2015年青岛二模理科数学

高三数学（理科）试题第1页（共15页）高三自主诊断试题数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知11abii，其中,ab是实数，i是虚数单位，则||abiA．3B．2C．5D．52.已知集合2{|lg(2)}Mxyxx，22{|1}Nxxy，则MNA．[1,2)B．(0,1)C．(0,1]D．3.高三（3）班共有学生56人，座号分别为1,2,3,,56，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知3号、17号、45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是A．30B．31C．32D．334.已知函数22,0,()|log|,0,xxfxxx，则使()2fx的x的集合是A．1{,4}4B．{1,4}C．1{1,}4D．1{1,,4}4高三数学（理科）试题第2页（共15页）5.已知MOD函数是一个求余函数，其格式为(,)MODnm，其结果为n除以m的余数，例如(8,3)2MOD.右面是一个算法的程序框图，当输入的值为25时，则输出的结果为A．4B．5C．6D．76.设,xy满足约束条件2311xxyyx，则下列不等式恒成立的是A．3xB．4yC．280xyD．210xy7.“2a”是“函数axxf)(在[1,)上单调递增”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8.将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有A．18种B．24种C．36种D．72种9.定义在R上的奇函数()fx满足(1)()fxfx，当1(0,]2x时，)1(log)(2xxf，则()fx在区间3(1,)2内是A．减函数且()0fxB．减函数且()0fxC．增函数且()0fxD．增函数且()0fx结束开始输入n2i(,)0?MODni输出i1ii是否高三数学（理科）试题第3页（共15页）10.已知双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点为F，过F作斜率为1的直线交双曲线的渐近线于点P，点P在第一象限，O为坐标原点，若OFP的面积为228ab，则该双曲线的离心率为A．53B．73C．103D．153第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知不共线的平面向量a，b满足(2,2)a，()()abab，那么||b；12.某班有50名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布2(110,10)N，已知(100110)0.34PX，估计该班学生数学成绩在120分以上的有人；13.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是；14.若函数()sin()(0,0)6fxAxA的图象如图所示,则图中的阴影部分的面积为；15.若不等式2222()yxcxxy对任意满足0xy的实数,xy恒成立，则实数c的最大值为．311x23Oy第14题图64644俯视图正（主）视图侧（左）视图2第13题图高三数学（理科）试题第4页（共15页）三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）已知向量2(sin,cos)33xxak,(cos,)3xbk,实数k为大于零的常数，函数()fxab,Rx，且函数()fx的最大值为212.（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）在ABC中，,,abc分别为内角,,ABC所对的边，若2A，()0fA,且210a,求ABAC的最小值.17．（本小题满分12分）为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度.不超过22公里的地铁票价如下表：乘坐里程x（单位：km）06x612x1222x票价（单位：元）345现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过22公里.已知甲、乙乘车不超过6公里的概率分别为14，13，甲、乙乘车超过6公里且不超过12公里的概率分别为12，13.（Ⅰ）求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望．高三数学（理科）试题第5页（共15页）18．（本小题满分12分）如图，在正四棱台1111ABCDABCD中，11ABa，2ABa，12AAa，E、F分别是AD、AB的中点.（Ⅰ）求证：平面11EFBD∥平面1BDC；（Ⅱ）求二面角1DBCC的余弦值的大小.注：底面为正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心，这样的四棱锥叫做正四棱锥.用一个平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，底面与截面之间的部分叫做正四棱台.19．（本小题满分12分）设{}na是等差数列，{}nb是各项都为正整数的等比数列，且111ab，13250ab，82345abaa，*Nn．（Ⅰ）求{}na，{}nb的通项公式；（Ⅱ）若数列{}nd满足218log11()2nbnndd（*Nn），且116d，试求{}nd的通项公式及其前n项和nS．C1BEDFAB1A1D1C高三数学（理科）试题第6页（共15页）20．（本小题满分13分）已知抛物线1:C22(0)ypxp的焦点为F，抛物线上存在一点G到焦点的距离为3，且点G在圆:C229xy上．（Ⅰ）求抛物线1C的方程；（Ⅱ）已知椭圆2:C22221(0)xymnmn的一个焦点与抛物线1C的焦点重合，若椭圆2C上存在关于直线:l1143yx对称的两个不同的点，求椭圆2C的离心率e的取值范围．21．（本小题满分14分）已知函数1()1lnafxxx（a为实数）．（Ⅰ）当1a时，求函数()fx的图象在点11(,())22f处的切线方程；（Ⅱ）设函数2()32haaa（其中为常数），若函数()fx在区间(0,2)上不存在极值，且存在a满足()ha18，求的取值范围；（Ⅲ）已知*Nn，求证：11111ln(1)12345nn．高三数学（理科）试题第7页（共15页）高三自主诊断试题数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．DCBABCACBC二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.2212.813.3214．23215．224三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知2()(sin,cos)(cos,)333xxxfxabkk221cos12223sincoscossin(sincos)3332322332xxxxxkxxkkkkk……2分2222222(sincos)sin()2232322342kxxkkxk……………………5分因为Rx，所以()fx的最大值为(21)2122k，则1k…………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，221()sin()2342xfx，所以221()sin()02342AfA化简得22sin()342A因为2A，所以25123412A高三数学（理科）试题第8页（共15页）则2344A，解得34A…………………………………………………8分因为22222240cos222bcabcAbcbc，所以22240bcbc则2224022bcbcbcbc，所以4020(22)22bc……………10分则32cos20(12)42ABACABACbc所以ABAC的最小值为20(12)…………………………………………………12分17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意可知，甲、乙乘车超过12公里且不超过22公里的概率分别为14，13则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率111111114323433P……………2分所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率1121133PP…………………4分（Ⅱ）由题意可知，6,7,8,9,10则111(6)4312P11111(7)43234P1111111(8)4343233P11111(9)23434P111(10)4312P………………………………………………………………10分所以的分布列为678910P112141314112高三数学（理科）试题第9页（共15页）则11111()67891081243412E……………………………………12分18．（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）连接11AC，AC，分别交11,,BDEFBD于,,MNP，连接1,MNCP由题意，BD∥11BD因为BD平面11EFBD，11BD平面11EFBD，所以BD∥平面11EFBD…………2分又因为11,2ABaABa，所以1111222MCACa又因为E、F分别是AD、AB的中点，所以1242NPACa所以1MCNP又因为AC∥11AC，所以1MC∥NP所以四边形1MCPN为平行四边形所以1PC∥MN因为1PC平面11EFBD，MN平面11EFBD，所以1PC∥平面11EFBD因为1PCBDPI，所以平面11EFBD∥平面1BDC…………………………………5分（Ⅱ）连接1AN，因为11AMMCNP，又1AM∥NP所以四边形1ANPM为平行四边形，所以PM∥1AN由题意MP平面ABCD，1AN平面ABCD，1ANAN因为11ABa，2ABa，12AAa，所以221162ANAAANaMPC1BEDFAB1A1D1CMNPxyz高三数学（理科）试题第10页（共15页）因为ABCD为正方形，所以ACBD所以，以,,PAPBPM分别为,,xyz轴建立如图所示的坐标系则(0,2,0)Ba，(0,2,0)Da，(2,0,0)Ca，126(,0,)22Caa所以(0,22,0)BDauuur，126(,2,)22BCaaauuur，(2,2,0)BCaauuur………………………………………………………7分设1111(,,)nxyzuur是平面1BDC的法向量，则11100nBCnBDuuruuuruuruuur1111262022220axayazay，10y，令11z，则13x，所以1(3,0,1)nuur……………………………………………9分设2222(,,)nxyzuur是平面1BCC的法向量，则21200nBCnBCuuruuuruuruuur22222262022220axayazaxay令21y，则21x，233z所以23(1,1,)3nuur………………………………11分所以12121233073cos,72123nnnnnn