中考数学几何初步与三角形

第一节基本平面图形和相交线与平行线第二节三角形与全等三角形第三节等腰三角形与直角三角形第四节解直角三角形第四章几何初步与三角形第一节基本平面图形和相交线与平行线知识点一直线、射线与线段1．直线、射线与线段的区别直线_____端点，射线有1个端点，线段有__个端点．2．基本事实(1)经过两点有且只有一条直线，即_____确定一条直线．(2)两点之间的所有连线中，_____最短．简称两点之间线段最短．没有2两点线段3．两点之间的距离两点之间线段的_____，叫做这两点之间的距离．4．线段的中点：若点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，点M叫做线段AB的中点．这时AM＝BM＝AB(或AB＝2AM＝2BM)．12长度知识点二角1．角的定义(1)由两条具有公共端点的_____所组成的图形叫做角．两条射线的公共端点是这个角的顶点．(2)一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形也叫做角．射线2．角的分类按照角的大小，角可分为锐角、_____、_____、平角和周角．1周角＝360°＝2平角＝4直角；1°＝60′，1′＝60″.直角钝角3．余角、补角(1)余角：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角．即若α＋β＝90°，则α，β互为余角．同角或等角的余角_____．(2)补角：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角．即α＋β＝180°，则α，β互为补角．同角或等角的补角_____．相等相等4．角的平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个_____的角，这条射线叫做这个角的平分线．相等∠8∠7∠8∠5知识点三相交线1．对顶角的性质：对顶角相等．2．三线八角(1)同位角：∠1与∠5，∠2与∠6，∠4与____，∠3与____．(2)内错角：∠2与____，∠3与∠5.(3)同旁内角：∠3与∠8，∠2与____．3．垂直性质(1)在平面内，过一点_________一条直线与已知直线垂直．(2)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，_______最短．4．点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．有且只有垂线段知识点四平行线1．平行公理(1)过直线外一点，_________一条直线与这条直线平行．(2)平行于同一条直线的两条直线_______．2．性质与判定(1)同位角_____⇔两直线平行．(2)内错角相等⇔两直线_____．(3)同旁内角_____⇔两直线平行．有且只有平行相等平行互补知识点五定义、命题与定理1．命题(1)命题：判断一件事情的句子，叫做命题，一个命题由_____和_____两部分组成．命题可分为真命题和假命题两类．条件结论(2)互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的_____和_____，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．2．定理：经过证明的真命题叫做定理．结论条件知识点六尺规作图1．尺规作图：我们把只能使用_______和_________的直尺这两种工具去作几何图形的方法称为尺规作图．2．常见的五种基本作图：(1)作一条线段等于已知线段；(2)作一个角等于已知角；(3)作角平分线；(4)过一点作已知直线的垂线；(5)作线段的垂直平分线.圆规没有刻度考点一有关线段和角的计算(5年2考)例1(2015·济南)如图，OA⊥OB，∠1＝35°，则∠2的度数是()A．35°B．45°C．55°D．70°【分析】根据两个角的和为90°，可得两角互余，可得答案．【自主解答】∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，即∠2＋∠1＝90°，∴∠2＝55°.故选C.涉及角度或线段的计算时，经常用到角平分线、线段的中点的性质．尤其在角的计算中，还需要注意余角、补角性质的运用，同时，注意三角尺的角是30°，45°，60°，90°等隐含条件的应用．1．(2014·济南)如图，点O在直线AB上，若∠1＝40°，则∠2的度数是()A．50°B．60°C．140°D．150°2．如图，已知线段AB＝6，延长线段AB到C，使BC＝2AB，点D是AC的中点，则BD＝__．C33．已知∠1的补角是133°21′，则它的余角是_________；下午14点半，钟面上的时针与分针的夹角是____度．43°21′105考点二定义、命题与定理(5年1考)例2(2014·济南)下列命题中，真命题是()A．两对角线相等的四边形是矩形B．两对角线互相平分的四边形是平行四边形C．两对角线互相垂直的四边形是菱形D．两对角线相等的四边形是等腰梯形【分析】根据多边形的判定方法进行判断即可．【自主解答】两对角线相等的平行四边形是矩形，故A选项错误；两对角线互相平分的四边形是平行四边形，故B选项正确；两对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C选项错误；两对角线相等的梯形是等腰梯形，故D选项错误．故选B.4．(2017·高新一模)下列命题是真命题的是()A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是正方形C．一组对边平行的四边形是平行四边形D．四边相等的四边形是菱形D5．(2016·市中二模)下列命题：①对顶角相等；②两点之间线段最短；③相等的角是对顶角；④同位角相等．其中假命题有()A．0个B．1个C．2个D．3个C考点三平行线的性质与判定(5年4考)例3(2017·济南)如图，直线a∥b，直线l与a，b分别相交于A，B两点，AC⊥AB交b于点C，∠1＝40°，则∠2的度数是()A．40°B．45°C．50°D．60°【分析】由a∥b求得∠ABC，根据直角三角形两锐角互余，即可求得答案．【自主解答】∵a∥b，∴∠ABC＝∠1＝40°.又∵∠BAC＝90°，∴∠2＝50°.故选C.6.(2013·济南)如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝130°，则∠2的度数是()A．130°B．60°C．50°D．40°C7．(2016·济南)如图，直线l1∥l2，等腰直角△ABC的两个顶点A，B分别落在直线l1，l2上，∠ACB＝90°.若∠1＝15°，则∠2的度数是()A．35°B．30°C．25°D．20°B考点四尺规作图(5年0考)例4如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD.若CD＝AC，∠B＝25°，则∠ACB的度数为．12【分析】首先根据题目中的作图方法确定MN是线段BC的垂直平分线，然后利用垂直平分线的性质解题即可．【自主解答】由题中作图方法可知，MN为线段BC的垂直平分线，则CD＝BD.∵∠B＝25°，∴∠DCB＝∠B＝25°，∴∠ADC＝50°.∵CD＝AC，∴∠A＝∠ADC＝50°，∴∠ACD＝80°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝80°＋25°＝105°.故答案为105°.讲：尺规作图的依据常见的尺规作图一般有五种，在复习时，要掌握每一种尺规作图的基本步骤，并理解其中的作图依据，往往会因为不理解其中的作图依据而出错．练：链接变式训练88．已知点C在∠AOB的OB边上，用尺规过点C作CN∥OA，作图痕迹如图所示，下列对的描述，正确的是()A．以点C为圆心，OD的长为半径的弧B．以点C为圆心，OM的长为半径的弧C．以点E为圆心，DM的长为半径的弧D．以点E为圆心，CE的长为半径的弧C第二节三角形与全等三角形知识点一三角形的概念1．三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形．三角形有3条边、3个顶点和3个内角．三角形具有稳定性．2．三角形的分类(1)按角分：三角形(2)按边分：三角形锐角三角形直角三角形钝角三角形不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形知识点二三角形的边、角关系1．三角形的边的关系(1)三角形任意两边之和_____第三边．(2)三角形任意两边之差_____第三边．2．三角形的角的关系(1)三角形三个内角的和等于______；特别地，当有一个内角是90°时，其余的两个内角互余．大于小于180°(2)三角形的外角和等于______．(3)三角形的任意一个外角_____和它不相邻的两个内角的和，三角形的任意一个外角_____任意一个和它不相邻的内角．360°等于大于知识点三三角形中的重要线段1．三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边_______的线段，叫做这个三角形的中线．一个三角形有3条中线，都在三角形的内部．2．三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的_____叫做三角形的高．一个三角形有3条高，可能在三角形内部，也可能在三角形上，还可能在三角形的外部．中点线段3．三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．一个三角形有3条角平分线，都在三角形的内部．4．三角形的中位线：连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线．一个三角形有3条中位线，都在三角形的内部．三角形的中位线_____于第三边且等于第三边的_______．平行一半三角形的中线、高、角平分线、中位线都是线段，注意区分三角形的角平分线与角的平分线的区别，前者是线段，后者是射线．知识点四全等三角形1．全等三角形的性质：全等三角形的_______相等，_______相等．全等三角形的对应线段(高、中线、角平分线)、周长、面积分别对应_____．2．全等三角形的判定(1)一般三角形全等的条件：____，____，____，____.(2)直角三角形全等的条件：除上述四种判别方法外，还有___．对应边对应角相等SSSASASASAASHL考点一三角形的三边关系(5年0考)例1(2017·包头)若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为()A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm【分析】分为两种情况：2cm是等腰三角形的腰或2cm是等腰三角形的底边，然后根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．【自主解答】若2cm为等腰三角形的腰长，则底边长为10－2－2＝6(cm)，2＋2＜6，不符合三角形的三边关系；若2cm为等腰三角形的底边，则腰长为(10－2)÷2＝4(cm)，此时三角形的三边长分别为2cm，4cm，4cm，符合三角形的三边关系．故选A.讲：忽略三角形三边关系的条件三条线段能够组成三角形，必须满足：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．在解答此类问题时，容易忽略三边是否满足组成三角形的条件．练：链接变式训练21．(2017·金华)下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是()A．2，3，4B．5，7，7C．5，6，12D．6，8，102．(2016·贺州)一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为()A．12B．16C．20D．16或20CC考点二三角形内角和定理及其推论(5年2考)例2一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M.如果∠ADF＝100°，那么∠BMD为度．【分析】先根据∠ADF＝100°求出∠MDB的度数，再根据三角形内角和定理得出∠BMD的度数即可．【自主解答】∵∠ADF＝100°，∠EDF＝30°，∴∠MDB＝180°－∠ADF－∠EDF＝180°－100°－30°＝50°，∴∠BMD＝180°－∠B－∠MDB＝180°－45°－50°＝85°.故答案为85.三角形内角和定理及推论主要解决以下几种问题：(1)已知两个内角求第三个内角，根据三个角的大小判定三角形的形状；(2)三角形的一个外角和与其不相邻的两个内角中，已知二者求第三者；(3)比较不同三角形中角的大小．3．(2016·天桥二模)若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，那么这个三角形是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形B4．如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别相交于E，F两点，EP平分∠AEF，过点F作FP⊥EP，垂足为P.若∠PEF＝30°，则∠PFC等于()A．3