米，点P是线段MN的黄金分割点，则较长线段MP的长是厘米，较短线段PN的长是厘米.4.已知线段AB的长为4厘米，点P是线段AB的黄金分割点，则线段AP的长是厘米.三角形一边的平行线CABDE课本例1.已知：如图，ECAEDBAD求证：AEACADABECACDBAB)2()1(例：如图DE∥BC，求证：ECAEDBAD三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线（或两边延长线），截得的对应线段成比例．ACDEBABCDEABCDE已知ＤＥ∥ＢＣ，ＡＢ＝１５，ＡＣ＝１０，ＢＤ＝６．求AＥ．1、如图，已知，AB∥CD∥EF，OA=14，AC=16，CE=8，BD=12，求OB、DF的长.BOEFACD2、如图，在⊿A