计量经济学重点笔记第三讲

浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列1第三讲假设检验一、经典线性模型假定对于模型01iiiyx，利用OLS有：112()ˆ()iiixxxx其证明可参见第二讲附录。在高斯-马尔科夫假定下，OLS估计量的抽样分布完全取决于误差项的分布。在高斯-马尔科夫假定中，我们要求误差项是序列无关与同方差的。现在，我们施加更强的假定，即误差项服从正态分布，即2(0,)iN。应该注意到，当误差项服从正态分布时，序列无关与独立性是等价的。因此，我们可以把上述分布假设写为：..2(0,)iidiN，即误差项服从独立同正态分布。为什么要施加更强的假定呢？这是为了进行小样本下的假设检验。2(0,)iN与高斯-马尔科夫假定一起，被称为经典线性模型假定。在经典线性模型假定下，可以证明，OLS估计量是方差最小的无偏估计量（注意此时不需要把比较范围限制在线性估计量之中，因此该结论比高斯-马尔科夫定理更强。施加更多的假设而得到更强结论，这非常自然！）。笔记：浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列21、假设误差项服从正态分布的合理性在于，误差项是由很多因素构成的，当这些因素是独立同分布时，依照中心极限定理，那么这些因素之和应该近似服从正态分布。当然，这并不意味着用正态分布来近似误差项的分布总是恰当的，例如，各因素或许并不同分布。另外，如果y是价格这样的变量，那么假设误差项服从正态分布是不合理的，因为价格不可能是负数，不过我们可以进行变量变换，例如对价格取自然对数或者考察价格的变化率，那么经过变量变换之后，或许再假设误差项服从正态分布就变得合理了。2、如果能够对误差项是否服从正态分布进行检验，那最好不过了。一种常用的检验方法是Jarqe-Bera检验，这可以参见相关的教科书。问题是，尽管我们能观察到解释变量、被解释变量的取值，然而，由于对参数的真实取值无法确定，因此误差是观测不到的，我们或许不得不利用残差来代替误差以进行相关的检验。当然，一个前提是残差确实是对误差的良好近似，这进而要求，我们对参数的估计是合理的。3、根据公式：111221()()1ˆ()()iiiiiiNxxNxxxxxx考虑x非随机这种简单情况，显然，当样本容量很大时，只要误差项是独立同分布的（并不需要要假定误差项服从正态分布），那么根据中心极限定理，1ˆ应该近似服从正态分布。当然，为浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列3了保证误差项的独立性，抽样的随机性十分关键。二、利用标准正态分布作假设检验假定01iiiyx是真实模型，当然我们并不知道各参数的真实值是多少。如果某一经济经济理论预言1，而现在你手中正掌握一样本，一个问题是，你所掌握的样本支持这个预言吗？笔记：由于抽样误差的存在，1ˆ恰好等于的概率很小。然而，即使1ˆ，我们也不能说理论被证实，因为计量经济学方法本质上是属于归纳法，并且由于其结论是基于某一样本而得到的，因此它还是属于不完全归纳，故，计量经济学不能证实经济学理论。当然，计量经济学也不能推翻经济学理论。经济学理论是逻辑推导，其正确与否需要从逻辑入手。总而言之，我们能够说的是“样本是否支持某个理论的预言”或者“样本与某个理论的预言是否一致”。在经典线性模型假定下，1121ˆˆ(,)N或者浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列4111ˆˆ()/()(0,1)sdN①，其中122ˆ2()ixx，112ˆˆ()sd。练习：确定0ˆ的分布。现在，假设经济理论的预言是正确的，那么针对特定的样本你将得到标准正态分布图横坐标上的一个点：11ˆˆ()/()sd②。现在来考察标准正态分布。在该分布上，存在对称的两点：0.025z与0.025z，其中：0.0250.025Pr()Pr()0.025ZzZz如果把概率为5%的事件称为小概率事件，那么，当11ˆˆ()/()sd的取值大于0.025z或者小于0.025z时，我们认为小概率事件发生了！小概率事件一般是不容易发生的，现在居然发生了，因此，我们应该怀疑上述经济理论所作出的预言。①定义111ˆˆz()/()sd，则z就是所谓的z统计量。估计量是用来估计真实参数的，而统计量是用来做统计推断(或者假设检验）的；统计量是随机的，其分布也被称为抽样分布，针对特定样本，我们得到统计量值，它是非随机的。②在这里，该式是非随机的，而特别应该注意的是，分子中的1ˆ是估计值，而分母中的1ˆ是估计量。估计值的标准差是零！。浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列5笔记：举一个生活中的例子。我预先认为某一个同学十分优秀。优秀学生某一次考试考砸了非常正常，然而连续十次考试考砸了就应该是小概率事件了。如果我预先所认为的那一个优秀同学确实连续十次考试都考砸了，我是不是应该对我的先验判断产生怀疑？当然，如果我就此认为那一个同学并不优秀，我也会犯错误，此即“第一类错误”，即“弃真”的错误。但犯这个错误的概率是很小的。如果优秀学生连续十次考试考砸了其概率是5%，那么我犯“第一类错误”的概率就是5%。问题是，为什么我们取正态分布两端的区间作为小概率区间呢？为什么我们不在正态分布密度曲线中随意取一小段作为小概率区间？从直觉上看，当1这个假设为真时，即使估计值1ˆ与完全相等不太可能，但估计值1ˆ应该接近于。然而我们也要注意到，对1的估计还存在精确性问题，这通过1ˆ统计量的标准差体现出来。也就是说，在原假设为真时，即使估计值1ˆ与有一定的差异，然而如果1ˆ()sd较大，那么在1ˆ与间存在一定的也许是正常的。不过总的来看，当原假设为真时，z浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列6统计量值是应该接近于0的，这要么是因为11ˆˆ()/()zsd中的分子确实接近于0，要么是因为尽管1ˆ与有一定的差异，但主要是由1ˆ()sd较大所引起的。当z统计量值与0具有较大差异时，那么1这个假设的真实性是值得怀疑的！假设检验的正式步骤是：（1）建立原假设与备择假设：0111::HH笔记：原假设与备择假设互斥；假设体系应该是完备的，即原假设与备择假设两者之一必为真，但两者不能同时为真。（2）确定小概率标准a。经常我们把1%、5%或者10%作为小概率标准。对a更加正式的称呼是“显著水平”。（3）考察统计量值11ˆˆ()/()sd是否落在拒绝域：/2/2(,][,)aazz之内。如果落在上述区间之内，那么在a显著水平上，我们拒绝原假设，接受备择假设；反之，我们不拒绝原浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列7假设，拒绝备择假设。笔记：1、为什么当统计量值落在拒绝域/2/2(,][,)aazz之外时我们说“不拒绝原假设”而不是说“接受原假设”？其解释是：我们可以作出很多的原假设，例如11或者12而我们所计算出来的一些统计量值恰好都落在/2/2(,][,)aazz之外，难道我们既接受11也接受12？显然更恰当的表达方式是，即不拒绝11也不拒绝12。2、“接受原假设”没有留有余地，而“不拒绝原假设”表明我们的结论是留有余地的，即，在另外的原假设下也可能不拒绝12。“接受备择假设”留有余地吗？应该注意到，备择假设是11:H，因此，即使说“接受备择假设”，这也是留有余地的。3、设定1%、5%或者10%为显著水平显得有点随意，为何不设2%、6%、7%等为显著水平呢？是否可以依据一个更一般的标准来进行假设检验？答案是肯定的，我们可以依据一个更一般的标准来进行假设检验！既然我们已经计算出统计量值11ˆˆ()/()zsd，如果z为正，那么根据正态分布表，我们就能够确定Pr()ZzZz的值（如果z值为负，那么我们能够确定Pr()ZzZz的值），我们通常把这个概率值称为伴随概率，简写为P或者Prob.这个概率值很有用处！例浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列8如，假定P值是0.062，那么，显然，以任何小于6.2%的概率为小概率标准，我们并不拒绝原假设；以任何大于6.2%的概率为小概率标准，我们拒绝原假设。4、一个总结：在进行双尾检验时，当P小于给定的显著水平时，那么在给定的显著水平下应该拒绝原假设；反之，则不拒绝原假设。上述检验都属于双尾检验，即/2/2(,][,)aazz是拒绝域。如果假设体系是：0111::HH那么在显著水平a下，拒绝域应该是[,)az，我们进行的是单侧（尾）检验。为了理解上述单侧检验，我们回答如下几个问题：问题一：为什么拒绝域是[,)az？答案：当原假设为真时，那么11ˆˆ()/()Zsd应该在0左右不远处；当备择假设为真时，1ˆ在真实参数1左右不远处。因此，只要真实参数远大于，则11ˆˆ()/()Zsd远大于0是非常可能的，而在这种情况下Z远小于0则不太可能的。因此，我们把拒绝浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列9域设定为[,)az。当Z值落在该区间内时，我们拒绝原假设，接受被择假设。问题二：为什么/2[,)az不是拒绝域？答案：当Z值落在该区间内时如果我们拒绝了原假设，则我们更应该拒绝被择假设。因为当备择假设为真时，Z值落在该区间内的概率更小。基于假设体系的完备性，故我们不把/2[,)az设定为拒绝域。问题三：设置这样的假设体系有何依据？答案：这依赖于先验的理论与判断。例如，假定1是某正常商品的消费收入弹性，那么1不可能为负，则我们可以通过建立如下的假设体系：0111:0:0HH并基于样本来判断10是否为真。问题四：单侧检验与双侧检验相比有何特点？答案：从假设体系的形式来看，单侧检验与双侧检验明显不同。但最关键的不同在于，给定显著水平a（犯“第一类错误”的概率），上述单侧检验的拒绝域[,)az与双侧检验右端拒绝域/2[,)az相比更宽，因此更容易拒绝原假设，从而犯“第二类错误”（取误）的概率更低。笔记：浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列101、一个检验如果犯“第二类错误”（取误）的概率更低，则称该检验具有更高的检验势。在检验中提高检验的势一般来说是相当重要的。如果检验势较低则很容易“取误”，而科学精神要求我们不要轻易相信某一个确定性的判断！2、从本质上看，单侧检验之所以比双侧检验具有更高的检验势，其原因在于，在建立单侧检验时我们预先接受了有关理论的指导，从而掌握了更多的信息，故在检验时我们能够做到更精细，不会轻易“上当”（取误）。3、事物往往都具有两面性。尽管单侧检验比双侧检验具有更高的检验势，但要注意，它依赖于先验理论指导的正确性。如果先验理论指导是错误的，那么我们的“挑剔”很可能是“过度”的，即我们“弃真”的概率非常大。尽管名义上的“弃真”概率是a，但实际上的“弃真”概率超过了a，这被称为显著水平扭曲。4、如果显著水平不扭曲，则给定显著水平，一个检验的检验势越高越好。不幸的是，在显著水平不扭曲的情况下，一个检验的“弃真”概率与“取误”概率其走向通常相反：如果设定较低的显著水平以降低“弃真”的概率，则拒绝域变窄，故“取误”概率增加，反之则相反。问题是我们如何取舍？本质上这涉及到比较“弃真”与“取误”所造成后果的严重性。假设现在要检验一种新药是否有效果，如果有效果则推广使用。现在的原假设是没有效果，备择假设是有效果。考虑到假药的危害，则“弃真”浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列11所带来的后果非常严重，而“取误”所造成后果相对不严重。因此我们应该保守一点，设定更低的显著水平，以降低“弃真”的概率。思考题：在假设体系：0111::HH下，计量软件包计算出为正的统计量值z，而且P值为0.120（注：计量软件包默认的P值是双尾的概率，当z为正时，它计算的是Pr()ZzZz）。问：在假设体系0111::HH下，以10%为显著水平，我们是否拒绝原假