27.2.2相似三角形的性质

相似三角形的性质识别特征对应边上的高对应角的角平分线对应边上的中线课堂练习(1)周长课后小结(2)面积相似三角形的识别问：相似三角形的识别方法有哪些？证二组对应角相等证三组对应边成比例证二组对应边成比例，且夹角相等BACKABCDE符号语言：∵∴DE//BC△ADE∽△ABC“A”型定理：平行于三角形一边的直线和其他两边或延长线相交,所构成的三角形与原三角形相似∴∠A=∠A,∠B=∠ADE,∠C=∠AED.BCDEACAEABAD∴结论定理：平行于三角形一边的直线和其他两边或延长线相交,所构成的三角形与原三角形相似符号语言：∵∴DE//BC△DOE∽△COB“X”型（图2）DEOBC∴∠A=∠A,∠B=∠ADE,∠C=∠AED.BCDEACAEABAD∴结论∴ΔABC∽ΔA'B'C'符号语言：CAA'BB'C'相似三角形判定定理1：如果一个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.简单说成：对应边成比例，两三角形相似.C'B'C'A'B'A'BCACAB∴∵∠A=∠A'，∠B=∠B'∴ΔABC∽ΔA'B'C'符号语言：CAA'BB'C'相似三角形判定定理2：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.简单说成：两角对应相等，两三角形相似.如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。可以简单说成“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”BCABCA´´´数学语言：AA,ACCAABBA∴△A´B´C´∽△ABC三角形相似的判定定理3相似三角形的特征问：你知道相似三角形的特征是什么吗？角：对应角相等边：对应边成比例问：什么是相似比？相似比=对应边的比值=如右图，△ABC∽△A′B′C′相似三角形对应边上的高有什么关系呢？归纳：相似三角形对应边上的高之比等于相似比。A′B′C′D′△ADC∽△A′D′C′则:(1)利用方格把三角形扩大2倍，得△A′B′C′，并作出B′C′边上的高A′D′。△ABC与△A′B′C′的相似比为多少？AD与A′D′有什么关系？右图△ABC，AD为BC边上的高。DABC(2)如右图两个相似三角形相似比为k，则对应边上的高有什么关系呢？__________说说你判断的理由是什么？___________BACK归纳：相似三角形对应边上的中线比等于相似比。相似三角形对应边上的中线有什么关系呢？如右图△ABC，AE为BC边上的中线。则:(1)把三角形扩大2倍后得△A′B′C′，A′E′为B′C′边上的中线。△ABC与△A′B′C′的相似比为多少？AE与A′E′比是多少？ABCEA′B′C′E′△AEC∽△A′E′C′(2)如右图两个相似三角形相似比为k，则对应边上的中线的比是多少呢？说说你判断的理由是什么？___________BACK相似三角形对应角的角平分线有什么关系呢？归纳：相似三角形对应角的角平分线之比等于相似比。(2)如右图两个相似三角形相似比为k，则对应角的角平分线比是多少？说说你判断的理由是什么？___________△AFC∽△A′F′C′如右图△ABC，AF为∠A的角平分线。则:(1)把三角形扩大2倍后得△A′B′C′，A′F′为∠A′的角平分线，△ABC与△A′B′C′的相似比为多少？AF与A′F′比是多少？ABCFA′B′C′F′BACK相似三角形的周长有什么关系呢？归纳：相似三角形的周长比等于相似比。右图（1）（2）（3）分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似．（2）与（1）的相似比＝________________，（2）与（1）的周长比＝________________;（3）与（1）的相似比＝________________，（3）与（1）的周长比＝________________.2:12:13:13:1从上面可以看出当相似比＝k时，周长比＝______kBACK归纳概括1、相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比。2、相似三角形的周长比等于相似比。相似三角形的对应线段(高、中线、角平分线)以及周长的比都等于相似比。相似三角形的面积有什么关系呢？2:1归纳：相似三角形的面积比等于相似比的平方。右图（1）（2）（3）分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似．（2）与（1）的相似比＝________________，（2）与（1）的面积比＝________________;（3）与（1）的相似比＝________________，（3）与（1）的面积比＝________________.4:13:19:1从上面可以看出当相似比＝k时，面积比＝______k2BACK已知：如图，△ABC中，D为AB上一点，且，AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，kABACACAD求证：kAFAEFEBCADBCAD课堂练习(1)1、两个相似三角形对应边比为3:5，那么相似比为，对应边上的高之比为，对应边上的中线比为，对应角的角平分线比为。2、两个相似三角形对应角的角平分线比为1:4，可直接得到对应边上的高之比为，对应边上的中线比为。3、△ABC的三边分别为3、4、5，△A′B′C′的三边长分别为12、16、x,则x=。3:53:53:53:51:41:420BACK课堂练习(2)1、两个相似三角形对应边比为3:5，那么相似比为，周长比为，面积比为。3:59:253:52.如图,在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2,这两个三角形相似吗?如果相似,求出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比.相似相似比为2:1面积比为4:1BACK←→3、把一个三角形变成和它相似的三角形，则如果边长扩大为原来的100倍，那么面积扩大为原来的_____________倍；如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原来的_______________倍。课堂练习(2)1000010BACK←→4、已知△ABC∽△A′B′C′，AC:A′C′=4:3。（1）若△ABC的周长为24cm，则△A′B′C′的周长为cm；（2）若△ABC的面积为32cm2，则△A′B′C′的面积为cm2。1818课堂练习(2)5、已知，在△ABC中，DE||BC,DE:BC=3:5则(1)AD:DB=(2)△ADE的面积:梯形DECB的面积=(3)△ABC的面积为25，则△ADE的面积=___。BACK←→3:29:1696、如图，已知DE∥BC，BD=3AD，S△ABC=48，求：△ADE的面积。课堂练习(2)BACK←→解：DE∥BC∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB△ADE∽△ABCBD=3AD相似比k=AD:AB=1:2S△ADE=1/4S△ABC=12∴∵∴∴∴∴FG∥BC，，且BC=12cm，FG=cm。7、如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，且DE、FG把△ABC的面积三等分，若BC=12cm，求FG的长。课堂练习(2)BACK解：DE∥FG∥BC，△ADE∽△AFG∽△ABC，S△ADE:S△AFG:S△ABC=AD2:AF2:AB2，DE、FG把△ABC的面积三等分，S△ADE:S△AFG:S△ABC=1:2:3，AD:AF:AB=，←→∴∴∴∴∵∵∵∴小结相似三角形的性质对应角相等、对应边成比例对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比都等于相似比周长之比等于相似比面积之比等于相似比的平方（你学到了什么呢？）