赵树嫄-《微积分(第四版)》第八章-多元函数微积分(1)

1第八章多元函数微积分2前面几章讨论的函数都只有一个自变量，称一元函数。但在实际问题中，往往牵涉到多方面的因素，反映到数学上，就是一个变量依赖于多个变量的情形，这就提出了多元函数以及多元函数微积分问题。本章将在一元微积分的基础上，讨论多元函数的微分法和积分法，主要讨论二元的情况。3第一节空间解析几何简介(一)空间直角坐标系1、坐标系的建立在空间中取定一点O，定点ox横轴y纵轴过O点作三条相互垂直的数轴Ox,Oy,Oz,各轴上再规定一个共同的长度单位，这就构成了一个空间直角坐标系。称O为坐标原点，z竖轴称数轴Ox,Oy,Oz为坐标轴，坐标轴确定的平面为坐标平面，简称xy,yz,xz平面.称由两4(一)空间直角坐标系1、坐标系的建立定点ox横轴y纵轴z竖轴第一节空间解析几何简介空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系.即以右手握住z轴，当右手的四个手指度转向y轴正向时，大拇指的指向就是z轴的正向。从x轴正向以角25Ⅶxyozxoy面yoz面zox面空间直角坐标系共有八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ6空间的点有序数组),,(zyx11特殊点的表示:)0,0,0(O)0,0,(xP)0,,0(yQ),0,0(zR)0,,(yxA),,0(zyB),,(zoxC坐标轴上的点,P,Q,R坐标面上的点,A,B,Cxyzo),,(zyxM一个分量为零:点在坐标面上.两个分量为零:点在坐标轴上.7(二)空间两点间的距离POxyzRQR1R2P2P1Q1Q2M2M1N,),,(1111zyxM设),,(2222zyxM为空间两点,两点间的距离公式：22122122121)()()(||zzyyxxMM8例1在z轴上求与两点A(4,1,7)和B(3,5,2)等距离的点.设该点为M(0,0,z),由题设|MA|=|MB|,即222222)2()05()03()7()01()04(zz解得，914z即所求点为.)914,0,0(M解9(三)曲面与方程F(x,y,z)=0Sxyzo定义:若曲面S与三元方程F(x,y,z)=0有如下关系:(1)S上任一点的坐标都满足方程F(x,y,z)=0；(2)坐标满足方程F(x,y,z)=0的点都在S上；那末,方程F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程，而曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形。10已知)0,1,1(A，)2,0,2(B，求线段AB的垂直平分面的方程.例2解设),,(zyxM是所求平面上任一点，根据题意有|,|||MBMA222)1()1(zyx,)2()2(222zyx化简得所求方程.032zyx11M0建立球心在点),,(0000zyxM、半径为R的球面方程.MR设),,(zyxM是球面上任一点，，RMM||0根据题意有，即Rzzyyxx202020)()()(.)()()(2202020Rzzyyxx所求方程为特殊地：球心在原点时方程为.2222Rzyx球面方程：12求球面方程02642222zyxzyx的球心和半径.例3解2642222zyxzyx,0214)3()2()1(222zyx即,16)3()2()1(222zyx因此，球心为(1,-2,3)，半径为R=4.13常见的空间曲面：1º平面0DCzByAx平面的一般方程：其中A,B,C不全为零.,0z例如：面即xoyxyoz,1yxyoz(0,1,0)14常见的空间曲面：1º平面0DCzByAx平面的一般方程：其中A,B,C不全为零.,0yx例如：,2zyxxyozoy(2,0,0)xz(0,2,0)(0,0,2)2zyx152º柱面定义平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称为柱面。这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。16xyzo例4考虑方程x2+y2=R2所表示的曲面。ol在xoy面上,x2+y2=R2表示以原点O为圆心,半径为R的圆。曲面可以看作是由平行于z轴的直线L沿xoy面上的圆x2+y2=R2移动而形成,称该曲面为圆柱面。17例5画出下列柱面的图形：xozyxozy2xy抛物柱面xy平面18例6指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？;2)1(x;4)2(22yx.1)3(xy解平行于y轴的直线平行于yoz面的平面圆心在)0,0(，半径为2的圆以z轴为中心轴的圆柱面斜率为1的直线平行于z轴的平面平面解析几何中空间解析几何中2x422yx1xy方程193º二次曲面三元二次方程yzbxzbxybzayaxa321232221所表示的曲面称为二次曲面，其中iiba,不全为零。二次曲面方程经过配方和适当选取空间直角坐标系后，可以化成如下几种标准形式。0321dzcycxc20zxyO用坐标面z=0,x=0和y=0去截割,分别得椭圆012222zbyax1222222czbyax,012222xczby.012222yczax(1)椭球面21(2)单叶双曲面xyoz1222222czbyax(3)双叶双曲面xyo1222222czbyax22oxzy(4)椭圆锥面22222zbyax特殊情况：,ba2222zayx--圆锥面.22yxzzxy23xyzo(5)椭圆抛物面zqypx222)(同号与qp0,0qp22yxzoyzx旋转抛物面24(6)双曲抛物面(马鞍面)xyzozqypx222)(同号与qp25(一)多元函数的定义第二节多元函数的概念设D是平面上的一个点集，如果对于每个点DyxP),(，变量z按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称z是变量yx,的二元函数，记为),(yxfz（或记为)(Pfz）.当2n时，n元函数统称为多元函数.类似地可定义三元及三元以上函数。多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念。26例1设长方体的长、宽、高分别为x,y,z，则长方形的体积xyzzyxV)0,0,0(zyx例2在西方经济学中，著名的Cobb—Douglas生产函数为,LCKyL0，K0分别表示投入的劳力数量和资本数量，y表示产量。当K,L的值给定时，y就有一确定值与之对应，因此称y是K,L的二元函数。这里为常数，,,C27(二)二元函数的定义域平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集，例如，平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合可表示为xyor记作}|),({222ryxyxC}P),(|),({具有性质yxyxE28平面区域：不包含边界的区域称为开区域。}.41|),{(22yxyx例如，xyo}.41|),{(22yxyx例如，xyo平面区域是由一条或几条曲线(或直线)所围成的平面的一部分。包含边界的区域称为闭区域。29}0|),{(yxyx函数)ln(yxz的定义域为xyo30解01|3|222yxyx22242yxyx所求定义域为}.,42|),{(222yxyxyxD求222)3arcsin(),(yxyxyxf的定义域．例3xyo2231(三)二元函数的几何意义二元函数的图形通常是一张曲面。32xyzoyxzsin再如,图形如右图.2222azyx例如,球面.}),{(222ayxyxD222yxaz222yxaz单值分支:33(一)邻域第三节二元函数的极限与连续设),(000yxP是xoy平面上的一个点，是某一正数，与点),(000yxP距离小于的点),(yxP的全体，称为点0P的邻域，记为),(0PU，0P}||{),(00PPPPU})()(|),({2020yyxxyx点0P的去心邻域,记作),(0PU,即})()(0|),({),(20200yyxxyxPU34设二元函数),(yxfz在点),(000yxP的某一去心邻域内有定义,如果存在常数A，对0,0,只要2020)()(0yyxx,恒有(二)二元函数的极限定义，|),(|Ayxf则称函数),(yxfz当),(),(00yxyx时以A为极限,记为.),(lim),(),(00Ayxfyxyx35证证明.01sin)(lim2222)0,0(),(yxyxyx|01sin)(|2222yxyx|1sin|||2222yxyx，22yx,0,，时当)0()0(022yx，|01sin)(|2222yxyx证毕．例4恒有无穷小乘以有界变量仍为无穷小。36例52222)0,0(),(cos1limyxyxyx2222)0,0(),()(21limyxyxyx.21在二元极限中，变量替换、等价无穷小替换等方法仍然可以使用。37例6求.lim222)0,0(),(yxyxyx解由基本不等式,)(21||22yxxy知222yxyx||21x00))0,0(),((yx由夹逼定理，.0lim222)0,0(),(yxyxyx22||||yxxyx2222||21yxyxx38(三)二元函数的连续性设二元函数),(yxfz在点),(000yxP的某一邻域内有定义,若定义，),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx则称),(yxfz在),(00yx处连续.一切二元初等函数在其定义域内都是连续的。例如，函数221yxz在}1|),({22yxyxD内连续.39xyxyyx11lim)0,0(),()11(11lim)0,0(),(xyxyxyyx111lim)0,0(),(xyyx.21一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。例7所以对多元初等函数来说,可以用“代入法”求极限.yxxyyxelim)1,0(),(.1例840有界闭区域上连续函数的性质在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值。在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。（1）最大值和最小值定理（2）介值定理41第四节偏导数与全微分(一)偏导数定义设函数),(yxfz在点),(00yx的某一存在，则称此极限为函数),(yxfz在点),(00yxxyxfyxxfx),(),(lim00000，00yyxxxz.00yyxxxz或邻域内有定义，当y固定在0y而x在0x处有增量x时，如果极限处对x的偏导数，记为42yyxfyyxfy),(),(lim00000偏导函数：记为，00yyxxyz.00yyxxyz或,,yzxz.yxzz，或2.偏导数的概念可以推广到二元以上函数。说明：1.偏导数实质上仍然是一元函数的微分问题；类似可定义函数),(yxfz在点),(00yx处对y的偏导数，为43求223yxyxz在点)2,1(处的偏导数．解xz,32yxyz,23yx，821yxxz.721yxyz例144设yxz)1,0(xx，证xz,1yyxyz,lnxxyyzxxzyxln1xxxyxyxyylnln11yyxx.2z所以原结论成立．例2求证zyzxxzyx2ln1.45解例3.)arctan(偏导数求的zyxuxu；zzyxyxzyu21)(1)(zu;)(12zyx1)(zyxz.)(12zyx)ln()(yxyx