步步高2015高考数学(人教A理)一轮讲义：5.4平面向量应用举例

第1页共15页§5.4平面向量的应用1．向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(3)求夹角问题，利用夹角公式cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22(θ为a与b的夹角)．2．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s的数量积．即W＝F·s＝|F||s|cosθ(θ为F与s的夹角)．3．平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若AB→∥AC→，则A，B，C三点共线．(√)(2)解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可以用向量解决．(√)(3)实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算．(√)[来源:中_国教_育出_版网](4)在△ABC中，若AB→·BC→0，则△ABC为钝角三角形．(×)(5)(理)作用于同一点的两个力F1和F2的夹角为2π3，且|F1|＝3，|F2|＝5，则F1＋F2的大小为19.第2页共15页(√)(6)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0,10)，C(8,0)，若动点P满足：OP→＝OA→＋t(AB→＋AC→)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0.(√)2．(2013·福建)在四边形ABCD中，AC→＝(1,2)，BD→＝(－4,2)，则该四边形的面积为()A.5B．25C．5D．10答案C解析∵AC→·BD→＝0，∴AC⊥BD.∴四边形ABCD的面积S＝12|AC→|·|BD→|＝12×5×25＝5.3．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(3，－1)，n＝(cosA，sinA)．若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，则角A，B的大小分别为()A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6D.π3，π3答案C解析由m⊥n得m·n＝0，即3cosA－sinA＝0，即2cosA＋π6＝0，∵π6A＋π67π6，∴A＋π6＝π2，即A＝π3.又acosB＋bcosA＝2RsinAcosB＋2RsinBcosA＝2Rsin(A＋B)＝2RsinC＝c＝csinC，所以sinC＝1，C＝π2，所以B＝π－π3－π2＝π6.[来源:中国教育出版网zzstep.com]4．平面上有三个点A(－2，y)，B0，y2，C(x，y)，若AB→⊥BC→，则动点C的轨迹方程为__________．答案y2＝8x(x≠0)解析由题意得AB→＝2，－y2，BC→＝x，y2，又AB→⊥BC→，∴AB→·BC→＝0，即2，－y2·x，y2＝0，化简得y2＝8x(x≠0)．5．河水的流速为2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为________．第3页共15页答案226m/s解析如图所示小船在静水中的速度为102＋22＝226m/s.题型一平面向量在平面几何中的应用例1如图所示，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PA＝EF.思维启迪正方形中有垂直关系，因此考虑建立平面直角坐标系，求出所求线段对应的向量，根据向量知识证明．证明建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，DP＝λ(0λ2)，则A(0,1)，P(22λ，22λ)，E(1，22λ)，F(22λ，0)，∴PA→＝(－22λ，1－22λ)，EF→＝(22λ－1，－22λ)，∴|PA→|＝－22λ2＋1－22λ2＝λ2－2λ＋1，|EF→|＝22λ－12＋－22λ2＝λ2－2λ＋1，∴|PA→|＝|EF→|，即PA＝EF.[来源:中教网]思维升华用向量方法解决平面几何问题可分三步：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．(1)平面上O，A，B三点不共线，设OA→＝a，OB→＝b，则△OAB的面积等于()A.|a|2|b|2－a·b2B.|a|2|b|2＋a·b2C.12|a|2|b|2－a·b2D.12|a|2|b|2＋a·b2(2)在△ABC中，已知向量AB→与AC→满足AB→|AB→|＋AC→|AC→|·BC→＝0且AB→|AB→|·AC→|AC→|＝12，则△ABC为()第4页共15页A．等边三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．三边均不相等的三角形答案(1)C(2)A解析(1)∵cos∠BOA＝a·b|a||b|，则sin∠BOA＝1－a·b2|a|2|b|2，∴S△OAB＝12|a||b|1－a·b2|a|2|b|2＝12|a|2|b|2－a·b2.(2)因为非零向量AB→与AC→满足AB→|AB→|＋AC→|AC→|·BC→＝0，所以∠BAC的平分线垂直于BC，所以AB＝AC.又cos∠BAC＝AB→|AB→|·AC→|AC→|＝12，所以∠BAC＝π3.[来源:zzstep.com]所以△ABC为等边三角形．题型二平面向量在三角函数中的应用例2已知在锐角△ABC中，两向量p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)，q＝(sinA－cosA,1＋sinA)，且p与q是共线向量．(1)求A的大小；(2)求函数y＝2sin2B＋cosC－3B2取最大值时，B的大小．思维启迪向量与三角函数的结合往往是简单的组合．如本题中的条件通过向量给出，根据向量的平行得到一个等式．因此这种题目较为简单．解(1)∵p∥q，∴(2－2sinA)(1＋sinA)－(cosA＋sinA)(sinA－cosA)＝0，∴sin2A＝34，sinA＝32，∵△ABC为锐角三角形，∴A＝60°.(2)y＝2sin2B＋cosC－3B2＝2sin2B＋cos180°－B－A－3B2＝2sin2B＋cos(2B－60°)＝1－cos2B＋cos(2B－60°)＝1－cos2B＋cos2Bcos60°＋sin2Bsin60°＝1－12cos2B＋32sin2B＝1＋sin(2B－30°)，第5页共15页当2B－30°＝90°，即B＝60°时，函数取最大值2.思维升华解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键，准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决．△ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，设向量m＝(a＋b，sinC)，n＝(3a＋c，sinB－sinA)，若m∥n，则角B的大小为________．答案5π6[来源:zzstep.com]解析∵m∥n，∴(a＋b)(sinB－sinA)－sinC(3a＋c)＝0，又∵asinA＝bsinB＝csinC，则化简得a2＋c2－b2＝－3ac，∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝－32，∵0Bπ，∴B＝5π6.题型三平面向量在解析几何中的应用例3已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且(PC→＋12PQ→)·(PC→－12PQ→)＝0.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求PE→·PF→的最值．思维启迪(1)直接利用数量积的坐标运算代入；(2)将PE→·PF→转化为关于y的函数，求函数的最值．解(1)设P(x，y)，则Q(8，y)．由(PC→＋12PQ→)·(PC→－12PQ→)＝0，得|PC→|2－14|PQ→|2＝0，即(x－2)2＋y2－14(x－8)2＝0，化简得x216＋y212＝1.所以点P在椭圆上，其方程为x216＋y212＝1.(2)∵PE→＝PN→＋NE→，PF→＝PN→＋NF→，又NE→＋NF→＝0.∴PE→·PF→＝PN→2－NE→2＝x2＋(y－1)2－1＝16(1－y212)＋(y－1)2－1[来源:中&教&网z&z&s&tep]第6页共15页＝－13y2－2y＋16＝－13(y＋3)2＋19.∵－23≤y≤23.∴当y＝－3时，PE→·PF→的最大值为19，当y＝23时，PE→·PF→的最小值为12－43.综上：PE→·PF→的最大值为19；PE→·PF→的最小值为12－43.思维升华平面向量与平面解析几何交汇的题目，涉及向量数量积的基本运算，数量积的求解以及轨迹、直线和圆、直线和椭圆中最值等问题，解决此类问题应从向量的坐标运算入手，这也是解决解析几何问题的基本方法——坐标法．已知点P(0，－3)，点A在x轴上，点Q在y轴的正半轴上，点M满足PA→·AM→＝0，AM→＝－32MQ→，当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程．解设M(x，y)为所求轨迹上任一点，设A(a,0)，Q(0，b)(b0)，则PA→＝(a,3)，AM→＝(x－a，y)，MQ→＝(－x，b－y)，由PA→·AM→＝0，得a(x－a)＋3y＝0.①由AM→＝－32MQ→，得(x－a，y)＝－32(－x，b－y)＝(32x，32(y－b))，∴x－a＝32x，y＝32y－32b，∴a＝－x2，b＝y3.把a＝－x2代入①，得－x2(x＋x2)＋3y＝0，整理得y＝14x2(x≠0)．[来源:中国教育出版网zzstep.com]题型四平面向量在物理中的应用例4在长江南岸渡口处，江水以252km/h的速度向东流，渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为________．第7页共15页思维启迪题中涉及的三个速度(向量)：江水速度、渡船的速度、船实际过江的速度，三个速度的关系是本题的核心．答案北偏西30°解析如图所示，渡船速度为OB→，水流速度为OA→，船实际垂直过江的速度为OD→，依题意知|OA→|＝252，|OB→|＝25.∵OD→＝OB→＋OA→，∴OD→·OA→＝OB→·OA→＋OA→2，∵OD→⊥OA→，∴OD→·OA→＝0，∴25×252cos(∠BOD＋90°)＋(252)2＝0，∴cos(∠BOD＋90°)＝－12，∴sin∠BOD＝12，∴∠BOD＝30°，∴航向为北偏西30°.思维升华在使用向量解决物理问题时要注意：(1)认真分析物理问题，深刻把握物理量之间的相互关系；(2)通过抽象、概括，把物理问题转化为与之相关的向量问题；(3)利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量的解；(4)利用这个结果，对原物理现象作出合理解释，即用向量知识圆满解决物理问题．质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为________．答案27[来源:中国教育出版网zzstep.com]解析方法一由已知条件F1＋F2＋F3＝0，则F3＝－F1－F2，F23＝F21＋F22＋2|F1||F2|cos60°＝28.因此，|F3|＝27.方法二如图，|F1F2→|2＝|F1|2＋|F2|