计量方法与误差理论CH3-1

计量方法与误差理论刘震教研室：主楼C1-316电话：61830316邮箱：[e-mail]自动化工程学院教师空间-------误差理论与数据处理计量方法与误差理论第1章测试计量基础•测试计量有关的基本概念•量值传递与检定测试•计量误差第2章各种物理量的测试计量•基本测试计量方法•时间频率、电磁学、无线电电子测试计量•几何量、温度、力学、光学计量测试计量第3章经典误差理论•误差性质与处理•误差的合成与分配第4章测量不确定度•度量方法•合成方法第5章静态测量数据处理•最小二乘法•回归分析第6章动态数据处理•动态测试基本理论•动态测试误差理论•动态测试数据处理方法参考书目1.周渭，测试与计量技术基础，西安电子科技大学出版社，20042.梁晋文，误差理论与数据处理，中国计量出版社，2001第二部分:误差理论与数据处理第三章经典误差理论——本章要点随机误差的数字特征和精度指标1非等精度测量2系统误差和粗大误差3误差合成与分配4第1节随机误差的性质和特点残差多次测量，残差呈现出的规律对称性xxii单峰性抵偿性有界性一、随机误差的基本特点第1节随机误差的性质和特点理论依据：中心极限定理只要构成随机变量总和的各独立随机误差变量的数目足够多，而且每个随机变量对总量的影响都足够小，那么，随机变量总和的分布规律为正态分布二.随机误差的分布特性古典误差理论认为：随机误差服从正态分布（如独立同分布的中心极限定性、德莫弗-拉普拉斯中心极限定理）第1节随机误差的性质和特点高尔顿钉板Go第1节随机误差的性质和特点三、正态分布及特性测量数据的概率密度函数：]2)(exp[21)P(22xxy真值随机误差的概率密度函数：]2exp[21)(22fy误差正态分布只能看作随机误差分布律的极限情况，若决定误差的因素有限，可能服从非正态分布。第1节随机误差的性质和特点正态分布曲线在处很特殊：拐点！)2exp(2)(22522f0)(f内，曲线向下弯曲；0)(f外，曲线向上弯曲；第1节随机误差的性质和特点)(22221)(02222itttttitdtedtettPiii?)P(x更一般的求解公式：拉普拉斯函数（或称概率积分）/t式中，说明了什么？我们可以有68.27%的把握认为测量值的误差不超出0.6827第1节随机误差的性质和特点6827.0)P(x5.025.02)6745.0P(5762.02881.02)8.0P(9973.0)3P(9545.0)2P(xxxx)(2)()(iiittPttP拉普拉斯函数的变形：思考：若测量值必须具有99%的可信度，其误差应放宽至多大？第1节随机误差的性质和特点例：假定理想电压源U0=10V，多次测量时的标准差为0.020V，若某次测量的结果为10.016V，问对该次测试结果有多大的把握性？若要对测试数据有99%的可信度，问测试数据应该在哪个范围内？第1节随机误差的性质和特点P=0.95()，一般精密测量，应用广泛；2P=0.9973()，用于较重要的科研工作和精密仪器；3P=0.9999()，用于个别对可靠性要求特别高的科研和精密测量工作；4第2节随机误差的数字特性一、随机变量的数字特征描述随机变量分布特征的数值：随机变量的数字特征（理想化）数学期望：位置特征方差：分散性指标xD标准差随机变量关于其数学期望的偏离程度比其他任何值的偏离程度都小。如果x是测量值，那么Ex就是该被测量值最可信赖的值（或称概然值）数字特征如何估计？第2节随机误差的数字特性二、算术平均值（数学期望的估计）要求估计值在参考量附近摆动，作为无偏估计，就要证明估计值的数学期望正好等于未知量（真值）解决了有限次等精度测量中，如何估计被测量真值的问题第2节随机误差的数字特性三、标准偏差及其估计（标准差或方均根误差）例：两组测量值平均值都是20.0000，但是第II组更分散衡量的指标：标准差第2节随机误差的数字特性1、标准差的估计——贝赛尔公式第2节随机误差的数字特性贝赛尔公式即贝赛尔公式估算条件：测量次数n比较大就是的无偏估计ˆ第2节随机误差的数字特性2、标准偏差的其他估算方法1）别捷尔斯法（Peters）)(E第2节随机误差的数字特性第2节随机误差的数字特性贝塞尔公式和别捷尔斯公式均需要求，再求，复杂！xi第2节随机误差的数字特性2）极差法ωn＝xmax-xmin根据极差得分布函数，可以求出数学期望：dn可查表得到，与测量次数有关：测量的次数越多，ωn大的概率高，故dn应大。极差法可简单迅速算出标准差，n10时适用。第2节随机误差的数字特性例：)(08.309.000.7509.7510minmax查表dmmmmmmllnmmmmdn0292.008.309.010)(mmli)(mmvimmx045.750101iiv序号1234567891075.0175.0475.0775.0075.0375.0975.0675.0275.0575.08－0.035－0.005＋0.025－0.045－0.015+0.045+0.015-0.025+0.005+0.0350.0012250.0000250.0006250.0020250.0002250.0020250.0002250.0006250.0000250.0012252101200825.0mmvii)(2mmvi表1第2节随机误差的数字特性3)最大误差法查表真值未知时第2节随机误差的数字特性例：表1为例nK1nK1n1234567891011121314151.250.880.750.680.640.610.580.560.550.530.520.510.500.500.49n1617181920212223242526272829300.480.480.470.470.460.460.450.450.450.440.440.440.440.430.43n2345678910152025301.771.020.830.740.680.640.610.590.570.510.480.460.44nK1mmvi045.0max57.0110KmmmmKvi0256.0045.057.010max第2节随机误差的数字特性3、四种计算方法的优缺点②别捷尔斯公式最早用于前苏联列宁格勒附近的普尔科夫天文台，它的计算速度较快，但计算精度较低，计算误差为贝氏公式的1.07倍；③用极差法计算σ，非常迅速方便，可用来作为校对公式，当n10时可用来计算σ，此时计算精度高于贝氏公式；④用最大误差法计算σ更为简捷，容易掌握，当n10时可用最大误差法，计算精度大多高于贝氏公式，尤其是对于破坏性实验(n=1)只能应用最大误差法。①贝塞尔公式的计算精度较高，但计算麻烦，需要乘方和开方等，其计算速度难于满足快速自动化测量的需要；第3节单次测量结果的精度指标一、单次测量结果的置信度正态分布的概率积分——误差函数1、误差出现在内的概率),()P(dtdt;令dtet2221)(2)erf(22)(022iittittdteti令误差函数拉普拉斯函数)(2)erf()P(tttde2221)]erf()[erf(21)()()P(ababba第3节单次测量结果的精度指标2、的含义标准差σ是表征随机误差很重要的一个特征量，可用于描述测量列中各个测得值的误差。因标准差σ甚为重要，需进一步理解它的含义和对测量的作用。例如：对某一量测试100次，得到测量值10021,,,xxx标准差估计值ss可作为表征测量列中每一个测得值误差的参数第3节单次测量的精度指标单次测量是总体中的一次抽样，目前各国多采用以下精度指标：1.标准差12nis2.平均误差7979.0ni含义：测得值的误差不超过的置信概率为57.62%154542ni5762.0)54P(ix第3节单次测量的精度指标3.几率误差（概差、或然误差）如何求？326745.0与几率误差相应的置信概率为50％4.极限误差lim3lim；误差所能达到的极限值，置信度99.73%在一个测量列中，是以算术平均值作为测量结果：txxi（置信概率P）因此必须研究算术平均值不可靠的评定标准！第4节多次测量结果的精度指标)(121nxxxnx随机变量（一个测量列）对于m个测量列而言，每个测量列的均值都是一个随机变量，如何计算算数平均值的标准差？一、算数平均值的分布特性与标准差第4节多次测量结果的精度指标)(1111121nxxxnx)(1222221nxxxnx)(121nmmmmxxxnx随机变量的取值x（多组测量列）第4节多次测量结果的精度指标)(121njjjjxxxnx)](1[)(21nxxxnDxD)]()()([1212nxDxDxDn][12222nn22xnsnx多次测量的算数平均值的标准差：即用作为测量结果比用单次测量结果精度提高了倍！xn第4节多次测量结果的精度指标增加测量次数，可以提高测量精度，但测量精度是与n的平方根成反比，因此要显著提高测量精度，必须付出较大的劳动。由图可知,σ一定时，当n10以后，的减小很慢。此外，由于增加测量次数难以保证测量条件的恒定，从而引入新的误差，因此一般情况下取n=10以内较为适宜。总之，提高测量精度，应采取适当精度的仪器，选取适当的测量次数。xnx多次测量的算数平均值的标准差：第4节多次测量结果的精度指标mmx045.75mmmmnvnii0303.011000825.0112例：用游标卡尺对某一尺寸测量10次，假定已消除系统误差和粗大误差，得到数据如下(单位为mm)：75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.08。求算术平均值及其标准差。mmmmnx0096.0100303.0解：第4节多次测量结果的精度指标二、算数平均值的置信度1.一般表达式)(xxtPtttxx)P(}P{一般写成几倍于标准差的形式两种求解方法！这是一般的式子，和正态分布无联系即置信概率等号成立的条件：测量次数n较多时，此时可认为服从正态分布第4节多次测量结果的精度指标2.测量次数n较多时（通常n20）)(2}P{}P{Ptntxtxx拉普拉斯函数求解法！第4节多次测量结果的精度指标例：测量某量值25次，得mm021.40xmm002.0s%95P。若要求置信概率，，求测量结果。（题意是什么？）)(2}P{Ptntx0.950.002mm查表t=1.96mm001.025002.096.1nt误差限：测量结果：mm001.0021.40ntx%)95(P第4节多次测量结果的精度指标3.测量次数n较少时——t分布求解nxt212)1()2()21(),(ttfy01)(dtetmtm)(xxtP)P(}P{tttxx当测量次数n较少时：——不服从正态分布，而是服从自由度n-1的t分布(伽玛函数)t分布数字特征：0),(dttft2),(22dttft第4节多次测量结果的精度指标当自由度趋向于无穷大时