2013届高考数学一轮复习课件(理)人教A版-第19讲 两角和与差及二倍角的三角函数

1234．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．．熟练应用公式进行化简、求值、证明．21sin()__________.cos()__________.tan()__________.2sin2__________.cos2____________________12sin.tan2__________.．两角和与差的三角函数公式①②③．二倍角公式④⑤⑥⑦22sincos__________tan.cossin__________tancos__________.sin3babababa⑧，其中⑨，其中．．辅助角公式4.降幂⑩公式2222222sincoscossincoscossinsin2sincoscossin122cos1sin()121212cos()22tantantantantanabtancoscosab①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩；【要点指南】1.cos81°cos36°＋cos9°sin36°等于()A.22B．－22C.32D．－32【解析】原式＝sin9°cos36°＋cos9°sin36°＝sin(9°＋36°)＝sin45°＝22.2.已知tanα＝2，则tan2α的值为()A．－34B．－43C．－32D．－23【解析】tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×21－22＝－43.3.(cosπ12－sinπ12)(cosπ12＋sinπ12)＝32.【解析】原式＝cos2π12－sin2π12＝cosπ6＝32.4.若tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，则tan(α＋π4)＝322.【解析】tan(α＋π4)＝tan[(α＋β)－(β－π4)]＝tanα＋β－tanβ－π41＋tanα＋βtanβ－π4＝25－141＋25×14＝322.一给值求值【例1】已知0βπ4，π4α3π4，cos(π4－α)＝35，sin(3π4＋β)＝513，求sin(α＋β)的值．【解析】因为π4α3π4，所以－π2π4－α0，所以sin(π4－α)＝－45.又因为0βπ4，所以3π43π4＋βπ，所以cos(3π4＋β)＝－1213，所以sin(α＋β)＝－cos(π2＋α＋β)＝－cos[(3π4＋β)－(π4－α)]＝－cos(3π4＋β)·cos(π4－α)－sin(3π4＋β)·sin(π4－α)＝－(－1213)×35－513×(－45)＝5665.【点评】“凑角法”是给值求值中常用的技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各个角之间的相互关系，并根据这种关系来选择公式．若sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝110，求tanαtanβ.素材1【解析】由sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝110，得sinαcosβ＋cosαsinβ＝12sinαcosβ－cosαsinβ＝110，得sinαcosβ＝310，cosαsinβ＝15，所以tanαtanβ＝sinαcosβcosαsinβ＝32.【点评】对于此类给出一些复杂的三角函数式的值，求其他式子的值的问题，常常运用整体思想来解决．二化简求值【例2】求cos10°sin10°－4cos10°的值．【解析】cos10°sin10°－4cos10°＝cos10°－4sin10°cos10°sin10°＝cos10°－2sin20°sin10°＝cos10°－2sin30°－10°sin10°＝cos10°－2sin30°cos10°＋2cos30°sin10°sin10°＝cos10°－cos10°＋3sin10°sin10°＝3.【点评】给出非特殊角，一般考虑化为特殊角或使非特殊角三角函数值互相抵消，约分求出值．素材2计算1＋tan15°1－tan15°的值．【解析】因为1＝tan45°，所以1＋tan15°1－tan15°＝tan45°＋tan15°1－tan45°tan15°＝tan(45°＋15°)＝tan60°＝3.【点评】利用12＝sin30°，1＝tan45°等代换，可简捷地解决此类三角题，特别是解决1±tanα1∓tanα型问题．三给式求角【例3】已知α，β都是锐角，且sinα＝55，sinβ＝1010，求α＋β的值．【解析】由α，β都是锐角，sinα＝55，sinβ＝1010，可得cosα＝255，cosβ＝31010，因此cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝22，又0α＋βπ，所以α＋β＝π4.【点评】此题若选用求sin(α＋β)的值，则需进一步缩小α，β的范围，否则容易导致增解，对于此类问题，一般选择在相应区间上具有单调性的三角函数来求解．已知α，β都是锐角，并且3sin2α＋2sin2β＝1,3sin2α－2sin2β＝0，试求α＋2β的大小．素材3【解析】由已知3sin2α＝cos2β，①3sin2α＝2sin2β，②②÷①，得sin2αsin2α＝2sin2βcos2β，所以cosαsinα＝sin2βcos2β，所以cosαcos2β－sinαsin2β＝0，所以cos(α＋2β)＝0，又0α＋2β3π2，所以α＋2β＝π2.备选例题(1)已知8cos(2α＋β)＋5cosβ＝0，求tan(α＋β)·tanα的值；(2)已知2sinθ＋cosθsinθ－3cosθ＝－5，求3cos2θ＋4sin2θ的值．【解析】(1)因为2α＋β＝(α＋β)＋α，β＝(α＋β)－α，所以8cos[(α＋β)＋α]＋5cos[(α＋β)－α]＝0.展开得：13cos(α＋β)cosα－3sin(α＋β)sinα＝0，同除以cos(α＋β)cosα得：tan(α＋β)tanα＝133.(2)因为2sinθ＋cosθsinθ－3cosθ＝2tanθ＋1tanθ－3，所以2tanθ＋1tanθ－3＝－5，所以tanθ＝2，所以3cos2θ＋4sin2θ＝3cos2θ－sin2θ＋8sinθcosθsin2θ＋cos2θ＝3－3tan2θ＋8tanθ1＋tan2θ＝75.122()2()()22．准确选用两角和与差及二倍角公式的关键是观察、分析角之间的和、差与二倍关系，同时应注意角之间的差别是的整数倍时仍可运用和、差公式与二倍角公式进行三角恒等式变形，最后运用诱导公式实现目标解决．．角的变换常见途径有：，，等．对公式会“正用”“逆用”“变形用”．22123cos212sin2tantantan()(1tantan)4coscos．常见变换公式有：，，等．．三角函数求值的常见题型有两类：给角求值和给式求值．