北师大版新版-等腰三角形-培优

1等腰三角形、角分线、中垂线1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。（2）等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则2ba④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=2180A2、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。等腰三角形的性质与判定等腰三角形性质等腰三角形判定中线1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角；2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点与底边两端点距离相等。1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形；2、如果一个三角形的一边中线垂直这条边（平分这个边的对角），那么这个三角形是等腰三角形角平分线1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边；2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交点到底边两端点的距离相等。1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边（平分对边），那么这个三角形是等腰三角形；2、三角形中两个角的平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形。高线1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边；2、等腰三角形两腰上的高相等，并且它们的交点和底边两端点距离相等。1、如果一个三角形一边上的高平分这条边（平分这条边的对角），那么这个三角形是等腰三角形；2、有两条高相等的三角形是等腰三角形。角等边对等角等角对等边边底的一半腰长周长的一半两边相等的三角形是等腰三角形24、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。（2）要会区别三角形中线与中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行。数量关系：可以证明线段的倍分关系。常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等等腰三角形的考点例析到△ABC的三条边的距离相等的点是△ABC的____________的交点，到△ABC的三个顶点的距离相等的点是△ABC的____________的交点。如图，在锐角三角形ABC中，∠A=50°，AC、BC的垂直平分线交于点O.则∠1____∠2，∠3___∠4,∠5___∠6,∠2+∠3=____°,∠1+∠4=____°,∠5+∠6=____°,∠BOC=____°.已知等腰三角形的周长为12，腰长为x，求x的取值范围．已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为9和12两部分，求腰长和底长．已知等腰三角形的周长为20，三边长为整数，求底边长．已知BD是等腰ABC一腰上的高，且50ABD，求ABC三个内角的度数如图1，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D．（1）若∠A=40゜，则∠DBC=_____；若∠A=50゜，则∠DBC=_____；若∠A=α，则∠DBC=______；（2）如图2，猜想：∠DBC与∠BAC之间的数量关系，并予以证明．已知：如图，点B、C在∠A的两边上，且AB=AC，P为∠A内一点，PB=PC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别是E、F．求证：PE=PF．3如图，直线a、b、c表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站．要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有______处．1.如图，在三角形ABC中，AB=AC，D是BC上一点，∠BAD=40°，E是AC上一点，AD=AE，求∠EDC的度数．2.如图，△ABC中，AB=AC．D是BC边上一点，且DE⊥AB于E，DF⊥BC于D．如果∠EDF=65°，求∠AFD的度数．3.如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在AC、AB边上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度数．4.如图CA=CB，DF=DB，AE=AD求∠A的度数45.如图，已知：在△ABC中，D为BC边上一点，AB=AC=CD，BD=AD，求△ABC各角的度数6.如图，在△ABC中，BC=5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是______cm．7.如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点．8.如图，△ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA=EC，求证：EB⊥AB．9.如图已知△ABC内，P、Q分别在BC，CA上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的平分线．（1）若∠BAC=60°，∠ACB=40°，求证：BQ+AQ=AB+BP；（2）若∠ACB=α时，其他条件不变，直接写出∠BAC=_______时，仍有BQ+AQ=AB+BP．510.如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分ABC，求证：0180CA11.已知：如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°，BC＞BA．求证：点D在线段AC的垂直平分线上．12.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，P是AD上的任意一点，且AB＞AC，求证：AB-AC＞PB-PC．13.如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD14.如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的长.615.正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.16.D为等腰Rt△ABC斜边AB的中点，DM⊥DN，DM，DN分别交BC，CA于点E，F．（1）当∠MDN绕点D转动时，求证：DE=DF．（2）若AB=2，求四边形DECF的面积．17.如图，△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，D是BC中点，以D为端点，引两条射线DE、DF分别交AB、AC于E、F点，若DE⊥DF，则EF的最小值为_______.18.如图，△ABC的边BC的垂直平分线DE交△BAC的外角平分线AD于D，E为垂足，DF⊥AB于F，且AB＞AC，求证：BF=AC+AF．19.如图△ABC中，AB的垂直平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于E．则下列结论：①△ADE≌△BDF；②AE=CE+CB；③∠ADB=∠ACB．其中一定成立的个数是（）A．3个B．2个C．1个D．0个720.如图，△ABC中，BC的垂直平分线与∠BAC的外角平分线相交于点D，DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF②CE=AB+AE③∠BDC=∠BAC④∠DAF+∠CBD=90°其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④21.已知：如图，OA平分∠BAC，∠1=∠2．求证：△ABC是等腰三角形．22.如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE=BD，连接CE，DE．求证：EC=ED．23.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC的平分线交AC于D，过C作BD垂线交BD的延长线于E，交BA的延长线于F，求证：BD=2CE．824.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长是多少？25.如图，点O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）若OA=3，OC=4，OB=5，试判断△AOD的形状，并说明理由．（3）若∠AOB=110°，∠BOC=α，请探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？26.含30°角的直角三角板ABC（∠B=30°）绕直角顶点C沿逆时针方向旋转角α（∠α＜90°），再沿∠A的对边翻折得到△A′B′C，AB与B′C交于点M，A′B′与BC交于点N，A′B′与AB相交于点E．（1）求证：△ACM≌△A′CN；（2）当∠α=30°时，找出ME与MB′的数量关系，并加以说明．27.如图所示，A（3，0）、B（0，1）分别为x轴、y轴上的点，△ABC为等边三角形，点P（3，a）在第一象限内，且满足2S△ABP=S△ABC，则a的值为（）928.已知，如图，点C在线段AB上，在AB的同旁作等边△ADC和等边△BCE，连接AE、BD交CD、CE于M、N，（1）求证：AE=BD；（2）求证：△CMN为等边三角形；（3）如果把△BEC绕着C点旋转任意角度，上述结论中哪些成立？试说明理由29.已知：∠DAB=120°，AC平分∠DAB，∠B+∠D=180°．（1）如图1，当∠B=∠D时，求证：AB+AD=AC；（2）如图2，当∠B≠∠D时，猜想（1）中的结论是否发生改变并说明理由．30.如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．（1）求证：∠BQM=60度．（2）①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是否仍成立？②若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？③若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，是否仍能得到∠BQM=60°？…请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①_____；②_____；③_____．并对②，③的判断，选择一个给出证明．1031.如图1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC于点N、E、M．（1）当直线l经过点C时（如图2），证明：BN=CD；（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．板块三、轴对称在几何最值问题中的应用1.已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由．2.如图，在公路a的同旁有两个仓库A、B，现需要建一货物中转站，在a上找到M、N两点，且10MN，M在N的左边，使四边形ABMN的周长最短．3.如图，45AOB，角内有点P，在角的两边有两点Q、R(均不同于O点)，求作Q、R，使得PQR的周长的最小．114.如图，M、N为ABC的边AC、BC上的两个定点，在AB上求一点P，使PMN的周长最短．NMCBA5.如图，设正ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是BC边上的任意一点，PAPM的最大值和最小值分别记为s和t．求22st的值．MPCBA6.已知如图，点M在锐角AOB的内部，在O