D11映射与函数hw

AdvancedMathematics2020/2/122分析基础函数极限连续—研究对象—研究方法—研究桥梁高等数学注第一章函数与极限2020/2/123第一节映射与函数第一章2020/2/124元素a属于集合M,记作元素a不属于集合M,记作一、集合1.定义及表示法定义1.具有某种特定性质的事物的总体称为集合.组成集合的事物称为元素.不含任何元素的集合称为空集,记作.Ma(或aM)..Ma注:M为数集*M表示M中排除0的集;M表示M中排除0与负数的集.简称集简称元2020/2/125表示法：(1)列举法：按某种方式列出集合中的全体元素.例:有限集合naaaA,,,21自然数集,,,2,1,0nNn(2)描述法：xMx所具有的特征例:有理数集qpQ,,pqZNp与q互质无理数集Q/cRQ开区间),(xbaaxb闭区间],[xbaaxb2020/2/126)(aa无限区间点的邻域a------a称为邻域中心,称为邻域半径.半开区间去心邻域左邻域:右邻域:表示法：2020/2/127OyxAcBB定义3.给定两个集合A,B,并集xBA交集xBA且差集\xBABx且定义下列运算:ABBA余集\()cBABBA其中直积),(yxBA,AxBy特例:RR记2R为平面上的全体点集ABA\BBABA或2.集合之间的关系及运算注2020/2/128引例1.引例2.(点集)(点集)向y轴投影二、映射2020/2/129定义4.设X,Y是两个非空集合，若存在一个对应规则f，使得有唯一确定的与之对应,则称f为从X到Y的映射(算子)，记作:.fXY1）像---y，).(xfy2）原像---x3）f的定义域：4）f的值域)(XfRfXxxf)(XYffDX注二、映射2020/2/12105）映射a)若YXf)(,则称f为满射;XYf)(Xfb)若有则称f为单射;c)若f既是满射又是单射,则称f为双射或一一映射.XYY中没有多余的项无多对一的情形注二、映射2020/2/1211例1.如图所示,对应阴影部分的面积则在数集自身之间定义了一种映射(满射)例2.如图所示,r则有(满射)二、映射2020/2/1212X(数集或点集)说明:在不同数学分支中有不同的惯用X(≠)Y(数集)ff称为X上的泛函X(≠)Xff称为X上的变换Rff称为定义在X上的函数映射又称为算子.名称.例如,二、映射2020/2/1213定义域三、函数1.函数的概念定义5.设数集,RD则称映射为定义在D上的函数,记为Dxxfy,)(值域:函数图形:),(yxCDx,)(xfy)(DfD自变量因变量xy)],[(baDabxyO)(),(fyyfxRfDxD2020/2/1214DxfDxxfyyDfRyf),()((对应规则)(值域)(定义域)注：例3绝对值函数定义域：值域：1)对实际问题,书写函数时必须写出定义域；注2)对应关系可以由解析表达式、表格、曲线，或是用语言等不同的形式给出,由下面的例子可以看出:例1常值函数y=c，c是一个常数.例2数列nfna，定义域为全体正整数.2020/2/1215例4某车间生产产品数量N与时间t的一组测量值.该表格给出了两个数集间的对应关系，是一个函数，其定义域为{8，9，10，11，12，14，15，16，17}.(时)8910111214151617(件)01735527171911071312.函数例子2020/2/1216例5.已知函数1,110,2)(xxxxxfy解:)(21f及.)(1tf写出f(x)的定义域及值域,并求f(x)的定义域),0[D值域),0[)(Df21212)(f2)(1tf10t,11t1t,2txyOxy2xy112020/2/1217设函数,1,1,13)(xxxxxf()[]xff(),()fxfx311x换为f(x)(()),ffxx10x0,49xx1)13(3x10,13xx1,xx例6..)]([xff求解:注2020/2/1218例7.Gauss函数，不超过自变量的最大整数fxx.ffff22,0.31,(2.1)2,(4)4.如Oxy22.1例8.符号函数xyxxx1,0,sgn0,0,1,0.Oxy112.函数例子2020/2/1219自变量在不同范围内取值时，函数表达式可能不同，这样的函数称为分段函数.例10.分段函数xxyxx2,01,3,1.例9.Dirichlet(狄利克雷)函数1,,0,.xQDxxQOxy123上述函数的特点是：2.函数例子2020/2/12203.函数的几种特性设,,)(Dxxfy且有区间.DI(1)有界性,Dx,0M使(),fxM称)(xf说明:还可定义有上界、有下界、无界.(2)单调性为有界函数.,Dx使若对任意正数M,均存在,)(Mxf则称f(x)无界.称为有上界称为有下界,)(,Mxf),(,xfM当时，2121,,xxIxx,)()(21xfxf若)(xf,)()(21xfxf若单调增函数;单调减函数.1x2xxyO2020/2/1221(3)奇偶性,Dx且有,Dxf(x)为偶函数;f(x)为奇函数.说明:若)(xf在x=0有定义,.0)0(f)(xf为奇函数时,xyOxx则当必有例如,2ee)(xxxfyxch偶函数xyOxexexych双曲余弦Hyperboliccosine记3.函数的几种特性注2020/2/1222(3)奇偶性2ee)(xxxfyxshxxychsh例如,2ee)(xxxfyxchxexexych双曲余弦记双曲正弦xxxxeeeexth双曲正切xyO3.函数的几种特性2020/2/1223说明:给定),(),(llxxf则2)()(2)()()(xfxfxfxfxf偶函数奇函数Oyx11xythxyOxexexysh注2ee)(xxxfyxshxxychshxxxxeeeexth双曲正弦双曲正切3.函数的几种特性2020/2/1224(4)周期性ππxOπ2πy2若，l为周期(一般指最小正周期).周期为周期为注:周期函数不一定存在最小正周期，例如：常量函数Cxf)(狄利克雷函数Dirichletx为有理数x为无理数,1,0注3.函数的几种特性2020/2/12254.反函数与复合函数(1)若单射，则习惯上记作)(,)(1Dfxxfy1ff的反函数为1）相同的单调性2）图形关于对称性质:称2020/2/1226例如,),(,exyx对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.指数函数xyOlnyxxy),(abQ4.反函数与复合函数2020/2/1227例11.反正弦函数.Oy211x2定义域：值域：反函数例子（P369，370）正弦函数反正弦函数22112020/2/1228(2)复合函数(),fDuyfufgDR且则设有函数链称为由①,②确定的复合函数,①②u称为中间变量.注意:1.构成复合函数的条件fgDR不可少.例如：函数链:(),[0,)fuuyufD则2.书写复合函数时不一定写出其定义域,2020/2/12294.初等函数（P368）(1)基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(2)初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数.例如,,2xyy0,xx0,xx并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数.可表为故为初等函数.又如,双曲函数与反双曲函数也是初等函数.(自学,P12–P15)2020/2/1230非初等函数举例：符号函数当x0当x=0当x0xyO11取整函数当xyO412321注4.初等函数2020/2/1231内容小结2.函数四大特性3.初等函数的结构作业P161(4，6，7，8)；3；12；13；151.函数的定义及函数的二要素2020/2/1232且思考题证明证:令,1xt则,1txtctfbfat)()(1由xcxfbfax)()(1消去),(1xf得时其中a,b,c为常数,且为奇函数.为奇函数.1.设2020/2/12332.设函数),(,)(xxfy的图形与,ax均对称,求证)(xfy是周期函数.()xbab证:由)(xaf)(xf的对称性知(),fax)(xbf()fbx于是)(xf)2(xaf故)(xf是周期函数,周期为2020/2/1234关于点名——保持课堂纪律迟到早退进出自由说话睡觉吃吃玩玩无故旷课2020/2/1235关于作业——平时的基础按时（每周二收、发）保质保量