第四章 态和力学量的表象1.2

§1态的表象到目前为止，体系的状态基本上都用坐标(x,y,z)的函数表示，也就是说描写状态的波函数是坐标的函数。力学量则用作用于坐标函数的算符表示。但是这种描述方式在量子力学中并不是唯一的，这正如几何学中选用坐标系不是唯一的一样。坐标系有直角坐标系、球坐标系、柱坐标系等，但它们对空间的描写是完全是等价的。波函数也可以选用其它变量的函数，力学量则相应的表示为作用于这种函数上的算符。表象：量子力学中态函数（波函数）和力学量算符的具体表示方式称为表象。以前采用的是坐标表象，下面我们要介绍其他表象。在坐标表象中，体系的状态用波函数Ψ(x,t)描写，这样一个态如何用动量为变量的波函数描写在前面几章中已经有所介绍。动量本征函数：/21)(ipxpex组成完备系，任一状态Ψ可按其展开(,)(,)()pxtCptxdp展开系数*(,)()(,)pCptxxtdx（一）动量表象假设Ψ(x,t)是归一化波函数，则C(p,t)也是归一化。*1(,)(,)xtxtdx*(,)()(,)()ppCptxdpCptxdpdx*'(,)*(,)()()ppCptCptdpdpxxdx*(,)(,)()CptCptppdpdp*(,)(,)CptCptdpC(p,t)物理意义Ψ(x,t)与C(p,t)一一对应，描述同一状态。Ψ(x,t)是该状态在坐标表象中的波函数；而C(p,t)就是该状态在动量表象中的波函数。|Ψ(x,t)|2dx是在Ψ(x,t)所描写的状态中，测量粒子的位置所得结果在x→x+dx范围内的几率。|C(p,t)|2dp是在Ψ(x,t)所描写的状态中，测量粒子的动量所得结果在p→p+dp范围内的几率。若Ψ(x,t)描写的态是具有确定动量的自由粒子状态，即平面波：'p'2'/(,)()2ppipxEtiEtpppxtexeE则相应动量表象中的波函数：*(,)()(,)pCptxxtdx/*()()piEtppxxedx/*()()piEtppexxdx/piEtepp所以，在动量表象中，具有确定动量的粒子的波函数是以动量p为变量的δ函数。换言之，动量本征函数在自身表象中是一个δ函数。'p(,)(,)()pxtCptxdp展开式同理，坐标本征函数在自身表象下其实就是δ函数这可以有如下的本征值方程来证明：'xx()()()()xxxxxxxxxx（二）力学量表象推广上述讨论：x,p都是力学量，分别对应有坐标表象和动量表象，因此可以对任何力学量Q都建立一种表象，称为力学量Q表象。那末，在任一力学量Q表象中，Ψ(x,t)所描写的态又如何表示呢？我们将提出问题根据量子力学基本假定，当粒子处于状态时，坐标位置确定，为()xxx其实这个问题，自上一章讨论波函数展开系数的物理意义时已经有所提及。我们将分两种情况回答这个问题（1）具有分立本征值的情况（2）含有连续本征值情况设算符Q的本征值为：Q1，Q2,...,Q，...，相应本征函数为：u1(x),u2(x),...,un(x),...。将Ψ(x,t)按Q的本征函数展开：(,)()()nnnxtatux若Ψ,un都是归一化的，则an(t)也是归一化的。（1）分立谱情况*()()(.)nnatuxxtdx*1(,)(.)xtxtdx证：*()()()()mmnnmnatuxatuxdx**()()()()mnmnmnatatuxuxdx*()()mnmnmnatat*()()nnnatata1(t),a2(t),...,an(t),...就是Ψ(x,t)所描写状态在Q表象中的表示。由此可知，|an|2表示在Ψ(x,t)所描述的状态中测量Q得到本征值Qn的几率。)()()(21tatatan转置共轭矩阵†***12()()()natatat，，，归一化可写为12†***12*()()()()()()()()1nnnnnatatatatatatatat，，，写成矩阵形式注意：这里的是列矩阵，不是函数同样若,都是归一化的，则也是归一化的。关于这个结论的证明见上一章的讲义。(,)xt()quxqat（2）只含有连续本征值情况假如力学量Q的本征值谱只包含连续谱，本征值为q，对应本征函数为()qux则任意波函数按Q的本征函数展开为根据上一章量子力学基本假定，|aq(t)|2dq是在Ψ(x,t)描述的态中测量力学量Q所得结果在q→q+dq之间的概率。*1(,)(.)()()qqxtxtdxatatdx即(,)()(),()()(,)qqqqxtatuxdqatuxxtdx展开系数我们也可以同刚才一样把状态写成是列矩阵的形式，即qat†qat此时转置共轭矩阵为此时归一化式也可以写成为矩阵相乘的形式†()()1qqqqatatatatdq注意：这里被视为列矩阵中的一个元素。只不过因为q是连续的，因此我们不能把每一项元素分开写成一个明显的列矩阵形式qat这是个元素不能分开的行矩阵在Q表象中，由描述的状态被表示为qat(,)xt例如动量表象下的波函数c(p,t)就是这类表示，其实我们最常使用的坐标表象下的波函数也属于这类表示(,)xt设力学量Q的本征值和本征函数分别为：Q1,Q2,...,Qn,...,qu1(x),u2(x),...,un(x),...,uq(x)**()()(,)()()(,)nnqqatuxxtdxatuxxtdx即本征值谱中既包含了分立部分，又包含有连续部分对应本征函数可记为这时展开系数为：例如氢原子能量就是这样一种力学量，既有分立也有连续本征值。(,)()()()()nnqqnxtatuxatuxdq（3）既包含连续谱，又包含分立谱情况同样若,都是归一化的，则展开系数也是归一化的。(,)xt(),()nquxux,nqatat***1(,)(.)()()()()nnqqnxtxtdxatatatatdq|an(t)|2是在Ψ(x,t)态中测量力学量Q所得结果为Qn的几率；|aq(t)|2dq是在Ψ(x,t)态中测量力学量Q所得结果在q→q+dq之间的几率。我们仍可以用一个列矩阵表示：12nqatatatat†****12,,,,nqatatatat归一化仍可表为：12†****12,,,,nqnqatatatatatatatat**()()()()1nnqqnatatatatdq注意在连续谱部分使用了积分在Q表象下，由描述的状态被表示为(.)xt12,,,nqatatatat状态归一化坐标表象函数形式矩阵形式连续元列矩阵动量表象函数形式矩阵形式连续元列矩阵Q表象连续谱函数形式矩阵形式连续元列矩阵分立谱数列形式a1(t),a2(t),...,an(t),...矩阵形式)()()(21tatatan(,)xt(,)xt(,)Cpt(,)cpt()qat()qat†()()1nnnatat†()()1qqatatdq†*(,)(,)1CptCptdq†(,)(,)1xtxtdx状态归一化Q表象分立谱和连续谱函数（数列形式）a1(t),a2(t),...,an(t),...aq(t)矩阵形式12nqatatatat†**()()()()1nnnqqatatatatdq这些列矩阵一般来说都是无限行的。本章我们统一使用列矩阵形式的波函数。（三）讨论同一状态可以在不同表象用波函数描写，表象不同，波函数的形式也不同，但是它们描写同一状态。动量本征方程动量本征函数动量本征函数动量表象坐标表象''/'121()2ipxEtpxe'/,'iEtcptppe'/'121()2ipxpxe,'cptpp''ˆ()'()pppxpxˆ,',pcptpcpt由该表还可以看到在两种表象中动量本征方程的形式完全类似，在本章第二三节我们将看到前面章节中所提及的所有方程公式（包括薛定谔方程和各种力学量算符的本征方程）的形式在不同表象中都是类似的。区别在于方程里面的波函数要写成各自表象下的波函数，算符要写成各自表象下的算符。关于这一点将在下面两节阐明。这类似于一个矢量可以在不同坐标系描写一样。矢量A在直角坐标系由三分量描述；在球坐标系用三个分量描述。和形式不同，但描写同一矢量A。,,xyzAAA,,rAAA,,xyzAAA,,rAAAxyzAAiAjAk100010001xxxyzxAAAAAAA列矩阵记法,,ijk是三个方向的单位矢量，被称为基本矢量，简称基矢,,xyzAAA是矢量A在三个方向上的分量类比(,)()()()()nnqqnxtatuxatuxdq状态被算符Q正交归一函数系展开(),()nquxux12nqatatatatQ表象下的列矩阵表示形式所以我们可以把状态Ψ类比成一个矢量——态矢量。选取一个特定力学量Q表象，相当于选取特定的坐标系。算符Q的正交归一本征函数系u1(x),u2(x),...,un(x),...uq(x)是Q表象下的基本矢量简称基矢。a1(t),a2(t),...,an(t),...aq(t)是Q表象的态矢量沿各基矢方向的分量。12nqatatatatQ表象的基矢有无限多个，所以态矢量所在的空间是一个无限维的抽象的函数空间，称为Hilbert空间。状态Ψ在Q表象下的形式叫做Q表象下的波函数前面所提的Q只是指一个力学量，事实上它也可以是一组力学量。如果力学量F，G拥有共同的完备的本征函数{un(x),n=1,2,3…}，则任意波函数可以被其展开为(,)xt(,)()()nnnxtatux我们同样可以把系数写为列矩阵形式12natatat被称为状态在F，G的共同表象下的表示例：Â本征函数um(x)在A表象中的矩阵表示。同样将um(x)按Â的本征函数展开：()()mnnnuxaux10nnmanm显然：所以um(x)在A表象中的矩阵表示如下：12010001001000mmuuua•证明:假设Ψ(x,t)是归一化波函数，则C(p,t)也是归一。作业§２算符的矩阵表示在上一节，我们统一使用列矩阵来表示同一个状态在不同表象下的形式。归一化公式被统一的写成矩阵相乘的形式。下面我们将使用矩阵表示同一个算符在不同表象下的形式。以下是一个坐标表象形式下的方程：ˆˆˆ,,,,,xtFxpxtFxixtx假设Q只有分立本征值，将Φ,Ψ按Q的正交归一本征函数系{un(x)}展开：（一）力学量算符的矩阵表示ˆ()(),()()mmmmmmbtu