第4章线性方程组

第4章相似矩阵与二次型4.1本章的教学要求1.了解相似矩阵、内积、正交矩阵的概念及其性质，了解矩阵对角化的充分必要条件。2.理解矩阵的特征值及特征向量的概念，掌握矩阵的特征值及特征向量的求法。3.会将实对称矩阵对角化，会将线性无关组正交规范化。4.理解二次型的概念，了解正交变换的概念，惯性定律，二次型的秩。5.会用矩阵表示二次型，掌握用配方法和正交变换法化二次型为标准形的方法。6.了解二次型的正定性及其判别法。重点：实对称矩阵对角化，线性无关向量的正交规范化,矩阵特征值及其特征向量的概念和求法，用配方法和正交变换法化二次型为标准形的方法。难点：矩阵特征值及其特征向量的概念，用配方法和正交变换法化二次型为标准形的方法。4.2本章的主要内容4.2.1向量的内积设有两个n维向量,nbbb21naaa211122(,)nnababab记，则称为向量与的内积。内积是向量的一种运算，如果用矩阵记号表示，向量的内积还可写成1212(,)Tnnbbaaab(,)设为n维向量，为实数，则内积满足下列运算规律:1．2．3．,,),(),(),(),(),(),(),(4.2.2向量的长度设称为n维向量的长度（或范数）。向量的长度具有下述性质：1.非负性：当时，，当时，；2.齐次性：3.三角不等式：22221),(n00004.2.3单位向量当时，称为单位向量。14.2.4向量的单位化对任何非零向量称为向量的单位化。1,4.2.5向量的正交当时，称向量与正交.例如向量与向量是正交的.因为0),(12312433(,)122(4)331(3)0.4.2.6正交向量组若非零向量组中的任意两个向量都是正交的，则称这个向量组为正交向量组。正交向量组的性质定理：定理1正交向量组一定是线性无关的。例如n维单位向量是正交向量组.因为s,,,2112,,,neee1,(,),,1,2,,.0,ijijeeijnij4.2.7正交规范向量组若一个正交向量组的每个向量都是单位向量，则称它为正交规范向量组。例4.2.1将正交规范化.解取121,1231,1314011,2122111(,)(,)325/34115/3,6115/3然而将单位化，取313233121122(,)(,)(,)(,)125/301415/323015/32123,,则即为所求.1112/61/6,1/62221/31/3,1/333301/2,1/2123,,例4.2.2已知，求非零向量使成为正交向量组.解所求的应满足即基础解系为111123,,123,,23,,T10,x1230.xxx110,1201,1，将正交化，取即为所求.12,2110,12232222011/2(,)1101,(,)2111/223,4.2.8正交矩阵如果n阶方阵A满足，，则称A为正交矩阵。1.正交矩阵具有以下性质：(1)E是正交矩阵；(2)若A与B都是n阶正交矩阵，则AB也是正交矩阵；(3)若A是正交矩阵，则也是正交矩阵；(4)若A是正交矩阵，则detA=1或-1。TTAAAAE1A2.正交矩阵的判定定理定理2方阵A为正交矩阵A的每一行（列）向量都是单位向量，且两两正交。定理3n阶实数方阵A是正交矩阵。定理4n阶实数方阵A是正交矩阵。1TAAEAA1例4.2.3判断下述矩阵是否是正交矩阵：（1）A其中为实数;（2）Bcossin,sincos3/33/33/302/22/2.6/36/66/6解（1）AA所以A是正交矩阵.Tcossincossinsincossincos10.01（2）BB==E所以B是正交矩阵.3/33/33/302/22/26/36/66/63/306/33/32/26/63/32/26/6T1000100014.2.9特征值与特征向量设A为n阶方阵，若存在数和n维非零列向量X，使得AX=X则称数为矩阵A的特征值，称非零列向量X为矩阵A对应于特征值的特征向量。4.2.10特征矩阵与特征多项式设矩阵111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa则称矩阵为A的特征矩阵，它的行列式det(E-A)是关于的一个n次多项式，称det(E-A)为A的特征多项式。111212122212nnnnnnaaaaaaEAaaa1.矩阵特征值和特征向量的存在定理定理5设A为n阶方阵，则数为A的特征值是A的特征多项式det(E-A)的根；n维向量是A对应于特征值的特征向量是齐次线性方程组（E-A）X=O的非零解。2.矩阵特征值和特征向量的性质定理定理6对称矩阵A的不同特征值的特征向量一定是正交的。定理7对称矩阵A的不同特征值的特征向量是线性无关的。0000定理8方阵A对应于不同特征值的特征向量是线性无关的。定理9实对称矩阵的特征值都是实数。4.2.11矩阵A的迹矩阵A的主对角线元素之和,称为A的迹，记作tr(A)，即tr(A)=。nnaaa22114.2.12相似矩阵设A与B都是n阶方阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得B=PAP则称A与B是相似的，记作A~B。1相似矩阵具有如下性质：1.相似矩阵有相同的行列式。2.相似矩阵具有相同的可逆性；若可逆，它们的逆矩阵也相似。3.相似矩阵具有相同的特征多项式。4.相似矩阵具有相同的特征值。5.相似矩阵有相同的迹。4.2.13方阵A可对角化如果n阶方阵A能相似于对角矩阵，则称方阵A可对角化。方阵A可对角化的定理：定理10n阶方阵A可对角化A有n个线性无关的特征向量，并且此时以它们为列向量组的矩阵P，就能使为对角矩阵，而且此对角矩阵的主对角元依次是对应的特征值是。定理11若A是实对称矩阵，则一定可对角化，并且一定能够找到一个正交矩阵T，使得为对角矩阵。n,,,21APP1n,,,21n,,,21ATT1例4.2.4设A=求正交矩阵T，使TAT为对角矩阵.解由于A=A，故由定理知，一定可找到正交矩阵T，使得TAT为对角矩阵.第1步先求A的特征值，由122224,242T1112222424232(1)122224022122(2)224011det(E－A)=求得A的不同特征值为（二重），第2步对于，求解齐次线性方程组（2E－A）X=O，由23142(2)2640012(2)(7)121227.求得其一个基础解系为122244244212312122000,0002E－A=121,0220.1先正交化,令1121,02122111222/5(,)4014/5,(,)5101再单位化,令对于，求解齐次线性方程组（－7E－A）X=O，由11125/515/5,||022225/15145/15.||5/327.－7E－A=822254245(1,2)25482224521(4)31(1)254018180992(1/18)32(9)254011000求得它的一个基础解系为1(1/2)15/2201100012(5/2)101/2011,00031/21,1这里只有一个向量，只要单位化，得第3步以正交单位向量组为列向量组的矩阵T，就是所求的正交矩阵，即T=31/32/3.2/3123[]25/525/151/35/545/152/3,05/32/3有TAT20002000714.2.14n元二次型、二次型矩阵含n个变量的二次齐次多项式nxxx,,,21nnnxxaxxaxaxxxf112112211121),,(nnxxaxaxxa222222122122211nnnnnnnxaxxaxxaAXXT其中,且称为n元二次型，矩阵A称为二次型的矩阵。nxxxX21111212122212nnnnnnaaaaaaAaaajiijaa),,2,1,(nji),,,(21nxxxf),,,(21nxxxf例如二次型为要写成矩阵形式，把这些项分别改写成即123(,,)fxxx22211222313381256163,xxxxxxxxx1212,xx236,xx1316xx122166,xxxx233233,xxxx133188,xxxx123(,,)fxxx222233132353833,xxxxxxxx211213218686xxxxxxx其矩阵表示式为或简单地就用对称矩阵A=来表示.123123(,,)fxxxxxx123868653833xxx8686538334.2.15化二次型为标准形如果二次型通过满秩变换X=CY(C为n阶满秩方阵)，使得原二次型用表示时，化为,简称此过程为化二次型为标准形。),,,(21nxxxfnyyy,,,212212211nnydydyd4.2.16正交变换如果二次型通过满秩变换X=CY,使得原二次型化为标准形，且满秩方阵C是正交矩阵，则称此变换为正交变换。),,,(21nxxxf定理13对于任何一个二次型一定能找到一个正交矩阵T，使得经过正交变换X=TY,把它化为标准形其中是二次型的矩阵A的全部特征值。),,,(21nxxxf2222211nnyyyn,,,21),,,(21nxxxf化二次型为标准形的定理：定理12任何一个二次型都可化为标准型。即任何一个对称矩阵A，总能找到可逆矩阵C，使