数列求和课件

NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引第4课时数列求和NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引求数列的前n项和的方法1．公式法(1)等差数列的前n项和公式Sn＝＝.(2)等比数列前n项和公式①当q＝1时，Sn＝na1；②当q≠1时，Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q.na1＋an2na1＋nn－12dNO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引2．分组转化法把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．3．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．4．倒序相加法把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广)．5．错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引1．数列{(－1)n·n}的前2010项的和S2010为()A．－2010B．－1005C．2010D．1005解析：S2010＝－1＋2－3＋4－5＋…－2009＋2010＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－2009＋2010)＝1005.答案：DNO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引2．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为()A．2n＋n2－1B．2n＋1＋n2－1C．2n＋1＋n2－2D．2n＋n－2解析：Sn＝21－2n1－2＋n1＋2n－12＝2n＋1－2＋n2.答案：CNO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引3．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝1nn＋1，则S5等于()A．1B.56C.16D.130解析：an＝1nn＋1＝n＋1－nnn＋1＝1n－1n＋1∴S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1－12＋12－13＋…＋15－16＝56.答案：BNO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引4．已知数列{an}的通项an＝－5n＋2，则其前n项和Sn＝______.解析：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝－5(1＋2＋3＋…＋n)＋2n＝－5nn＋12＋2n＝－5n2－n2.答案：－5n2－n2NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引5．数列1,412，714，1018，…前10项的和为________．解析：1＋412＋714＋1018＋…＋281512＝(1＋4＋7＋…＋28)＋12＋14＋18＋…＋1512＝145511512.答案：145511512NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引分组转化求和就是从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n项和的数列来求之．NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引已知函数f(x)＝2x－3x－1，点(n，an)在f(x)的图象上，an的前n项和为Sn.(1)求使an＜0的n的最大值．(2)求Sn.解析：(1)依题意an＝2n－3n－1，∴an＜0即2n－3n－1＜0.当n＝3时，23－9－1＝－2＜0.当n＝4时，24－12－1＝3＞0，∴2n－3n－1＜0中n的最大值为3.NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引(2)Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(2＋22＋…＋2n)－3(1＋2＋3＋…＋n)－n＝21－2n1－2－3·nn＋12－n＝2n＋1－n3n＋52－2.NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引【变式训练】1.求和Sn＝1＋1＋12＋1＋12＋14＋…＋1＋12＋14＋…＋12n－1解析：和式中的第k项为：ak＝1＋12＋14＋…＋12k－1＝1－12k1－12＝21－12k.∴Sn＝21－12＋1－122＋…＋1－12nNO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引＝21＋1＋…＋1n个－12＋122＋…＋12n＝2n－121－12n1－12＝2n－1－12n＝2n－2＋12n－1.NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引1．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法．2．用乘公比错位相减法求和时，应注意(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错位项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引数列{an}中a1＝3，已知点(an，an＋1)在直线y＝x＋2上，(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝an·3n，求数列{bn}的前n项和Tn.解析：(1)∵点(an，an＋1)在直线y＝x＋2上，∴an＋1＝an＋2，即an＋1－an＝2.∴数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列，∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引(2)∵bn＝an·3n，∴bn＝(2n＋1)·3n，∴Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)·3n－1＋(2n＋1)·3n，①∴3Tn＝3×32＋5×33＋…＋(2n－1)·3n＋(2n＋1)·3n＋1，②由①－②得－2Tn＝3×3＋2(32＋33＋…＋3n)－(2n＋1)·3n＋1＝9＋2×91－3n－11－3－(2n＋1)·3n＋1∴Tn＝n·3n＋1.NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引【变式训练】2.已知数列{an}满足：Sn＝1－an(n∈N＋)，其中Sn为数列{an}的前n项和．(1)试求{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足：bn＝nan(n∈N＋)，试求{bn}的前n项和公式Tn.解析：(1)∵Sn＝1－an，①∴Sn＋1＝1－an＋1.②②－①得an＋1＝－an＋1＋an.∴an＋1＝12an(n∈N＋)．又当n＝1时，a1＝1－a1，∴a1＝12.∴an＝12·12n－1＝12n(n∈N＋)．NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引(2)由(1)得bn＝nan＝n·2n(n∈N＋)．∴Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.③∴2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1④③－④得－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝21－2n1－2－n×2n＋1.整理得：Tn＝(n－1)2n＋1＋2，n∈N＋.NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引数列通项形如an＝1nn－1，bn＝12n－1＋2n＋1等可用此法．使用裂项法，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项；你是否注意到由于数列{an}中每一项an均裂成一正一负两项，所以互为相反数的项合并为零后，所剩正数项与负数项的项数必是一样多的，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．实质上，正负项相消是此法的根源和目的．NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引等差数列{an}是递增数列，前n项和为Sn，且a1，a3，a9成等比数列，S5＝a52.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝n2＋n＋1an·an＋1，求数列{bn}的前99项的和．解析：(1)设数列{an}的公差为d(d＞0)，∵a1，a3，a9成等比数列，∴a32＝a1a9，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，∴d2＝a1d，∵d＞0，∴a1＝d，①∵S5＝a52，∴5a1＋5×42·d＝(a1＋4d)2②NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引由①②得a1＝35，d＝35，∴an＝35＋(n－1)×35＝35n(n∈N＋)．(2)bn＝n2＋n＋135n·35n＋1＝259·n2＋n＋1nn＋1＝2591＋1n－1n＋1，∴b1＋b2＋b3＋…＋b99＝2591＋1－12＋1＋12－13＋1＋13－14＋…＋1＋199－1100＝25999＋1－1100＝275＋2.75＝277.75.NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引【变式训练】3.已知数列1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋3＋…＋n的前n项和为Sn，bn＝Snn.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)若Cn＝bn·bn＋1，{Cn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜2对任意n∈N＋成立．解析：(1)∵an＝11＋2＋3＋…＋n＝1nn＋12＝21n－1n＋1，∴Sn＝21－12＋212－13＋…＋21n－1n＋1＝21－1n＋1＝2nn＋1，∴bn＝Snn＝2n＋1(n∈N＋)．NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引(2)证明：Cn＝bn·bn＋1＝2n＋1·2n＋2＝4n＋1n＋2＝41n＋1－1n＋2，∴Tn＝412－13＋413－14＋…＋41n＋1－1n＋2＝412－1n＋2＜4×12＝2，即Tn＜2对任意n∈N＋成立．NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第五章数列栏目导引数列求和的方法(1)一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．(2)数列求和的常见类型及方法①an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式直接求解；②an＝a·qn－1，利用等比数列前n项和公式直接求解，但要注意对q分q＝1与q≠1两种情况进行