4-7第7课时 正弦定理和余弦定理

第四章·第7课时高三数学（人教版）课时作业课前自助餐授人以渔高考调研·新课标高考总复习第7课时正弦定理和余弦定理第四章·第7课时高三数学（人教版）课时作业课前自助餐授人以渔高考调研·新课标高考总复习掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2011·考纲下载第四章·第7课时高三数学（人教版）课时作业课前自助餐授人以渔高考调研·新课标高考总复习综合近两年的新高考试卷可以看出：三角形中的三角函数问题已成为近几年的高考热点．不仅选择题中时有出现，而且解答题也经常出现，故这部分知识应引起充分的重视.请注意!第四章·第7课时高三数学（人教版）课时作业课前自助餐授人以渔高考调研·新课标高考总复习一、正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R其中2R为△ABC外接圆直径变式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC二、余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosAb2＝a2＋c2－2accosBc2＝a2＋b2－2abcosC课前自助餐课本导读第四章·第7课时高三数学（人教版）课时作业课前自助餐授人以渔高考调研·新课标高考总复习变式：cosA＝b2＋c2－a22bc；cosB＝a2＋c2－b22ac；cosC＝a2＋b2－c22ab.sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA三、解三角形1．已知三边a、b、c运用余弦定理可求三角A、B、C.2．已知两边a、b及夹角C第四章·第7课时高三数学（人教版）课时作业课前自助餐授人以渔高考调研·新课标高考总复习sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA三、解三角形1．已知三边a、b、c运用余弦定理可求三角A、B、C.2．已知两边a、b及夹角C运用余弦定理可求第三边c.3．已知两边a、b及一边对角A.先用正弦定理，求sinB：sinB＝bsinAa第四章·第7课时高三数学（人教版）课时作业课前自助餐授人以渔高考调研·新课标高考总复习①A为锐角时，若absinA，无解；若a＝bsinA，一解；若bsinAab，两解；若a≥b，一解．②A为直角或钝角时，若a≤b，无解；若ab，一解．4．已知一边a及两角A，B(或B，C)用正弦定理，先求出一边，后求另一边．四、三角形常用面积公式(1)S＝12a·ha(ha表示a边上的高)．(2)S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA＝abc4R.第四章·第7课时高三数学（人教版）课时作业课前自助餐授人以渔高考调研·新课标高考总复习(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．1．(教材P10B组T2改编)在△ABC中，若a＝2b·sinA，则B等于()A．30°或60°B．45°或60°C．60°或120°D．30°或150°答案D教材回归第四章·第7课时高三数学（人教版）课时作业课前自助餐授人以渔高考调研·新课标高考总复习2．(2010·湖北卷)在ΔABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝()A．－223B.223C．－63D.63解析依题意得0°B60°，asinA＝bsinB，sinB＝bsinAa＝33，cosB＝1－sin2B＝63，选D.答案D第四章·第7课时高三数学（人教版）课时作业课前自助餐授人以渔高考调研·新课标高考总复习3．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列，且c＝2a，则cosB等于()A.14B.34C.24D.23解析∵a、b、c成等比数列∴b2＝ac∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋4a2－2a24a2＝34.答案B第四章·第7课时高三数学（人教版）课时作业课前自助餐授人以渔高考调研·新课标高考总复习4．已知△ABC，a＝5，b＝15，∠A＝30°，则c＝()A．25B.5C．25或5D．均不正确解析asinA＝bsinB答案C第四章·第7课时高三数学（人教版）课时作业课前自助餐授人以渔高考调研·新课标高考总复习∴∴sinB＝bsinAa＝155·sin30°＝32∵ba，∴B＝60°或120°若B＝60°，C＝90°∴c＝a2＋b2＝25若B＝120°，C＝30°∴a＝c＝5.第四章·第7课时高三数学（人教版）课时作业课前自助餐授人以渔高考调研·新课标高考总复习5．(09·福建)已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为()A．75°B．60°C．45°D．30°解析由S△ABC＝33＝12×3×4sinC得sinC＝32，又角C为锐角，故C＝60答案B第四章·第7课时高三数学（人教版）课时作业课前自助餐授人以渔高考调研·新课标高考总复习例1(1)在△ABC中，已知a＝2，b＝3，A＝45°，求B，C及边c.(2)已知sinA∶sinB∶sinC＝(3＋1)∶(3－1)∶10，求最大角．题型一利用正、余弦定理解斜三角形授人以渔第四章·第7课时高三数学（人教版）课时作业课前自助餐授人以渔高考调研·新课标高考总复习【分析】(1)已知a，b，A，由正弦定理可求B，从而可求C、c；(2)sinA∶sinB∶sinC由正弦定理可转化为a∶b∶c，从而可知最大边c，所以最大角为C，用余弦定理可求．【解析】(1)解法一由正弦定理得∶asinA＝bsinB，∴sinB＝basinA＝32·sin45°＝32·22＝32，∵ba，BA＝45°∴有两解B＝60°或120°.第四章·第7课时高三数学（人教版）课时作业课前自助餐授人以渔高考调研·新课标高考总复习①当B＝60°时，C＝180°－(45°＋60°)＝75°，c＝asinA·sinC＝2sin45°sin75°＝6＋22，②当B＝120°时，C＝180°－(45°＋120°)＝15°，c＝asinA·sinC＝2sin45°·sin15°＝6－22.解法二由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccosA第四章·第7课时高三数学（人教版）课时作业课前自助餐授人以渔高考调研·新课标高考总复习∴∴c2－6c＋1＝0∴c＝6±22.当c＝6＋22时cosB＝a2＋c2－b22ac＝－12∴B＝120°°当c＝6－22时cosB＝a2＋c2－b22ac＝12，∴B＝60°°.第四章·第7课时高三数学（人教版）课时作业课前自助餐授人以渔高考调研·新课标高考总复习(2)由正弦定理可得a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC，∴a∶b∶c＝(3＋1)∶(3－1)∶10.由此可知c最大，∴角C最大．设a＝(3＋1)k，b＝(3－1)k，c＝10k，(k0)，∵cosC＝a2＋b2－c22ab＝〔(3＋1)k〕2＋〔(3－1)k〕2－(10k)22(3＋1)(3－1)k2＝－12，∴C∈(0，π)，∴C＝2π3.第四章·第7课时高三数学（人教版）课时作业课前自助餐授人以渔高考调研·新课标高考总复习探究1(1)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判明是否有解，(例如在△ABC中，已知a＝1，b＝2，A＝60°，则sinB＝basinA＝31，问题就无解)，如果有解，是一解，还是二解．(2)正、余弦定理可将三角形边的关系转化为角的关系，也可将角(三角函数)的关系转化为边的关系．(3)在三角形的判断中注意应用“大边对大角”来确定．第四章·第7课时高三数学（人教版）课时作业课前自助餐授人以渔高考调研·新课标高考总复习思考题1(2011·山东师大附中)在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C对边的长，且满足cosBcosC＝－b2a＋c.(1)求角B的值；(2)若b＝19，a＋c＝5，求a，c的值．第四章·第7课时高三数学（人教版）课时作业课前自助餐授人以渔高考调研·新课标高考总复习【解析】(1)由正弦定理得asinA＝bsinB＝csinC＝2R∴a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.代入cosBcosC＝－b2a＋c得cosBcosC＝－sinB2sinA＋sinC.即2sinAcosB＋sinCcosB＋sinBcosC＝0.2sinAcosB＋sin(B＋C)＝0.在△ABC中，有A＋B＋C＝π，即sinA＝sin(B＋C)．第四章·第7课时高三数学（人教版）课时作业课前自助餐授人以渔高考调研·新课标高考总复习2sinAcosB＋sinA＝0.∵sinA≠0，∴cosB＝－12，从而B＝2π3.(2)由余弦定理有b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)．即19＝52－2ac(1－12)．∴ac＝6.由ac＝6a＋c＝5，得a＝2c＝3或a＝3c＝2.第四章·第7课时高三数学（人教版）课时作业课前自助餐授人以渔高考调研·新课标高考总复习题型二面积问题例2△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－a2＋bc＝0，(1)求角A的大小；(2)若a＝3，求S△ABC的最大值．；(3)求asin(30°－C)b－c的值．【分析】(1)由b2＋c2－a2＋bc＝0的结构形式，可联想余弦定理，求出cosA，从而求出A的值．(2)由a＝3及b2＋c2－a2＋bc＝0，可求出关于b，c的关系式，利用不等式，即可求出bc的最大值，进而求出S△ABC的最大值．第四章·第7课时高三数学（人教版）课时作业课前自助餐授人以渔高考调研·新课标高考总复习(3)由正弦定理可实现将边化为角的功能，从而达到化简求值的目的．【解析】(1)∵cosA＝b2＋c2－a22bc＝－bc2bc＝－12.∴A＝120°(2)由a＝3，得b2＋c2＝3－bc，又∵b2＋c2≥2bc(当且仅当c＝b时取等号)，∴3－bc≥2bc(当且仅当c＝b时取等号)．即当且仅当c＝b＝1时，bc取得最大值为1.∴S△ABC＝12bcsinA≤34第四章·第7课时高三数学（人教版）课时作业课前自助餐授人以渔高考调研·新课标高考总复习∴S△ABC的最大值为34.(3)由正弦定理得，asinA＝bsinB＝csinC＝2R，∴asin(30°－C)b－c＝2RsinAsin(30°－C)2RsinB－2RsinC＝sinAsin(30°－C)sinB－sinC＝3212cosC－32sinCsin60°－C－sinC＝34cosC－34sinC32cosC－32sinC＝12第四章·第7课时高三数学（人教版）课时作业课前自助餐授人以渔高考调研·新课标高考总复习探究2(1)正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题目合理运用，有时还需要交替使用．(2)条件中出现平方关系多考虑余弦定理，出现一次式，一般要考虑正弦定理．(3)在求三角形面积时，通过正、余弦定理求一个角，两边乘积，是一常见思路．思考题2(2010·浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S＝34(a2＋b2－c2)．(1)求角C的大小；第四章·第7课时高三数学（人教版）课时作业课前自助餐授人以渔高考调研·新课标高考总复习(2)求sinA＋sinB的最大值．【解析】(1)由题意可知12absinC＝34·2abcosC，所以tanC＝3.因为0Cπ，所以C＝π3.(2)由已知sinA＋sinB＝sinA＋sin(π－C－A)＝sinA＋sin(2π3－A)＝sinA＋32cosA＋12sinA＝3sin(A＋π6)≤3.第四章·第7课时高三数学（人教版）课时作业课前自助餐授人以渔高考调研·新课标高考总复习当△ABC为正三角形时取等号，所以sinA＋sinB的最大值是3.题型三判断三角形形状例3在△ABC中，a，b，c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断该三角形的形状．【分拨】利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系．【解析】方法一已知即a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－