“数与式”-中考数学专题复习

“数与式”中考数学专题复习●中考命题形势与趋势翻阅手中近几年全国各地的中考试卷，仔细琢磨“数与式”的试题发现，这部分知识多考查实数、整式、分式以及二次根式的有关概念及其简单运算和求值，另外还有一类新情境下的探索性、开放性问题也是本章的热点考题.由于数与式涉及的知识点比较多，范围比较广，而且都是研究数学的基础知识，所以预计2010的中考中的基础知识的考查仍注重这些内容，题型除了会加大创新的力度外，还将会沿袭传统的题型.●数与式试题的特点与数与式有关的试题的题型一般相对来说都比较小，而且大多出现在选择与填空中，即使出现个别的解答题，一般也是靠近较前面的，好让同学们下笔就能得分，个别探索型和开放型的题目也只需同学们略动一下脑筋就能解答，一般没有偏难的题目，更没有同学们没有遇到的问题，至于，试卷中会出现一些新定义，或简单的阅读理解问题，也会让同学们一看即会明了的，总之，数与式部分的试题大多属于送分题，同学们只要注重基础知识的复习，不遗漏任何一个知识即可.●典型问题归类例析专题1实数一、知识点1.实数的分类：按定义来分类：有理数和无理数；按正、负数来分类：正实数、0、负实数.2.实数和数轴上的点是一一对应的.3.相反数：只有符号不同的两个数互为相反数.若a、b互为相反数，则a+b＝0，或ba＝－1(a、b≠0).4.绝对值：从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离a＝0,00,0.aaaaa5.倒数：乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数.这里应特别注意的是0没有倒数.6.科学记数法、近似数和有效数字：把一个数记成a×10n的形式，这种记法叫科学记数法.注意，科学记数法的实质是有理数的乘方，其中1≤a＜10，n是比原数的整数位数小1的正整数.近似数是指近似地表示某一个量的数.一个近似数，四舍五入到哪一位，这个近似数就精确到哪一位.由四舍五入得到的近似数精确到某一位，那么从左边第一个不是零的数字起，到最后一位数字止，所以的都叫做这个数的有效数字.7.平方根、算术平方根和立方根：若x2＝a（a≥0），则x就叫做a的平方根.一个非负数a的平方根可以符号表示为“±a”；正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记为“a”.如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根.8.实数的开方运算：2a＝a(a≥0)，2a＝a.9.实数的混合运算顺序：和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行.有理数的运算律在实数范围内仍然适用.10.实数的大小估算与实数大小的比较：（1）数形结合法；（2）作差法比较；（3）作商法比较；（4）倒数法；（5）平方法.二、考题例析考点1负数的意义例1（内江市）汽车向东行驶5千米记作5千米，那么汽车向西行驶5千米记作（）A.5千米B.－5千米C.10千米D.0千米分析由负数的意义可知，汽车向东行驶5千米与汽车向西行驶5千米是表示两个相反意义的量，既然汽车向东行驶5千米记作5千米，那么汽车向西行驶5千米就应该记作与5千米相反的量.解因为汽车向东行驶5千米记作5千米，所以汽车向西行驶5千米就应该记作－5千米.故应选B.说明本题意在让同学们进一步体会负数的意义，知道负数的产生是源于生活，并服务于生活.考点2实数的概念例2（福州市）2009的相反数是（）A.－2009B.2009C.－12009D.12009分析利用相反数的定义直接求得2009的相反数.解因为2009的相反数是－2009，所以应选A.说明明白相反数的意义可容易求解，即只有符号不同的两个数称为相反数，0的相反数是0，互为相反数总是成对出现的，不能出现类似“2009是相反数”的错误.考点3数轴例3（宜宾市）数轴上的点A、B位置如图所示，则线段AB的长度为（）A.－3B.5C.6D.7分析数轴上任意两点之间的距离等于这两点对应的数值的差的绝对值，由此可以求解.解因为A点对应的数值为－5，B点对应的数值为2，所以AB＝52＝7＝7，所以应选D.说明利用数轴上任意两点间的距离公式计算线段的长度时并不需要考虑数值的先后.如，本题中AB＝25＝7＝7.考点4科学记数法、近似数与有效数字例4（济南市）2009年10月11日，第十一届全运会将在美丽的泉城济南召开.奥体中心由体育场，体育馆、游泳馆、网球馆，综合服务楼三组建筑组成，呈“三足鼎立”、“东荷西柳”布局.建筑面积约为359800平方米，请用科学记数法表示建筑面积是（保留三个有效数字）（）A.35.9×105平方米B.3.60×105平方米C.3.59×105平方米D.35.9×104平方米分析数据359800有6个整数位，即用科学记数法表示时10的指数为5，要求保留三个有效数字时，则从8开始四舍五入.解因为359800≈360000，所以用科学记数法表示为3.60×105.故应选B.说明本题考查科学记数法和有效数字，求解时应注意，将一个数用科学记数法表示为a×10n(1≤a＜10)的形式，其中a的有效数字就是a×10n的有效数字，且n等于这个数的整数位数减1.考点5实数的估算例5（济南市）估计20的算术平方根的大小在（）A.2与3之间B.3与4之间C.4与5之间D.5与6之间分析要估计20的算术平方根的大小，即估计20范围，此时，由于42＝16，52＝25，由此可以求解.解因为42＜20＜52，所以20的算术平方根在4和5之间.故应选C.BA0-52说明对实数的估算，可以借助于数的平方，从而确定一个无理数的大致范围.考点6实数的比较大小例6（常德市）设a＝20，b＝(－3)2，c＝39，d＝112，则a、b、c、d按由小到大的顺序排列正确的是（）A.c＜a＜d＜bB.b＜d＜a＜cC.a＜c＜d＜bD.b＜c＜a＜d分析可以分别求出a、b、c、d的具体值，从而可以比较大小.解因为a＝20＝1，b＝(－3)2＝9，c＝39＝－39，d＝112＝2，而－39＜1＜2＜9，所以c＜a＜d＜b.故应选A.说明比较实数的大小有好多种方法，在具体求解时应根据题目自身的特点选择容易比较的方法.考点7实数的运算例7（佛山市）（1）有这样一个问题：2与下列哪些数相乘，结果是有理数？A.32B.2－2C.2+3D.32E.0问题的答案是（只需填字母）：＿＿＿；（2）如果一个数与2相乘的结果是有理数，则这个数的一般形式是什么（用代数式表示）？分析（1）可利用实数的运算验证，看结果情况判断.（2）设出这个数，从而列式求解.解（1）因为32×2＝6，32×2＝3，0×2＝0，所以2分别与32、32和0相乘，其结果为有理数.故应选A、D、E.（2）设这个数为x，则根据题意，得x·2＝a（a为有理数），所以x＝2a（a为有理数），这个数的一般形式是2a（a为有理数）.说明本题是考查实数的运算，其题型以前不常见，虽然不难，但请同学们应注意关注.另外，应注意避免对无理数的几种错误认识：（1）错误认为无限小数就是无理数如1.414141···(41无限循环）；（2）错误认为带根号的数是无理数，如4；（3）错误认为两个无理数的和、差、积、商也还是无理数，如3+2，3－2都是无理数，但它们的积却是有理数；（4）错误认为无理数是无限不循环小数，所以无法在数轴上表示出来，这种说法错误，每一个无理数在数轴上都有一个唯一位置，如2，我们可以用几何作图的方法在数轴上把它找出来，其他的无理数也是如此.三、同步训练1.实数－2，0.3，17，2，－π中，无理数的个数是（）A.2B.3C.4D.52.通过世界各国卫生组织的协作和努力，甲型H1N1流感疫情得到了有效的控制，到目前为止，全球感染人数约为20000人左右，占全球人口的百分比约为0.0000031，将数字0.0000031用科学记数法表示为（）A.3.1×10－5B.3.1×10－6C.3.1×10－7D.3.1×10－83.平方根节是数学爱好者的节目，这一天的月份和日期的数字正好是当年年份最后两位数字的平方根，例如2009年的3月3日，2016年的4月4日.请你写出本世纪内你喜欢的一个平方根（题中所举例子除外）.＿＿＿年＿＿＿月＿＿＿日.4.|2|－0(12)+4.专题二整式一、考点扫描1.代数式的有关概念：代数式是由运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子.求代数式的值的方法：①化简求值；②整体代入.2.整式的有关概念：只含有数与字母的积的代数式叫做单项式；几个单项式的和，叫做多项式；所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项.3.去括号与添括号：括号前面是正号，把括号和括号前的正号去掉后，括号里的各项不改变符号；括号前是负号，把括号和括号前的负号去掉，括号里的各项都要改变符号；给括号前添正号，括在括号里的各项都不改变符号；给括号前添负号，括到括号里的各项都要改变符号.4.合并同类项：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变.5.乘法公式：平方差公式：(a+b)(a－b)＝a2－b2；完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab+b2.6.整指数幂的运算：am×an＝am+n，(am)n＝amn，(a×b)n＝an×bn，am÷an＝am+n(a≠0).7.零指数幂与负整数指数幂：不等于零的数的零次幂等于1.即a0＝1(a≠0).不等于零的数的负整数次幂等于这个数的正整数次幂的倒数.即a－p＝1pa(a≠0，p是正整数).8.整式的运算：（1）加减运算：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接.整式加减的一般步骤是：①如果遇到括号，按去括号法则去括号；②合并同类项.（2）乘除运算：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式出现的字母，则连同它的指数作为积的一个因式；单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加；多项式与多项式相乘，就是先用多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.9.因式分解：多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积.分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止.分解因式的常用方法有：提公因式法和运用公式法.二、考题分析考点8列代数式例8（株洲市）孔明同学买铅笔m支，每支0.4元，买练习本n本，每本2元.那么他买铅笔和练习本一共花了＿＿＿元.分析买铅笔m支，每支0.4元，则需钱0.4m元，买练习本n本，每本2元，则需钱2n元，由此可以列式求解.解因为买铅笔m支，每支0.4元，买练习本n本，每本2元，所以铅笔和练习本一共花了(0.4m+2n)元钱.说明列代数式的关键是正确掌握数学关联词，并且书写代数式时应注意规范性.考点9幂的运算例9（太原市）下列计算中，结果正确的是（）A.a2·a3＝a6B.(2a)·(3a)＝6aC.(a2)3＝a6D.a6÷a2＝a3分析为了能准确地获得答案，可利用幂的运算法则逐一计算验证.解因为a2·a3＝a5，(2a)·(3a)＝6a2，a6÷a2＝a4，所以选项A，B，D都是错误的，只有(a2)3＝a6运算是正确的.故应选C.说明要能正确地猎取答案，就必须熟练掌握幂的运算法则，弄清楚每一个法则的前因后果.考点10同类项例10（贺州市）已知代数式2a3bn+1与－3am－2b2是同类项，则2m+3n＝＿＿＿.分析利用同类项的定义，构造出m和n的简易方程，求得m和n即可求解.解因为代数式2a3bn+1与－3am－2b2是同类项，所以3＝m－2，且n+1＝2，解得m＝5，n＝1，当m＝5，n＝1时，2m+3n＝2×5+3×1＝13.说明同类项是所含字母相同，相同字母的指数也相同的项，根据同类项的定义可得字母指数的方程，然后再求代数式的值，这是中考中常出现的题型.考点11去括号例11