4-8.正弦定理余弦定理的应用汇总

RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）考纲要求考情分析能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.1.高考对正弦定理和余弦定理在实际中的应用的考查，其常规考法为：依据实际问题背景，直接给出测量数据，通过考生作图分析，然后选用恰当的公式直接计算．2．2009年海南、宁夏卷要求考生亲临实际问题的环境里进行具体操作，找到解决问题的方案，并设计出计算步骤，可以说是一道真正意义上的应用题，是一个新的考查方向.RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）(对应学生用书P80)知识梳理1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）2．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(3)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）自主检测1．如图所示，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A、B间距离的是()A．α，a，bB．α，β，aC．a，b，γD．α，β，b解析：选项B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可确定AB.选项C中可由余弦定理确定AB.选项D同B类似．答案：ARJ·A版·数学新课标高考总复习（理）2．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角是70°，则∠BAC等于()A．10°B．50°C．120°D．130°解析：由已知∠BAD＝60°，∠CAD＝70°，∴∠BAC＝60°＋70°＝130°.答案：DRJ·A版·数学新课标高考总复习（理）3．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°解析：由已知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，又AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝50°，60°－50°＝10°.∴灯塔A位于灯塔B的北偏西10°.答案：BRJ·A版·数学新课标高考总复习（理）4．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为()A.1762海里/小时B．346海里/小时C.1722海里/小时D．342海里/小时RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）答案：A解析：如图所示，在△PMN中，PMsin45°＝MNsin120°，∴MN＝68×32＝346，∴v＝MN4＝1726(海里/小时)．故选A.RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）5．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为()A.4003米B.40033米C.20033米D.2003米RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）答案：A解析：作出示意图如图，由已知，在Rt△OAC中，OA＝200，∠OAC＝30°，则OC＝OA·tan∠OAC＝200tan30°＝20033.在Rt△ABD中，AD＝20033，∠BAD＝30°，则BD＝AD·tan∠BAD＝20033·tan30°＝2003，∴BC＝CD－BD＝200－2003＝4003.RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）6．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，则这条河的宽度为________．RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）解析：如图，在△ABC中，过C作CD⊥AB于D点，则CD为所求河的宽度．在△ABC中，∵∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，∴∠ACB＝75°，∴AC＝AB＝120m.在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝120sin30°＝60(m)，因此这条河宽为60m.答案：60mRJ·A版·数学新课标高考总复习（理）(对应学生用书P81)考点1与距离有关的问题有关距离测量问题，主要是利用可以测量的数据，通过解三角形计算出不易测量的数据；遇到多边形问题，可以分割为n个三角形来解决．RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）例1(2010年陕西高考)如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）【解】由题意知AB＝5(3＋3)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理得DBsin∠DAB＝ABsin∠ADB，∴DB＝AB·sin∠DABsin∠ADB＝53＋3·sin45°sin105°＝53＋3·sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝533＋13＋12＝103(海里)．RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝203海里，在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×103×203×12＝900，∴CD＝30(海里)，则需要的时间t＝3030＝1(小时)．答：救援船到达D点需要1小时．RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）要测量对岸A、B两点之间的距离，选取相距3km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A、B之间的距离．RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）解：如图所示在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝3km.在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.∴BC＝3sin75°sin60°＝6＋22.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝(3)2＋6＋222－2×3×6＋22×cos75°＝3＋2＋3－3＝5，∴AB＝5(km)．∴A、B之间的距离为5km.RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）考点2测量高度问题测量高度问题一般是利用地面上的观测点，通过测量仰角、俯角等数据计算物体的高度，这类问题一般用到立体几何知识，先把立体几何问题转化为平面几何问题，再通过角三角形加以解决．RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）例2(2011年黑龙江省哈六中一模)攀岩运动是一项刺激而危险的运动，如图(1)在某次攀岩活动中，两名运动员在如图所在位置，为确保运动员的安全，地面救援者应时刻注意两人离地面的距离，以备发生危险时进行及时救援．为了方便测量和计算，现如图(2)A，C分别为两名攀岩者所在位置，B为山的拐角处，且斜坡AB的坡角为θ，D为山脚，某人在E处测得A，B，C的仰角分别为α，β，γ.ED＝a.(1)求：BD间的距离及CD间的距离；(2)求证：在A处攀岩者距地面的距离h＝asinαsinθ＋βcosβsinα＋θ.RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）【解】(1)根据题意得∠CED＝γ，∠BED＝β，∠AED＝α在直角三角形CED中，tanγ＝CDDE，CD＝atanγ在直角三角形BED中，tanβ＝BDDE，BD＝atanβ(2)易得AE＝hsinα，BE＝acosβ.在△ABE中，∠AEB＝α－β，∠EAB＝π－(α＋θ)正弦定理BEsin∠EAB＝AEsin∠ABE代入整理：h＝asinαsinθ＋βcosβsinα＋θ.RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）(2011年潍坊3月模拟)如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米．RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）解析：在△BCD中，∠BDC＝45°，∠DBC＝180°－(45°＋105°)＝30°，CD＝10，由正弦定理，得BC＝CDsin∠DBC·sin∠BDC＝10sin30°·sin45°＝102.在Rt△ABC中，AB＝BC·tan60°＝102×3＝106(m)．答案：106RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）考点3测量角度问题1.测量角度，首先应明确方位角、方向角的含义．2．根据题意正确画出示意图，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需求哪些量，然后采用正弦定理或余弦定理解决．RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）例3(2010年福建高考)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）【解】解法一：(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S＝900t2＋400－2·30t·20·cos90°－30°＝900t2－600t＋400＝900t－132＋300.故当t＝13时，Smin＝103，此时v＝10313＝303，即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）(2)设小艇与轮船在B处相遇，则v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，故v2＝900－600t＋400t2.∵0v≤30，∴900－600t＋400t2≤900，即2t2－3t≤0，解得t≥23.又t＝23时，v＝30，故v＝30时，t取得最小值，且最小值等于23.此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20.故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）解法二：(1)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．设小艇与轮船在C处相遇，在Rt△OAC中，OC＝20cos30°＝103，AC＝20sin30°＝10，又AC＝30t，OC＝vt，此时，轮船航行时间t＝1030＝13，v＝10313＝303，即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）(2)猜想v＝30时，小艇能以最短时间与轮船在D处相遇，此时AD＝DO＝30t.又∠OAD＝60°，所以AD＝DO＝OA＝20，解得t＝23.据此可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度的大小为30海里/小时，这样，小艇能以最短时间与轮船相遇．RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）证明如下：如图，由(1)得OC＝103，AC＝10，故OCAC，且对于线段AC上任意点P，有OP≥OCAC.而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故小艇与轮船不可能在A，C之间(包含C)的任意位置相遇．设∠COD＝θ(0°θ90°)，则在Rt△COD中，CD＝103tanθ，OD＝103cosθ.RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t＝10＋103tanθ30和t＝103vcosθ，所以10＋103tanθ3