相似理论与模型试验.

相似理论与模型实验授课对象：研究生授课教师：严仁军二О一四年十月Page2引言1.人们对自然规律的不倦探索在古代，人们以初等数学为工具从量的方面来探索自然界的规律性。但初等数学以研究常量为主，只能研究事物在静止状态下的规律性，这就大大限制了它在客观世界中被利用的范围。高等数学的出现，是人们认识客观世界的一个飞跃，也是探索自然规律的一种有力工具。但自然界的现象毕竟是错综复杂的。有许多实际问题至今靠高等数学尚不能全部解决或根本无法解决，于是逼使人们不得不走直接实验的道路。Page3但最先人们采用直接实验的方法发现它有着较大的局限性，在于它常常只能得出个别量之间的规律性关系，难以发现或抓住现象的全部本质，从而无法向实验条件范围以外的同类现象推广。但通过人们长期实践、总结，一种用于指导自然规律研究的全新理论——“相似理论”，便应运而生了。它是把数学解析法和试验法的优点结合起来，用来研究和解决生产和工程中的问题。这是科学研究的主要方法之一，也是解决生产和工程问题的一种有效方法。从而扩展了人们探索自然奥秘的领域。Page42.相似理论与模型试验相似理论——是说明自然界和工程中各种相似现象相似原理的学说。它的理论基础，是关于相似的三个定理。以相似理论为指导，形成研究自然界和工程中各种相似现象的新方法，即所谓的“相似方法”。“相似方法”——是一种可以把个别现象的研究成果，推广到所有相似的现象上去的科学方法。“模拟”——一般情况是指在实验室条件下，用缩小的（特殊情况下也有放大的）模型来进行现象的研究。Page5这样，又引伸出“模型试验”的概念。模型试验是相似方法的重要内容。在近代科学研究设计工作中，起着很重要的作用，从相似理论的角度出发，“模型”——是与物理系统密切有关的装置，通过对它的观察与试验，可以在需要的方面精确地预测系统的性能。这个被预测的物理系统，通常被叫做“原型”。Page6根据这个定义，为了利用一个模型，当然有必要在模型与原型间满足某种关系。这种关系称为模型设计条件，或系统的相似性要求。由此可见，相似理论与模型试验的关系是十分密切的，是整个问题的两个组成部分。在人类长期、广泛的实践活动中，二者是相辅相成、相得益彰，促成了整门学科的发展。Page73.模型试验的意义和现状模型试验的意义，可从五个方面加以说明：①模型试验作为一种研究手段，可以严格控制试验对象的主要参数而不受外界条件和自然条件的限制，做到结果准确。②模型试验有利于在复杂的试验过程中突出主要矛盾，便于把握、发现现象的内在联系。并且有时可用来对原型所得结论进行校验。③由于模型与原型相比，尺寸一般都是按比例缩小的。故制造加工容易，装拆方便，试验人员少，较之实物试验，能节省资金、人力和时间。Page8④模型试验能预测尚未建造出来的实物对象或根本不能直接研究的实物对象的性能。⑤当其它各种分析方法不可能采用时，模型试验就成了现象相似性问题唯一的和更为重要的研究手段。目前，相似理论和模型试验方法已用于物理、化学、工程结构、热力学、气象、航天等各个领域，并有着广泛的应用前景。Page9一、物理模拟和数学模拟物理模拟——是指基本现象相同情况下的模拟。这时模型与原型的所有物理量相同，物理本质一致。区别只在于各物理量的大小比例不同。因此，物理模拟也可说成是保持物理本质一致的模拟。（两个现象物理量及其性质相同，只有大小不同）。Page10数学模拟——是指存在于不同类型现象之间的模拟。这时模型与原型的物理过程有本质的区别，但它们的对应量都遵循着同样的方程式，具有数学上的相似性。如二阶运算子:▽2=的微分方程，可代表重力场、电势场、温度场等。这时，人们只要对不同的物理量建立起一一对应关系，便可用一个现象去类比另一不同现象的解。在工程中，常用电场来模拟温度场、材料的应力场和有限自由度的振动系统；用导热现象来模拟分子的扩散现象；以及在同一拉普拉斯方程指导下，用电解槽各点的点位来模拟不可压缩无粘性流体的运动、柱状弹性杆的自由扭转、薄膜的变形和一些热传导的问题。诸如此类的问题，都是数学模拟的实际例子。222222zyx02Page11下面以单自由度振动系统的电模拟法为例来说明这个问题。图1-1Page12右边代表一个L—R—C串联电路，现在要由它来模拟左边由k，m，μ组成的单自由度振动系统。作为它们一一对比的量是：电感L质量m电阻R阻尼μ电容C弹簧k外加电压E外力F，电荷q位移y，(——单位时间的电荷变化量，即为电流I。)qPage13它们之间方程式和初始相似性在于：机械系统（1-1）电路系统（1-2）所以，只要适当地选择各种物理量和初始条件，就能使y(t)和q(t)在对应的时间内完全成比例地变化，因此，通过测量各种电量就能换算出位移、速度等机械量。类似这种电路系统，当其适应性很强时，就是通常所说的模拟计算机。00,0)(yyyyttFkyyym时，00,0)(qqqqttECqqRqL时，Page14物理模拟和数学模拟各有其特点:物理模拟可把具体的现象再现出来，较之数学模拟能更全面地表现被模拟的现象。而对于复杂现象，物理模拟又不可从根本上依赖、或根本不依赖于所说的物理方程。反之，数学模拟由于以方程为基础，可较方便地看出各种参量对结果的影响，进行不同现象结构的对比。指出哪一些参量是重要的。它在实际模拟过程中易于控制，可代替对于原型的较为繁难的数学计算和物理模拟中对于原型的较为复杂的模型试验。这些是它的优点。如前所述，农机-土壤系统由于与土壤发生关系，属于比较复杂的物理现象，故在目前条件下，只能从物理模拟的角度去研究它的相似性问题。Page15二、相似的概念2.1各种物理量的相似相似这一概念，是从初等几何学借用过来的。例如两个三角形（图2-1），如果对应的角各各相等，或对应的边保持相同的比例，则称两个三角形相似。这是平面相似问题，属于这类问题的，还有各种多边形、圆、椭圆等。空间也可以实现几何相似。如三角锥、立方体、长方体、球、椭圆等的相似都属于空间相似。图2-1Page16推而广之，各种物理现象也都可以实现相似。它们的各种物理量（如时间、力、速度等）都可以抽象为二维、三维或多维空间（即超空间）的坐标，从而把现象相似简化为一般的几何学问题。Page17下面举例说明各种物理量相似的定义。时间相似时间相似是指对应的时间间隔成比例，可举内燃机的两个相仿的压力指示图为例（图2-2）。图中，时间相似用公式表示，即（2-1）常数tctttttt'33'22'11图2-2Page18力相似力相似是指力场的几何相似，它表现为所有对应点上的作用力都有各相一致的方向，而其大小则相应地成比例。可举具有几何相似的索多边形的两个变截面梁为例（图2-3）。图中，力相似可用下二公式表示（2-2）（2-3）力相似又称动力学相似。常数lcllllll'33'22'11常数fcffff'22'11图2-3Page19速度相似速度相似是指速度场的几何相似，它表现为各对应点、对应时刻上的向量方向一致，而大小成比例。可举不同直径的圆管内液体的层流运动为例（图2-4）。图中，速度相似用公式表示，即（2-4）速度相似如辅之以加速度相似，则可笼统的称为运动学相似常数iiicvvvvvv''22'11...图2-4Page20除此而外，就独立的物理变量而言，还有压力相似、温度相似、浓度相似等多种。综上所述，可知在作相似分析时，如式（2-1）~（2-4）所示的一类相似条件是十分重要的，其中等，可统称为相似常数。vflicccc,,,Page212.现象相似与物理量相似的关系物理量蕴于现象之中，现象的相似是通过多种物理量的相似来表现的。由于用来表示现象特征的各种物理量，一般来说是不孤立的、互不关联的，而是处在为自然规律所决定的一定关系之中，所以各种相似常数的大小，是不能随意选择的。由于在许多情况下，这种关系表现为数学方程的形式，并且当现象相似时，这些方程又具有同一的形式，因而便决定了在各相似常数间必定存在着某种数学上的约束关系，或数学联系。Page22例如，热力设备中的各种现象，如流体的运动，热量的交换等，都伴随着许多物理量的变化。对于这种伴随有许多物理量变化的现象，相似是指表述此种现象的所有物理量在空间相对应的各点及时间上相对应的各瞬间各自互成一定的比例关系，并且被约束在一定的数学关系之中。在土壤—机器系统中，各种现象，如拖拉机（或汽车、机械工程、坦克等）的驱动力矩、滑转率、下陷深度、滚动阻力等的变化，也都首先被许多自变物理量，诸如土壤抗剪强度τ，承载能力p，外附力a，内聚力c，内摩擦角φ以及湿度ω等的变化所决定的。它们的相似，自然也要把各种物理量抽象为多维空间的坐标，使之在相对应的点和相对应的时刻上各自互成一定的比例关系。但它们的相似内容和相似条件较之式（2-1）-（2-4）所示的一类相似，要复杂的多，因此给模型研究带来了许多新的内容和问题。Page23以上谈到的各种相似基本是三大类：一般几何相似；动力学相似和运动学相似。结合物理物理系统各类相似的特点，三者的地位、意义可以这样来描述：即任二系统，如果在几何学、动力学和运动学上都达到了相似，则该二系统的性能相似。其中，几何学相似较易通过人为的努力实现，而运动学相似又是随着几何学相似和动力学相似而得到表现的。因此，三类相似动力学相似是关键。凡是在几何相似条件下由动力学相似获得的解，理应满足运动学相似。Page24实际上，取决于现象的运动学特征，在几何学、动力学相似得以实现的情况下，运动学未必相似，这时就有必要控制运动学参量的数值范围，将其影响缩减至最小，或予以忽略。这一点，对于今后用相似理论和模型试验来解决实际问题（其中特别是复杂现象的相似问题），具有指导意义。在一般场合下，当谈到几何相似时，都是指的初等几何相似。现象除了以上三类相似，还包含有材料或介质特性等一类物理学的相似。但由于在它们的测量单位中包含有几何参量、运动学参量和动力学参量的量纲成分，所以从概念上说，此类相似不能自成范畴，只能被列作模型设计条件或设计的相似性要求，或构成其中的一种成分。Page25三、相似三定理相似理论的理论基础是相似三定理。相似三定理的实用意义在于指导模型的设计及有关实验数据的处理和推广，并在特定情况下，根据经过处理的数据，提供建立微分方程的指示。对于一些复杂的物理现象，相似理论还进一步帮助人们科学而简捷地去建立一些经验性的指导方程。工程上的许多经验公式，就是由此而得。Page26相似理论的作用如此，就必须首先从理论上说：1.相似现象具有什么性质；2.个别现象的研究结果如何推广到所有相似的现象中去；3.满足说明条件才能实现现象相似。弄清楚这些问题，才能相应解答模型试验中的这样几个问题：1.模型试验需要测量哪些物理量；2.如何整理实验结果，使之推广到原型等相似现象中去；3.模型试验应遵守什么条件。Page273.1相似第一定理（相似正定理）相似第一定理可表述为—对相似的现象，其相似指标等于1。或—对相似的现象，其相似准则的数值相同。它是说明相似现象的性质，也是现象相似的必然结果。相似现象的相似性质：①相似现象能为文字上完全相同的方程组所描述。其中大多数的物理现象，其关系方程又可用微分方程的形式获得，如质点运动方程和力学方程分别为：（3-1)(3-2)②用来表征这些现象的一切物理量在空间相对应的各点和时间上相对应的各瞬间各自互成一定的比例关系。如以角标“'”、“”表示两个现象发生在同一对应点和同一对应时刻的同类量，则参考式（3-1）、（3-2），有：dtdvmfdtdlvPage28fmvtlcffcmmcvvcttcll（3-3）式中均为相似常数。fmvilccccc,,,,Page29③各相似常数值不能任意选择，它们要服从于某种自然规律的约束。我们来研究式（3-1）。为此将有关的相似常数项改写为（3-4）式（3-1）实际