2013高考数学总复习精品课件 ： 正弦定理和余弦定理

第七节正弦定理和余弦定理基础梳理1.设△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a,b,c,R是△ABC的外接圆半径.（1）正弦定理三角形的各边和它所对角的正弦的比相等，即(2)正弦定理的三种形式①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(边到角的转换);②(角到边的转换);2RCsincBsinbAsina2RcCsin,2RbBsin,2RaAsin③a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.2.三角形常用面积公式(1)(h表示三角形长为a的边上的高）.(2)(3)(r为三角形的内切圆半径）.ha21SC.absin21Abcsin21Bacsin21Sc)br(a21S3.余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍,即a2=b2+c2-2bccosA,b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC.余弦定理也可以写成如下形式：.2abc-baCcos,2acb-caBcos,2bca-cbAcos2222222224.勾股定理是余弦定理的特殊情况在余弦定理表达式中,分别令A、B、C为90°,则上述关系式分别化为：a2=b2+c2,b2=a2+c2,c2=a2+b2.典例分析题型一正弦定理和余弦定理的应用【例1】在△ABC中，已知,B=45°，求A、C和c.2b,3a分析已知两边和其中一边的对角解三角形问题，可运用正弦定理来求解，但应注意解的情况.或借助余弦定理，先求出边c后，再求出角C与角A.解方法一:∵B=45°90°,且ba,∴此题有两解.由正弦定理，得∴A=60°或A=120°.(1)当A=60°时，C=180°-A-B=75°,所以(2)当A=120°时，C=180°-A-B=15°,所以,23245sin3bBasinAsin.22645sin75sin2BsinCbsinc.22-645sin15sin2BsinCbsinc故A=60°,C=75°,或A=120°,C=15°,226c226c方法二:由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB,即整理得,解得,.45ccos32-c)3()2(22201c6-c2226c226c或2bca-cbAcos222①当时,22-6c,2b,3a由①可得,故A=120°;当时，由①可得,故A=60°,故A=60°,C=75°,或A=120°,C=15°,226c,2b,3a21-Acos21-Acos226c226c学后反思对于解三角形，若已知两边和其中一边的对角，要注意解的个数，往往需要分类讨论.用正弦定理，则对角进行分类讨论；用余弦定理，则对边进行分类讨论.举一反三1.已知在△ABC中，a=7,b=3,c=5,求三角形中的最大角及角C的正弦值.解析:∵acb,∴角A为最大角.由余弦定理,得,∴A=120°∴sinA=,再根据正弦定理，得∴21-2bca-cbAcos22223CsincAsina14352375AsinacCsin题型二三角形的面积问题【例2】(2008·辽宁)在△ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a,b,c，已知c=2,C=.若△ABC的面积等于3,求a,b.3分析分别利用正弦定理和余弦定理建立关于a,b的方程，然后解方程组得a,b.解由余弦定理及已知条件得-ab=4.∵△ABC的面积等于3,∴absinC=,∴ab=4.联立方程组-ab=4,ab=4,解得a=2,b=2.22ab12322ab学后反思在解决三角形问题中，面积公式S=absinC=bcsinA=acsinB最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.121212举一反三2.(2010·江阳模拟）在△ABC中，a=4,A=30°,b=,则S△ABC=.43解析：根据-2bccosA得c=4或c=8.∵S=bcsinA,∴S△ABC=8或4.答案：8或4222abc123333题型三判断三角形的形状【例3】在△ABC中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab，且2cosA·sinB=sinC,试确定△ABC的形状.分析判定三角形的类型，一般是从题设条件出发，根据正弦定理、余弦定理及面积公式，运用三角函数式或代数式的恒等变形导出角或边的某种特殊关系，从而判定三角形的类型.解∵(a+b+c)(a+b-c)=3ab,∴=ab,∴cosC=,∵0＜C＜π,∴C=.又∵A+B+C=π,∴A+B=.∵2cosAsinB=sinC,∴2cosAsinB=sin(π-A-B),∴2cosAsinB=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,∴sin(A-B)=0,∴A=B=,∴A=B=C=.∴三角形ABC为等边三角形.222abc2221222ababababc3232323学后反思（1）判断三角形的形状，主要有两条思路：一是化角为边，二是化边为角.（2）若等式两边是关于三角形的边或内角正弦函数齐次式，则可以根据正弦定理互相转化.如asinA+bsinB=csinC.222222sinsinsinabABCc举一反三3.在△ABC中，a2tanB=b2tanA,则三角形的形状是____.解析：由正弦定理,得sin2AtanB=sin2BtanA,即sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B.∵A,B∈(0,π),∴A=B或A+B=90°.答案：等腰三角形或直角三角形题型四正、余弦定理的综合应用例4.(14分)(2008·哈尔滨模拟）△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+c2-a2+bc=0.(1)求角A的大小；(2)若a=3,求bc的最大值；(3)求的值.c-bC)-asin(30分析（1）由b2+c2-a2+bc=0的结构形式，可联想余弦定理，求出cosA,进而求出A的值.（2）由a=3及b2+c2-a2+bc=0,可求出关于b,c的关系式，利用不等式即可求出bc的最大值.(3)由正弦定理可实现将边化角的功能，从而达到化简求值的目的.解(1)∵∴A=120°…………………………………………………………………2′(2)由a=,得b2+c2=3-bc,………………………………………………..3′∵b2+c2≥2bc(当且仅当c=b时取等号）,∴3-bc≥2bc(当且仅当c=b时取等号），………………………………4′即当且仅当c=b=1时,bc取得最大值为1…………………………………6′21-2bcbc-2bca-cbAcos2223（3）由正弦定理，得,…………………7′R2CsincBsinbAsina21Csin23-Ccos23Csin43-Ccos43Csin-C)-sin(60C)sin23-Ccos21(23Csin-BsinC)-Asin(30sinC2Rsin-B2RsinC)-Asin(302Rsinc-bC)-asin(30学后反思(1)在三角形中求角，往往选择先求该角的余弦值，然后利用余弦函数在（0，π）上的单调性求角.(2)正、余弦定理能实现边角转化，在解题时一定要重视.…………11′…………14′举一反三4.在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c.设a、b、c满足条件和,求A和tanB的值.222bbcca132cb解析：由已知条件，应用余弦定理得cosA=,故A=60°.在△ABC中，C=180°-A-B=120°-B.由已知条件，应用正弦定理得,解得cotB=2,从而tanB=.222122babccsin1201sinsin120coscos120sin313cot2sinsinsin22BcCBBBbBBB12易错警示【例】(2009·济南高三统考改编)在锐角三角形ABC中，若∠C=2∠B,则的取值范围是.ABAC错解由正弦定理易得=2cosB,由于三角形为锐角三角形，故0°＜C=2B＜90°,得B∈(0°,45°).故=2cosB∈(2,2).sinsin2sinsinABCCACBBABAC错解分析思维不严密导致错误.显然0°＜C=2B＜90°是三角形为锐角三角形的必要不充分条件,还应有B+C＞90°.正解=2cosB.由锐角三角形ABC，C=2B两个条件可得＜B＜,＜cosB＜,2＜2cosB＜.即ABAC的取值范围是(,).sinsin2sinsinABCCACBB4622322323考点演练10.在△ABC中，sinA+cosA=,AC=2,AB=3,求△ABC的面积.22解析:∵sinA+cosA=cos(A-45°)=,∴cos(A-45°)=.又∵0°A180°,∴A=105°,sinA=sin105°=sin(45°+60°)=,S△ABC=AC·AB·sinA=×2×3×=.222122641212264326411.（2009·北京）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，B=,cosA=,b=.(1)求sinC的值；（2）求△ABC的面积.3453解析:(1)∵角A,B,C为△ABC的内角，且B=，cosA=,∴C=-A,sinA=,∴sinC=sin(-A)=cosA+sinA=.(2)由(1)知sinA=,sinC=.又∵B=,b=,∴在△ABC中，由正弦定理得a=bsinAsinB=.∴△ABC的面积为S=.3452335233212343103534310331163433693sin32251050abC6512.(2009·浙江)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足cos,AB·AC=3.(1)求△ABC的面积；（2）若b+c=6,求a的值.2525A解析:(1)∵cos,∴cosA=,∴sinA=.又由AB·AC=3,得bccosA=3,∴bc=5,∴S△ABC=bcsinA=2.(2)由(1)知，bc=5,又∵b+c=6,∴b=5,c=1或b=1,c=5.由余弦定理,得-2bccosA=20,∴a=2.2525A232125cosA4512222abc5