第三章 矩阵的初等变换 1

2020/2/121第三章矩阵的初等变换与线性方程组本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念,并提出求秩的有效方法。再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程组有非零解的充分必要条件和非齐次线性方程组有解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法．2020/2/122§1矩阵的初等变换与一、线性方程组求解矩阵初等变换2020/2/123引例消元法解线性方程)1(求解线性方程组,97963,42264,42,224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx1342分析：用消元法解下列方程组的过程．22020/2/124解)(1B)1()(2B2132,97963,232,22,424321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx134221323314,3433,6355,0222,424324324324321xxxxxxxxxxxxx1342)1(,97963,42264,42,224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx13422020/2/125)(3B)(4B,3,62,0,42444324321xxxxxxxxx1342522133422,00,3,0,4244324321xxxxxxxx134232443用“回代”的方法求出解：2020/2/126于是解得33443231xxxxx方程组的解可记作或令,3cx,3344321cccxxxxx.为任意常数其中c30340111cx即（2）,00,3,0,4244324321xxxxxxxx13422020/2/127小结：1．上述解方程组的方法称为消元法．2．始终把每一个方程看作一个整体变形，用到如下三种变换（1）交换方程次序；（2）以不等于０的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍．ij（与相互替换）（以替换）ikij（以替换）iki2020/2/1283．上述三种变换都是可逆的．由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．ji)(A若),(B)(B则);(Ajik)(A若),(Bji)(A若),(Bik)(B则);(Aik)(B则).(Akji2020/2/129因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算．若记97963422644121121112)(bAB则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(称为方程组（1）的增广矩阵）的变换．2020/2/1210定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换:）；记作两行对调两行（对调jirrji,,1;02乘以某一行的所有元素以数k）记作行乘（第krkii,.3）记作行上倍加到第行的对应的元素上去（第倍加到另一行把某一行所有元素的jikrrikjk二、矩阵的初等变换2020/2/1211定义2矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换．初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．jirrkri逆变换;jirr逆变换;)1(krkrii或jikrr逆变换.)(jijikrrrkr或2020/2/1212等价关系的性质：．等价，记作与就称矩阵，矩阵经有限次初等变换变成如果矩阵BABABA~具有上述三条性质的关系称为分类关系．例如，两个线性方程组同解，两个线性方程组对应的矩阵等价A~)1(A反身性；，则对称性A~BB~)2(A.C~AC~BB~)3(，则，传递性A2020/2/1213)1(求解线性方程组,97963,42264,42,224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx134297963422644121121112B方程的增广矩阵为：2020/2/1214用矩阵的初等行变换解方程组（1）：97963422644121121112B197963211322111241211B21rr23r2020/2/1215331000620000111041211B979632113221112412111B13322rrrr143rr234330635500222041211B13322rrrr143rr23252rrr243rr2020/2/1216500000310003011040101B310006200001110412113B43rr342rr400000310000111041211B43rr342rr21rr32rr2020/2/1217对应的方程组为5B33443231xxxxx方程组的解可记作或令,3cx3344321cccxxxxx30340111c.为任意常数其中c2020/2/1218.54都称为行阶梯形矩阵和矩阵BB特点：（1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；500000310003011040101B（2）、每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．400000310000111041211B2020/2/1219500000310003011040101B400000310000111041211B.15的其他元素都为零列，且这些非零元所在的零行的第一个非零元为即非还称为行最简形矩阵，行阶梯形矩阵B.,Anm和行最简形变换把他变为行阶梯形总可经过有限次初等行对于任何矩阵2020/2/1220000003100030110401015B214ccc3215334cccc例如，F000000010000010000010000030100310104100143cc00000301003001040001.的标准形称为矩阵矩阵BF行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形．2020/2/1221.为零阵，其余元素全的左上角是一个单位矩F标准形总可经过初等变换化为矩阵AnmnmrOOOEF.,,的行数行阶梯形矩阵中非零行就是三个数唯一确定，其中此标准形由rrnm特点：所有与矩阵等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形是这个等价类中最简单的矩阵.AF2020/2/1222三、小结1.初等行(列)变换;1jijiccrr;2kckrii.3jijikcckrr初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．3.矩阵等价具有的性质;1反身性;2对称性.3传递性2.A初等变换B.~BA2020/2/12233.矩阵的等价标准型;)1(阶梯型行最简型；)2(.)3(标准型0000031000301104010100000310000111041211000000010000010000012020/2/1224思考题已知四元齐次方程组及另一00:4221xxxxI四元齐次方程组的通解为II.,1,2,2,10,1,1,02121RkkkkTT.,;,?说明理由有若没求出来若有是否有非零公共解与问III2020/2/1225思考题解答解得的通解代入将III0202221212kkkkkk.21kk的公共解为与故IIITTTkkk1,1,1,11,2,2,10,1,1,0221所有非零公共解为.01,1,1,1kkT2020/2/1226§2矩阵的秩2020/2/1227.,数是唯一确定的梯形矩阵中非零行的行梯形，行阶把它变为行阶变换总可经过有限次初等行任何矩阵nmA.,,12阶子式的称为矩阵阶行列式，的中所处的位置次序而得变它们在不改元素处的个），位于这些行列交叉列（行中任取矩阵在定义kAkAknkmkkkAnm一、矩阵秩的概念矩阵的秩.个阶子式共有的矩阵knkmCCkAnm2020/2/1228..)(0102等于零并规定零矩阵的秩的秩，记作称为矩阵的最高阶非零子式，数称为矩阵，那末于）全等阶子式（如果存在的话，且所有式阶子的中有一个不等于设在矩阵定义ARArADrDrA.)(子式的最高阶数中不等于零的是的秩矩阵AARAnm，对于TA).()(.1ARART显然有.,min)(.2nmAR？级子式02r2020/2/1229例1.174532321的秩求矩阵A解中，在A，阶子式只有一个的又AA3.03221，且0A.2)(AR174532321A111011103212020/2/1230例2.00000340005213023012的秩求矩阵B解行，其非零行有是一个行阶梯形矩阵，3B.4阶子式全为零的所有B,0400230312而.3)(BR2020/2/1231例3，求该矩阵的秩．已知510231202231A,022031102120231502320231解计算A的3阶子式，,0,0510312223512310221,0,0.0.2AR2020/2/1232做初等变换，对矩阵510231202231A另解,000031202231~510231202231显然，非零行的行数为2，.2AR此方法简单！2020/2/1233.,梯形等行变换把他变为行阶总可经过有限次初因为对于任何矩阵nmA问题：经过变换矩阵的秩变吗？.,~1BRARBA则若定理证二、矩阵秩的求法).()(BRARBA则，经一次初等行变换变为先证明：若.0)(rDrArAR阶子式的某个，且设2020/2/1234时，或当BABAkrrriji时，分三种情况讨论：当BAjikrr,.rrDDB相对应的子式中总能找到与在,rrrrrrkDDDDDD或或由于.)(0rBRDr，从而因此行；行但不含第中含第）（行；行和第中同时含第）（行；中不含第）（jiDjiDiDrrr32