3.6第三节解题方法(圆边界)

带电粒子运动习题圆形边界磁场中的几何特点圆周运动的规律：粒子在磁场中做圆周运动的对称规律：a.速度与轨迹圆的弦的夹角不变。b.轨迹圆上两点的切线交点与这两点的距离相等。C.两个圆相交的几何特点:红色圆为磁场边界黑色圆为运动轨迹进入、射出圆形磁场的速度方向，与半径夹角不变。即：向圆心射入的粒子，必背离圆心射出；与半径成θ角射入磁场，必与半径成θ射出。θθd:圆轨迹半径和磁场半径相等时，几何特点两个圆心和粒子进、出磁场的点，四点构成菱形：对边平行且相等对角线垂直且平分。Bv0mv0qBrR一、利用磁场控制带电粒子运动1．原理：真空条件下，圆形匀强磁场区域中，若一个初速度为v0的带电粒子(m、q)，沿磁场区域的直径射入磁场，射出时偏转了θ角，则R＝___，tanθ2＝__，故tanθ2＝___，通过调节__和___的大小可以控制粒子的偏转角度θ.二、qBrmv0若磁场半径已知为r，求偏转角由什么因素决定？特点：向心射入、背心射出MErrr=EMR=OEF60°30°30°30°30°O三角形OEM中可知R=r2mvBqvr解得BqRvm特点：两个圆的圆心连线垂直公共弦、平分对角思考：从F点射出的速度与OF夹角是多大？例一：如图圆形边界磁场，半径为a，有一质子m、q进入该磁场做匀速圆周运动，轨道半径也为a。1、沿半径射入时，质子离开磁场时的运动方向？磁场中的运动时间？2、沿与半径成30°角射入时，质子离开磁场时的可能的运动方向？磁场中的可能的运动时间？两个圆心和粒子进、出磁场的点，四点构成菱形。在圆形磁场区域内沿径向射入的粒子,必沿径向射出.磁场为圆形磁场、与轨迹半径相等例一：如图圆形边界磁场，半径为a，有一质子m、q进入该磁场做匀速圆周运动，轨道半径也为a。1、沿半径射入时，质子离开磁场时的运动方向？磁场中的运动时间？2、沿与半径成30°角射入时，质子离开磁场时的可能的运动方向？磁场中的可能的运动时间？磁场为圆形磁场、与轨迹半径相等3．真空中有一半径为r的圆柱形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面向里．x轴为过磁场边O点的切线，如图所示．从O点在纸面内向各个方向发射速率均为v0的电子，设电子间相互作用忽略，且电子在磁场中的偏转半径也为r．已知电子的电量为e，质量为m．（1）速度方向分别与Ox方向的夹角成60°和90°的电子，在磁场中的运动时间分别为多少？（2）所有从磁场边界出射的电子，速度方向有何特征？（3）设在x轴上距O点2r处，有个N点，请设计一种匀强磁场分布，使由O点向平面内各个方向发射的速率均为v0的电子都能够汇聚至N点．xOyN3．真空中有一半径为r的圆柱形匀强磁场区域，电子在磁场中的偏转半径也为r．xOyxOyo1o2O3结论：从O点进入的粒子，均平行X轴向右运动（菱形）；反之，平行X轴运动的粒子，汇聚于O点xOyN（3）设在x轴上距O点2r处，有个N点，请设计一种匀强磁场分布，使由O点向平面内各个方向发射的速率均为v0的电子都能够汇聚至N点．结论：从O点进入的粒子，均平行X轴向右运动（菱形）；反之，平行X轴运动的粒子，汇聚于O点例二、在真空中，半径为r=3×10-2m的圆形区域内，有一匀强磁场，磁场的磁感应强度为B=0.2T，方向如图所示，一带正电粒子，以初速度v0=106m/s的速度从磁场边界上直径ab一端a点处射入磁场，已知该粒子荷质比为q/m=108C/kg，不计粒子重力，则（1）粒子在磁场中匀速圆周运动的半径是多少穿过圆形磁场的最值特点(3)若要粒子在磁场中运动时间最长粒子运动的方向如何？（2）若要使粒子飞离磁场时有最大的偏转角，其入射时粒子的方向应如何（以v0与Oa的夹角θ表示）？最大偏转角多大？圆形边界磁场中的旋转圆问题当轨迹半径大于磁场半径时，轨迹上的弦越长，圆心角越大。例1、一带电质点，质量为m、电量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域，为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于Oxy平面、磁感应强度为B的匀强磁场，若此磁场仅分布在一个长方形区域内，试求这个长方形磁场区域的最小面积（重力忽略不计）。yOa→vbvxv有界磁场的设计mvRqB轨迹半径：22mvrqB磁场最小半径：yOa→vbvxv2.对带电粒子在磁场中运动的几何关系分析不清例2如图所示，在倾角为30°的斜面OA的左侧有一竖直挡板，其上有一小孔P，现有一质量m＝4×10－20kg，带电荷量q＝＋2×10－14C的粒子，从小孔以速度v0＝3×104m/s水平射向磁感应强度B＝0.2T、方向垂直纸面向里的一正三角形区域．该粒子在运动过程中始终不碰及竖直挡板，且在飞出磁场区域后能垂直打在OA面上，粒子重力不计．求：(1)粒子在磁场中做圆周运动的半径；(2)粒子在磁场中运动的时间；(3)正三角形磁场区域的最小边长．有界磁场的设计2.对带电粒子在磁场中运动的几何关系分析不清例2如图所示，在倾角为30°的斜面OA的左侧有一竖直挡板，其上有一小孔P，现有一质量m＝4×10－20kg，带电荷量q＝＋2×10－14C的粒子，从小孔以速度v0＝3×104m/s水平射向磁感应强度B＝0.2T、方向垂直纸面向里的一正三角形区域．该粒子在运动过程中始终不碰及竖直挡板，且在飞出磁场区域后能垂直打在OA面上，粒子重力不计．求：(1)粒子在磁场中做圆周运动的半径；(2)粒子在磁场中运动的时间；(3)正三角形磁场区域的最小边长．[解析](1)粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由qv0B＝mv20r，T＝2πrv0得：粒子在磁场中做圆周运动的半径r＝mv0qB＝0.3m，粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝2πmqB＝2π×10－5s＝6.28×10－5s.(2)画出粒子的运动轨迹如图所示，由粒子的运动轨迹可知t＝56T，[解析](1)粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由qv0B＝mv20r，T＝2πrv0得：粒子在磁场中做圆周运动的半径r＝mv0qB＝0.3m，粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝2πmqB＝2π×10－5s＝6.28×10－5s.(2)画出粒子的运动轨迹如图所示，由粒子的运动轨迹可知t＝56T，得t＝5π3×10－5s＝5.23×10－5s.(3)由如图粒子的运动轨迹和数学知识可得正三角形磁场区域的最小边长：L＝2r＋rcos30°cos30°，得L＝r(43＋1)＝0.99m.[答案]见解析4、如图所示，在xoy平面内有许多电子（质量为m，电量为e）从坐标原点O不断地以相同大小的速度v。沿不同的方向射入第I象限，现加上一个垂直于xoy平面的匀强磁场，磁感应强度为B，要求这些电子穿过该磁场后都能平行于x轴正方向运动，试求符合该条件的磁场的最小面积。xy有界磁场的设计例题分析与解答•沿+x方向射入的电子不需要磁场就满足题意；•沿+y方向射入且运动满足题意的电子，其运动轨迹如右图示设电子入射方向与x轴成θ角，其运动轨迹是右图中的圆弧obd。电子只有在b处离开磁场才能满足题意xyoRacθθbd所以确定动点b的轨迹方程即可确定磁场的下边界。由图可知x=Rsinθy=R(1-cosθ)得x2+(y-R)2=R2可知b点的轨迹方程是以点的坐标是（0，R）为圆心、R为半径的圆弧。磁场的最小区域由两个圆(x-R)2+y2=R2、x2+(y-R)2=R2相交的区域组成.BeπVmRπRRπS22202222221222141•此圆的方程为(x-R)2+y2=R2。所以磁场的上边界由圆弧oac确定。粒子轨迹方程应用•在xoy平面内有许多电子（质量为m，电量为e），从坐标原点不断地以大小相同的速度V0沿不同方向射入第Ⅰ象限。现加上一个垂直于xoy平面的匀强磁场，要求这些电子穿过磁场后都能平行于x轴向+x方向运动，求符合该条件的磁场的最小面积。vxy