【数学】2011届高考二轮专题复习课件：第10讲数列求和及数列的综合应用 (新课标人教版文)

第10讲数列求和及数列的综合应用主干知识整合第10讲│主干知识整合一、数列求和数列求和的关键是弄清数列的特点，即通项的结构特征决定求和所用的方法，对通项化简、拆分、变形等是数列求和的切入点．常见的求和方法有：(1)公式法求和，(2)倒序相加法，(3)错位相减法，(4)分组求和法(5)裂项相消法，(6)并项求和法，(7)周期性求和第10讲│主干知识整合二、数列的综合应用数列的综合应用体现在与其他知识的交汇上，主要是：(1)数列与不等式：在解题时要有单调性的思想，多向作差比较、基本不等式、放缩法等方面联系．(2)数列与函数、方程：数列本身就是一类特殊的函数，数列的一些性质很容易类比到函数上来，比如数列的单调性、最值跟函数如出一辙，再者：函数有图象，容易与其切线、切线的斜率(即函数的导数)结合．(3)数列与解析几何：只要将曲线上的点的坐标用点列来表示，那么数列就可以和解析几何联系起来，解题时一般要联系曲线的几何性质．要点热点探究第10讲│要点热点探究►探究点一数列求和例1设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＝Snn＋2(n－1)(n∈N*)．(1)求证：数列{an}为等差数列，并分别写出an和Sn关于n的表达式；(2)设数列1anan＋1的前n项和为Tn，证明：15≤Tn14.第10讲│要点热点探究【解答】(1)由an＝Snn＋2(n－1)，得Sn＝nan－2n(n－1)(n∈N*)．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝nan－(n－1)an－1－4(n－1)，即an－an－1＝4，∴数列{an}是以a1＝1为首项，4为公差的等差数列，于是，an＝4n－3，Sn＝a1＋ann2＝2n2－n(n∈N*)．第10讲│要点热点探究(2)证明：Tn＝1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＝11×5＋15×9＋19×13＋…＋14n－3×4n＋1＝141－15＋15－19＋19－113＋…＋14n－3－14n＋1＝141－14n＋1＝n4n＋1n4n＝14，又Tn单调递增，故Tn≥T1＝15，于是15≤Tn14.第10讲│要点热点探究【点评】本题的难点是数列求和中的裂项相消法，即将1anan＋1＝14n－34n＋1变形为1anan＋1＝1414n－3－14n＋1，再相消求和．裂项相消法求和时应注意两个容易出错的地方：其一是分拆14n－34n＋1＝1414n－3－14n＋1时的系数14容易错误或遗忘，它是(4n＋1)－(4n－3)＝4的倒数；其二是中间部分整体相消后应保留的项数问题，第10讲│要点热点探究如Tn＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1nn＋2＝121－13＋12－14＋13－15＋…＋1n－1－1n＋1＋1n－1n＋2＝121＋12＋…＋1n－13＋14＋…＋1n＋1＋1n＋2，相消后前面的部分应保留前两项1和12，后面的部分应保留后两项1n＋1和1n＋2.第10讲│要点热点探究例2已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，数列{an＋Sn}是公差为2的等差数列．(1)求a2，a3的值；(2)证明：数列{an－2}是等比数列；(3)求数列{nan}的前n项和Tn.第10讲│要点热点探究【解答】(1)∵数列{an＋Sn}是公差为2的等差数列，∴(an＋1＋Sn＋1)－(an＋Sn)＝2，即an＋1＝an＋22(n∈N*)．又∵a1＝1，∴a2＝32，a3＝74.(2)证明：由题意，得a1－2＝－1，又∵an＋1－2an－2＝an＋22－2an－2＝12，∴数列{an－2}是首项为－1，公比为12的等比数列．第10讲│要点热点探究(3)由(2)得an－2＝－12n－1，∴nan＝2n－n·12n－1(n∈N*)．∴Tn＝(2－1)＋4－2·12＋6－3·122＋…＋2n－n·12n－1，即Tn＝(2＋4＋6＋…＋2n)－1＋2·12＋3·122＋…＋n·12n－1.设An＝1＋2·12＋3·122＋…＋n·12n－1，①则12An＝12＋2·122＋3·123＋…＋(n－1)·12n－1＋n·12n②第10讲│要点热点探究①－②得12An＝1＋12＋122＋123＋…＋12n－1－n·12n＝1－12n1－12－n·12n，∴An＝4－(n＋2)·12n－1，于是，Tn＝n2＋2n2＋(n＋2)·12n－1－4＝(n＋2)·12n－1＋n(n＋1)－4(n∈N*)．第10讲│要点热点探究【点评】本题的难点是求数列{nan}的和，解题时首先采用了分组求和的方法，得到Tn＝(2＋4＋6＋…＋2n)－1＋2·12＋3·122＋…＋n·12n－1，然后分别对An＝2＋4＋6＋…＋2n和Bn＝1＋2·12＋3·122＋…＋n·12n－1求和．这里，An＝2＋4＋6＋…＋2n是等差数列的求和模型，Bn＝1＋2·12＋3·122＋…＋n·12n－1的求解，是错位相减法的求和模型，第10讲│要点热点探究其中，用错位相减法求和的数列n·12n－1的特点是由一个等差数列{n}和一个等比数列12n－1的乘积组成．用错位相减法求Bn时，需要在等式两边同乘以12，这个12是等比数列12n－1的公比，乘以12的目的是使得两式错位相减后，等式右边12n－1的前n项的系数都变成了1，得到一个等比数列的求和模型．要点热点探究第10讲│要点热点探究►探究点二数列与不等式的综合问题例3已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an2an＋1(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式an；(2)设2bn＝1an＋1，求数列{bnbn＋1}的前n项的和Tn；(3)已知P＝(1＋b1)(1＋b3)(1＋b5)…(1＋b2n－1)，求证：Pn2n＋1.第10讲│要点热点探究【解答】(1)由an＋1＝an2an＋1得：1an＋1－1an＝2且1a1＝1，所以数列1an是以1为首项，以2为公差的等差数列，所以1an＝1＋2(n－1)＝2n－1，即an＝12n－1.(2)由2bn＝1an＋1得：2bn＝2n－1＋1＝2n，∴bn＝1n，从而：bnbn＋1＝1nn＋1，则Tn＝b1b2＋b2b3＋…＋bnbn＋1＝11×2＋12×3＋…＋1nn＋1＝11－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1.第10讲│要点热点探究(3)证明：已知Pn＝(1＋b1)(1＋b3)(1＋b5)…(1＋b2n－1)＝21·43·65·…·2n2n－1，∵(4n)2(4n)2－1，∴2n＋12n2n2n－1，设Tn＝32·54·…·2n＋12n，则PnTn，从而P2nPnTn＝21·32·43·…·2n2n－1·2n＋12n＝2n＋1，故Pn2n＋1.第10讲│要点热点探究【点评】递推数列的基本解法之一就是通过对递推式进行变换转化成两类基本数列，通过求解基本数列实现求解递推数列的目的；本题第三问的技巧是构造“对偶式”，对偶式构造的标准是可以实现约简，即当Pn＝21·43·65·…·2n2n－1，Tn＝32·54·…·2n＋12n时，PnTn＝2n＋1，而P2nPnTn，从而实现解题目的．当然本题也可以从2n2n－14n2－12n－1＝2n＋12n－1直接进行证明．要点热点探究第10讲│要点热点探究►探究点三数列与函数、方程的综合问题例4[2009·天津卷]已知等差数列{an}的公差d不为0，设Sn＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，Tn＝a1－a2q＋…＋(－1)n－1anqn－1，q≠0，n∈N*.(1)若q＝1，a1＝1，S3＝15，求数列{an}的通项公式；(2)若a1＝d，且S1，S2，S3成等比数列，求q的值；(3)若q≠±1，求证：(1－q)S2n－(1＋q)T2n＝2dq1－q2n1－q2，n∈N*.第10讲│要点热点探究【解答】(1)由题设，S3＝a1＋(a1＋d)q＋(a1＋2d)q2，将q＝1，a1＝1，S3＝15，代入Sn＝a1＋a2q＋…＋anqn－1得3＋3d＝15，解得d＝4，所以an＝4n－3(n∈N*)．(2)当a1＝d，S1＝d，S2＝d＋2dq，S3＝d＋2dq＋3dq2，∵S1，S2，S3成等比数列，所以S22＝S1S3，即(d＋2dq)2＝d(d＋2dq＋3dq2)，注意到d≠0，整理得(1＋2q)2＝1＋2q＋3q2，解得q＝－2.第10讲│要点热点探究(3)证明：由题设，可得bn＝qn－1，则S2n＝a1＋a2q＋a3q2＋…＋a2nq2n－1①T2n＝a1－a2q＋a3q2－…－a2nq2n－1②①－②得，S2n－T2n＝2(a2q＋a4q3＋…＋a2nq2n－1)①＋②得，S2n＋T2n＝2(a1＋a3q2＋…＋a2n－1q2n－2)③③式两边同乘以q，得q(S2n＋T2n)＝2(a1q＋a3q3＋…＋a2n－1q2n－1)所以(1－q)S2n－(1＋q)T2n＝2d(q＋q3＋…＋q2n－1)＝2dq1－q2n1－q2.第10讲│要点热点探究【点评】利用方程的思想解决数列的运算问题，是比较常用的思想方法．本题中通过解方程得出d，q的值，进而求得等差数列、等比数列的通项与前n项和，很好地体现了方程思想的应用；另外，数列与函数综合问题也是常见的数列问题，请看下面变式题．第10讲│要点热点探究已知二次函数f(x)＝x2－ax＋a(a0，x∈R)有且只有一个零点，数列{an}的前n项和Sn＝f(n)(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设cn＝1－4an(n∈N*)，定义所有满足cm·cm＋10的正整数m的个数，称为这个数列{cn}的变号数，求数列{cn}的变号数．第10讲│要点热点探究【解答】(1)依题意，Δ＝a2－4a＝0⇒a＝0或a＝4，又由a0得a＝4，f(x)＝x2－4x＋4，∴Sn＝n2－4n＋4当n＝1时，a1＝S1＝1－4＋4＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－5，∴an＝1n＝1，2n－5n≥2.第10讲│要点热点探究(2)由题设cn＝－3n＝1，1－42n－5n≥2，n∈N*.由1－12n－5＝2n－92n－50可知，当n≥5时，恒有an0，又c1＝－3，c2＝5，c3＝－3，c4＝－13，即c1·c20，c2·c30，c4·c50，所以，数列{cn}共有三个变号数，即变号数为3.要点热点探究第10讲│要点热点探究►探究点四数列应用题例5某市投资甲、乙两个工厂，2008年两工厂的产量均为100万吨．在今后的若干年内，甲工厂的年产量每年比上一年增加10万吨，乙工厂第n年比上一年增加2n－1万吨，记2008年为第一年，甲、乙两工厂第n年的年产量分别记为an，bn.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)若某工厂年产量超过另一工厂年产量的2倍，则将另一工厂兼并，问到哪一年底其中一个工厂被另一个工厂兼并．第10讲│要点热点探究【解答】因为{an}是等差数列，a1＝100，d＝10，所以an＝10n＋90，因为bn－bn－1＝2n－1，bn－1－bn－2＝2n－2，…，b2－b1＝2，所以bn＝100＋2＋22＋…＋2n－1＝2n＋98.(2)当n≤5时，an≥bn，且an2bn，当n≥6时，an≤bn，所以甲