2-4-2等比数列的性质

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·必修5成才之路·数学·人教A版·必修5第二章数列第二章数列成才之路·数学·人教A版·必修5第二章数列2．4等比数列第二章成才之路·数学·人教A版·必修5第二章数列第二章第2课时等比数列的性质第二章2.4第2课时成才之路·数学·人教A版·必修5课前自主预习思路方法技巧名师辨误作答课后强化作业课堂巩固训练第二章2.4第2课时成才之路·数学·人教A版·必修5课程目标解读第二章2.4第2课时成才之路·数学·人教A版·必修5在理解掌握等比数列定义和通项公式的基础上，探索发现等比数列的性质，并能够运用这些性质解决一些实际问题．第二章2.4第2课时成才之路·数学·人教A版·必修5课前自主预习第二章2.4第2课时成才之路·数学·人教A版·必修5请类比等差数列的性质探索给出等比数列的相应的性质．等比数列{an}的一些性质(公比为q)：(1)对任意正整数n，都有an＋1an＝.(2)对任意正整数n、m，都有anam＝.(3)对任意正整数n(n1)，都有an－1·an＋1＝.qqn－ma2n第二章2.4第2课时成才之路·数学·人教A版·必修5(4)对任意正整数p、q、r、s，若p＋q＝r＋s，则特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝.(5)对任意常数k(k≠0)，{kan}仍成等比数列，公比为.另外{1an}，{akn}，{|an|}，也都是等比数列，公比依次为.(6){an}，{bn}都是等比数列，则{anbn}与{anbn}都是等比数列，且公比分别为原公比的apaq＝ar·as(ap)2q1q、qk、|q|积与商．第二章2.4第2课时成才之路·数学·人教A版·必修5(7)等比数列{an}中，等间隔(即序号成等差数列)的项仍成等比数列；等间隔的k项之和(或积)仍成等比数列．如：a1，a3，a5，……a2n－1……成等比数列．a1，a4，a7……a3n－2……成等比数列．a3，a7，a11……a4n－1……成等比数列．a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6……a2n－1＋a2n……成等比数列等等．第二章2.4第2课时成才之路·数学·人教A版·必修5(8){an}是有穷等比数列，则与首末两项等距离的两项积相等，且等于首末两项之积．即：a1an＝a2＝a3＝…＝ak.(9)若数列{an}是各项均为正数、公比为q的等比数列，则数列{lgan}是公差为的等差数列．an－1an－2an－k＋1lgq第二章2.4第2课时成才之路·数学·人教A版·必修5重点难点展示第二章2.4第2课时成才之路·数学·人教A版·必修5重点：等比数列的性质．难点：灵活运用等比数列的性质解决一些实际问题．第二章2.4第2课时成才之路·数学·人教A版·必修5学习要点点拨第二章2.4第2课时成才之路·数学·人教A版·必修51．我们已学过等差数列的性质，可类比等差数列的性质分析得出等比数列的性质，应用性质时关键抓住下标成等差的项之间的关系来解决．2．既是等差数列，又是等比数列的数列是非零常数列．3．解决等比数列问题时，要牢记a1≠0，q≠0.第二章2.4第2课时成才之路·数学·人教A版·必修5思路方法技巧第二章2.4第2课时成才之路·数学·人教A版·必修5命题方向等比数列的性质[例1]在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，则a10＝__________.[答案]512第二章2.4第2课时成才之路·数学·人教A版·必修5[解析]利用“若m＋n＝k＋l，则aman＝akal”解决．由a4a7＝－512，知a3a8＝－512.解方程组a3a8＝－512，a3＋a8＝124.得a3＝－4，a8＝128；或a3＝128，a8＝－4.∵q为整数，∴q＝5a8a3＝－2，∴a10＝a3q7＝－4×(－2)7＝512.第二章2.4第2课时成才之路·数学·人教A版·必修5[点评]本例题主要考查等比数列的性质及解方程组的能力，当然若将条件化为a1、q的形式，亦可求解，只不过麻烦一些罢了，因此，在解题时，要注意观察题目特点，寻找所给条件中各项的下标规律，灵活运用性质．第二章2.4第2课时成才之路·数学·人教A版·必修5(1)在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11＝__________.(2){an}为等比数列，且a1a9＝64，a3＋a7＝20，则a11＝________.[答案](1)25(2)1或64第二章2.4第2课时成才之路·数学·人教A版·必修5[解析](1)解法1：∵a7a12＝a8a11＝a9a10＝5，∴a8a9a10a11＝52＝25.解法2：由已知得a1q6·a1q11＝a21q17＝5，∴a8a9a10a11＝a1q7·a1q8·a1q9·a1q10＝a41·q34＝(a21·q17)2＝25.(2)∵a1a9＝a3a7＝64，∴a3，a7是方程x2－20x＋64＝0的两根．解得a3＝4，a7＝16；或a3＝16，a7＝4.第二章2.4第2课时成才之路·数学·人教A版·必修5①若a3＝4，a7＝16，则由a7＝a3q4得，q4＝4，∴a11＝a7q4＝16×4＝64.②若a7＝4，a3＝16，则由a7＝a3q4得，q4＝14，∴a11＝a7q4＝4×14＝1.故a11＝64，或a11＝1.第二章2.4第2课时成才之路·数学·人教A版·必修5命题方向等差、等比数列的综合问题及方程思想[例2]已知四个数前三个成等差，后三个成等比，中间两数之积为16，首尾两个数之积为－128，求这四个数．[分析]求四个数，给出四个条件，若列四个方程组成方程组虽可解，但较麻烦，因此可依据条件减少未知数的个数．设未知数时，可以根据前三个数成等差来设，也可以依据后三个数成等比来设，还可以依据中间(或首尾)两数之积来设，关键是要把握住未知量要尽量少，下一步运算要简捷．第二章2.4第2课时成才之路·数学·人教A版·必修5[解析]设所求四个数为2aq－aq，aq，aq，aq3.则由已知aq·aq＝16，①2aq－aq·aq3＝－128.②由①得a2＝16，∴a＝4或a＝－4.由②得2a2q2－a2q4＝－128.第二章2.4第2课时成才之路·数学·人教A版·必修5将a2＝16代入整理q4－2q2－8＝0.解得q2＝4，∴q＝2或q＝－2.因此所求的四个数为－4,2,8,32或4，－2，－8，－32.第二章2.4第2课时成才之路·数学·人教A版·必修5[点评](1)根据四个数中前3个成等差、后三个成等比列方程时，可以据后三个成等比用a、q表示四个数，也可以据前三个成等差，用a、d表示四个数，由于中间两数之积为16，将中间两个数设为aq，aq这样既可使未知量减少，同时解方程也较为方便．第二章2.4第2课时成才之路·数学·人教A版·必修5(2)注意到中间两数的特殊地位，可设第三个数为x，则第二个数为16x，则第一个数为32x－x，最后一个数为x316，再利用首尾两数之和为－128可列出关于x的方程x316·32x－x＝－128，解之得x＝±8，则更简捷．第二章2.4第2课时成才之路·数学·人教A版·必修5三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列三个数，又可成为等比数列，这三个数的和为6，则这三个数为________．[答案]－4,2,8第二章2.4第2课时成才之路·数学·人教A版·必修5[分析]三个数适当排列，不同的排列方法有6种，但这里不必分成6种，因为若以三个数中哪一个数为等比中项分类，则只有三种情况，因此对于分类讨论问题，恰当的分类是解决问题的关键．第二章2.4第2课时成才之路·数学·人教A版·必修5[解析]由已知，可设这三个数为a－d，a，a＋d，则a－d＋a＋a＋d＝6，∴a＝2，这三个数可表示为2－d,2,2＋d，①若2－d为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)，解之得d＝6，或d＝0(舍去)．此时三个数为－4,2,8.第二章2.4第2课时成才之路·数学·人教A版·必修5②若2＋d是等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)，解之得d＝－6，或d＝0(舍去)．此时三个数为8,2，－4.③若2为等比中项，则22＝(2＋d)·(2－d)，∴d＝0(舍去)．综上可知此三数为－4,2,8.第二章2.4第2课时成才之路·数学·人教A版·必修5探索延拓创新第二章2.4第2课时成才之路·数学·人教A版·必修5命题方向等比数列的综合应用[例3]设数列{an}的首项a1＝a≠14，且an＋1＝12ann为偶数an＋14n为奇数.记bn＝a2n－1－14，n＝1,2,3，…….(1)求a2、a3；(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论．第二章2.4第2课时成才之路·数学·人教A版·必修5[解析](1)a2＝a1＋14＝a＋14，a3＝12a2＝12a＋18.(2)∵a4＝a3＋14＝12a＋38，所以a5＝12a4＝14a＋316，所以b1＝a1－14＝a－14，b2＝a3－14＝12(a－14)，b3＝a5－14＝14(a－14)．猜想：{bn}是公比为12的等比数列．第二章2.4第2课时成才之路·数学·人教A版·必修5证明如下：∵bn＋1＝a2n＋1－14＝12a2n－14＝12(a2n－1＋14)－14＝12(a2n－1－14)＝12bn(n∈N*)，∴{bn}是首项为a－14，公比为12的等比数列．第二章2.4第2课时成才之路·数学·人教A版·必修5在公差不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}中，已知a1＝1，且a1＝b1，a2＝b2，a8＝b3.(1)求数列{an}的公差d和数列{bn}的公比q；(2)是否存在常数a，b使得对一切正整数n，都有an＝logabn＋b成立？若存在，求出a和b；若不存在，说明理由．第二章2.4第2课时成才之路·数学·人教A版·必修5[解析](1)由已知a1＝b1＝1，a2＝b2，a8＝b3，得1＋d＝q，1＋7d＝q2，解得q＝6，d＝5，或q＝1，d＝0.(舍去)(2)假设存在a，b使得an＝logabn＋b成立，即有1＋5(n－1)＝loga6n－1＋b.整理，得(5－loga6)n－(4＋b－loga6)＝0.∵an＝logabn＋b对一切正整数n恒成立．∴5－loga6＝0，4＋b－loga6＝0，∴a＝56，b＝1.第二章2.4第2课时成才之路·数学·人教A版·必修5合作探究已知数列{an}为等差数列且公差d≠0，{an}的部分项组成等比数列{bn}，其中bn＝akn，若k1＝1，k2＝5，k3＝17，求kn.[分析]由条件知，等比数列前三项为b1＝a1，b2＝a5，b3＝a17，由此可求出{bn}的通项公式，再求bn＝akn及{an}的通项公式可解出kn.第二章2.4第2课时成才之路·数学·人教A版·必修5[解析]∵{bn}是等比数列，∴b22＝b1·b3，又b1＝a1，b2＝a5，b3＝a17，∴a25＝a1·a17，∵an＝a1＋(n－1)d，∴(a1＋4d)2＝a1(a1＋16d)，∵d≠0，∴a1＝2d，∴an＝(n＋1)d，∴b1＝2d，b2＝6d，b3＝18d，∴公比q＝b2b1＝3，∴bn＝b1qn－1＝2d·3n－1，∵bn＝akn，∴2d·3n－1＝(kn＋1)d，∴kn＝2×3n－1－1.第二章2.4第2课时成才之路·数学·人教A版·必修5名师辨误作答第二章2.4第2课时成才之路·数学·人教A版·必修5[例4]已知数列{an}是各项均为正数的等差数列，且lga1，lga2，lga4成等差数列，又bn＝1a2n，n＝1,2,3，…，求证数列{bn}为等比数列．第二章2.4第2课时成才之路·数学·人教A版·必修5[错解]由条件知，2lga2＝lga1＋lga4，∴a22＝a1·a4，设等差数列的公差为d，则(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，∴d2＝a1d，