第8章 应力状态和强度理论1

第8章应力应变状态分析1问题的提出低碳钢和铸铁的拉伸实验低碳钢的拉伸实验铸铁的拉伸实验问题：为什么低碳钢拉伸时会出现45º滑移线？§8-1概述低碳钢和铸铁的扭转实验低碳钢的扭转实验铸铁的扭转实验问题：为什么铸铁扭转时会沿45º螺旋面断开？所以，不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜截面上的应力。2应力的三个重要概念应力的点的概念应力的面的概念同一物体内不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。MzNQ应力的面的概念过同一点的不同方向的截面上的应力各不相同，此即应力的面的概念。所以，讲到应力，应指明是哪一点在哪一方向面上的应力。应力状态的概念过一点的不同方向面上的应力的集合，称为这一点的应力状态。3一点应力状态的描述单元体单元体的边长dx,dy,dz均为无穷小量；单元体的特点单元体的边长dx,dy,dz均为无穷小量；单元体的特点单元体的每一个面上，应力均匀分布；单元体中相互平行的两个面上，应力相同。目的：通过应力状态分析求出该点处的max、max及其作用面，从而更好地进行强度分析。单元体每个面上应力均布；每对相互平行面上的性质相同的应力大小相等；可用截面法求任一截面上的应力。单元体如何取？在研究点的周围，取一个由三对互相垂直的平面构成的六面体，该六面体的边长分别为无穷小量dx、dy和dz，如下图所示。dydzdxzxy§8-2平面应力状态分析对图a所示悬臂梁上A点处单元体上的应力分布（图b）可见：有一对平面上的应力等于零，而不等于零的应力分量都处于同一坐标平面内。AF(a)adcbAa'b'd'c'(b)adcbA该应力状态则称为平面应力状态，其单元体可简化为左图所示情形。1、斜截面上的应力分析已知如下图a（或图b）所示的一平面应力状态：efanxyzabcdxy(a)xyyyxxdabcxyxx(b)xxyyyy可由截面法求与前、后两平面垂直的斜截面上应力。如图b所示，斜截面ef的外法线与x轴间的夹角为a，称为a截面。应力的正负和斜截面夹角的正负规定：1）正应力拉为正，压为负；2）切应力使单元体产生顺时针旋转趋势为正；反之为负；3）对a角，x轴逆时针旋转这一角度而与斜截面外法线重合时，其值为正；反之为负。取图c所示分离体进行分析。图c中所示斜截面上应力和斜截面夹角均为正。efbyxaa(c)xy0n0cossindsinsindsincosdcoscosddaaaaaaaaaAAAAAyyxx由图d所示体元上各面上的力的平衡，参考法线n和切线t方向可得：ntydAsinabfydAsinaadAxdAcosaeadAxdAcosa0t0sinsindcossindcoscosdsincosddaaaaaaaaaAAAAAyyxx其中dA为斜截面ef的面积。ntydAsinabfydAsinaadAxdAcosaeadAxdAcosaaaa2sin2cos22xyxyxaaa2cos2sin2xyx由此可得，任一斜截面上的应力分量为：ntydAsinabfydAsinaadAxdAcosaeadAxdAcosa解：C点应力状态如图b所示，其拉应力和切应力为：MPa7.631004π1050023AFx例：图示圆轴中，已知：圆轴直径d=100mm，轴向拉力F=500kN，外力矩Me=7kN·m。求C点a=30°截面上的应力。(b)Cxxxxxyyy(a)xTFTCFMPa9.1660sin60cos202030xxxMPa4.452cos2sin2030aaxx图示斜截面上应力分量为：MPa7.3510016π10736PeWMxCxxxxxyyy30°n-30-30°°§8-3应力圆由任一斜截面上应力分量的计算公式可得：aaa2sin2cos22xyxyxaaa2cos2sin2xyx两式两边平方后求和可得：222222xyxyxaa而圆方程为：222Rbyax可见前式实际上表示了在为横轴、为纵轴的坐标系下的一个圆，其圆心坐标为：0,2yx半径为：222xyxR222222xyxyxaa单元体斜截面上应力（a，a）和应力圆上点的坐标（a，a）一一对应，因此可通过确定应力圆上相应点的坐标来求斜截面上应力（a，a）。因为圆心一定在轴上，只要知道应力圆上的两点（即单元体两个面上的应力），即可确定应力圆。OC222xyx2yx),(aa2）应力园的画法xxD,1yyD,2已知x、y、x、y，如右图，假定xy。•在、坐标系内按比例尺确定两点：xxD,1yyD,2dabcefaxyxxnxxyyyy•以C为圆心，线段CD1或CD2为半径作圆，即为应力圆。•连接D1、D2两点，线段D1D2与轴交于C点。xxD,1yyD,2CxxD,1yyD,2CdabcefaxyxxnxxyyyyxxD,1yyD,2C2aE•从D1点按斜截面角a的转向转动2a得到E点，该点的坐标值即为斜截面上的应力分量值。2）证明对下图所示应力圆可见C点的横坐标为：OC2FA1B1B2A2D1D2Exyyx12a0CBOBOC22由于CBDCBD1122可得：CBCB12222/212yxyxyBBOBOC因此，C点坐标为应力圆圆心坐标，并且22211221122xyxDBBBCD该线段长度等于应力圆半径。从而证明上述圆确为应力圆。则：另外，E点横坐标为：aaa2cos2sin2xyxEEFaaaaaa2sin2sin2cos2cos22cos000CECEOCCEOCCFOCOFE可见，E点坐标值即为a斜截面上的应力分量值。aaa2sin2cos22xyxyxE即：同理可得E点的纵坐标为：应力圆与它的单元体之间的对应关系:1）点面对应关系：圆上任一点的纵、横坐标值对应着单元体上某截面上切、正应力值；2）夹角对应关系：圆上某两条半径夹角等于单元体上对应截面外法线夹角的两倍，且转向相同。OC222xyx2yx),(aa应力圆的应用:1）确定单元体上任一斜截面上的正应力σα、剪应力τα；2）确定两个主应力的大小和方位；3）确定两个最大最小剪应力的大小和方位；由于应力圆上点的坐标与单元体面上的应力分量值一一对应，因此，按比例作图，可通过直接用尺子量出坐标值来求任意斜截面上的应力分量，此即称为图解法。解：按一定比例画出应力圆。0MPa7.63x0yMPa7.35yx例：用图解法求图示a=30°斜截面上的应力值。因为图示应力状态有：x30°x=35.7MPax=63.7MPayn按一定比例，作出应力圆，并找到斜截面对应的点，量取其坐标可得：MPa1730MPa46307.357.63，xD7.350，yD则x、y截面在应力圆上两点为：EDy(0,35.7)Dx(63.7,-35.7)60°-30°-30°，)20MPaxxADodacx'yy'45ºxbeBE单向应力状态的应力圆2×45º2×45ºBEa’a’aax'y'odacbe2×45º2×45ºxxBEoa(0,)d(0,-)ADbec2×45º2×45ºa'＝a＝BE纯切应力状态的应力圆§8-4平面应力状态的极值应力和主应力对图a所示应力状态，作出应力圆（图b）。1a01220,max1A0,min2A主平面：剪应力=0的平面；主应力：主平面上的正应力。21321可证明：并规定：可见：xy(a)ODyDxCA2A12a0(b)思考:平面应力状态有几个主应力？；；2211OAOA03具体值可在应力圆上量取，即：主平面位置：图a中1主平面的方位角a0对应于应力圆（图b）上的圆心角2a0。主应力值和主应力平面的计算：由图b可见，A1、A2两点的横坐标为：11CAOCOA22CAOCOAODyDxCA2A12a0yxxCBBDa22tan111022122xyxyx22222xyxyx由此可得两个主应力值为：因为1主平面方位角的两倍对应于应力圆上2a0，而ODyDxCA2A12a0(b)B1所以，1主平面方位角a0为：yxxa2arctan210二、最大切应力ODyDxCA2A12a0τmaxτmin222maxminxyyx例1.已知如下单元体的应力状态，求图示斜截面上的应力和σmax、σmin、τmax、τmin及主平面和最大切应力所在平面的方位。解：1）取坐标轴2）已知条件命名3）计算30°，30°)MPa(36.20,80,100yx30,40axyaa2sin2cos22030xyyxyx0060sin4060cos2)80(1002)80(1004）计算σmax、σmin及主平面方位角aa2cos2sin2030xyyx0060cos4060sin2)80(100)MPa(64.972222maxminxyyxyx5.88,0,5.108321）（MPa5.885.108yxxy022tga0'120a000''7890120a)80(1004024444.05）计算τmax、τmin及其所在平面的方位角。222maxminxyyx22402)80(100)MPa(5.9800133450aa00021239033a例2.解：1）求主应力、主平面并画出主应力单元体；2）求最大剪应力及其作用面；1）取坐标轴2）已知条件,20,30yx20xy3）主平面方位角8.0)20(302022tg0a''40700a'''20190a203020yx4）主应力MPa2737minmax5）最大剪应力)MPa(322minmaxminmax，'014025a'022064aMPaMPa27037321例求图a所示应力状态的主应力及方向。MPa100xMPa40xMPa30yMPa40y40,100xD40,30yD解：1、应力圆图解法：因为：所以：按一定比例作出应力圆（图b）。yx30MPa100MPa=40MPax(a)DxDyA3A12a0(b)MPa403MPa110102'163020a'8150a由应力圆通过直接量取，并考虑主应力的大小关系可得：由此可得：主应